本文主要是介绍范德蒙行列式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
范德蒙行列式（Vandermonde determinant）是一种特殊形式的行列式，常在多项式理论和插值中遇到。其命名来源于法国数学家Alexandre-Théophile Vandermonde。范德蒙行列式是以一组数为变量的行列式，其特殊之处在于每一行的元素是前一行的元素依次乘以一个固定的数。
具体来说，如果我们有一组变量 x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,…,xn，那么一个 n × n n \times n n×n 的范德蒙行列式可以表示为：
V ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∣ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 n − 1 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n x n 2 ⋯ x n n − 1 ∣ V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} V(x1,x2,…,xn)= 11⋮1x1x2⋮xnx12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1n−1x2n−1⋮xnn−1
其中，矩阵的第 i i i 行第 j j j列的元素是 x i j − 1 x_i^{j-1} xij−1。范德蒙行列式的每一行代表了一个几何级数，而列则代表了不同的幂次。
范德蒙行列式的值可以通过下面的公式计算：
V ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) V(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) V(x1,x2,…,xn)=∏1≤i<j≤n(xj−xi)
这个公式表明范德蒙行列式的值是所有变量对 ( x i , x j ) (x_i, x_j) (xi,xj)（其中 i < j i < j i<j）之间差的乘积。如果有任何两个变量相等，即 x i = x j x_i = x_j xi=xj，那么行列式的值将为零，因为会有两行完全相同，使得行列式退化。
范德蒙行列式的一个重要应用是在拉格朗日插值法中，它可以用来确定插值多项式的系数。当我们有一组点 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)，并希望找到一个多项式 p ( x ) p(x) p(x)，使得 p ( x i ) = y i p(x_i) = y_i p(xi)=yi，范德蒙行列式可以帮助我们确认存在这样一个多项式，并且该多项式是唯一的，只要所有的 x i x_i xi 都是不同的。
此外，范德蒙行列式在理论和应用数学的其他领域中也有广泛的应用，包括系统理论、数值分析、编码理论以及其他需要多项式拟合和插值的领域。
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