概率论基础 —— 7.连续型二维随机函数的分布

对于连续型随机变量，经常考察的一个知识点是其函数的分布，以及变换函数后的分布。例如，考察形如 $Z=X+Y$ 的变换。在浙大版的《概率论与数理统计》教材中，主要重点考察了几类函数的分布，包括 $Z=X+Y$，$Z=XY$，$Z=X/Y$，以及 $Z=\min (X,Y)$ 和 $Z=\max (X,Y)$。

之所以教材特别重视这些知识点，是因为对于连续型随机变量来说，有时直接使用连续的密度函数对概率事件进行建模并不总是可行的。这时，使用概率函数可以简化工作量。因此，这也是学习概率论的人必须掌握的基础概念之一。

概率函数有很多种，但基本形式包括上述几种。

Z = X + Y 型分布

“Z = X + Y” 型分布指的是两个随机变量 X 和 Y 的和的分布。为了得到 Z 的概率密度函数，我们需要知道 X 和 Y 的具体分布情况。然而，如果我们假设 X 和 Y 是独立的随机变量，并且它们各自有已知的概率密度函数，那么 Z 的概率密度函数可以通过卷积得到。

如果 X 的概率密度函数是 $f_X(x)$，Y 的概率密度函数是 $f_Y(y)$，那么 Z 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以表示为：

$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx$$

这个公式是通过对 X 的所有可能值的积分来实现的，其中 Y 的值调整为 ( z - x ) 以保证和为 z。这个过程称为卷积。如果 X 和 Y 的分布类型已知，那么这个积分可以具体计算出来。如果 X 和 Y 都是正态分布的，那么它们的和也是正态分布的，其均值和方差分别是原始分布均值和方差的和。

例题

（1）：设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别如下，求Z = X + Y的概率密度
$$f_x(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-2x}& x>0\\ 0& else\end{array}$$
$$f_y(y)=\{\begin{array}{cc}1/2& 0\le y<2\\ 0& else\end{array}$$

解（1）

首先我们来确定被积函数，我们遵循谁简单替换谁的原则，替换y，且由于X和Y相互独立，所以可以直接带入卷积公式，有：

$$f_z(z)=\int f_x(x)f_y(z-x)dx\Rightarrow \{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx& x>0,0\le y<2\\ 0& else\end{array}$$

然后来确定被积函数的积分范围，由于上述积分式是关于x的积分，所以我们要确定对于上述积分式，它对应的x积分范围，即：

$$\{\begin{array}{c}x>0\\ 0\le y<2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x>0\\ 0\le z-x<2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x>0\\ z-2<x\le z\end{array}$$

然后我们根据上面的范围，来确定当z分别为以下情况时，密度函数为多少：

对于第一种情况，$z-2<x\le z$ 与 $x>0$ 不想交时， $f_z(z)=0$

对于第二种情况，部分相交时，有：$z-2<0<z$，于是 $0<z<2$ 而对于密度函数的积分有效区域是 (0, z)

于是：
$$f_z(z)=\frac{1}{2}{\int }_0^z{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{4}{e}^{-2x}{|}_0^z=\frac{1}{4}(1-e^{-2z})$$

然后对于第三个情况，当z区域处于x区域中时：

积分有效区域为 $(z-2,z)$， z的有效范围是：$z\ge 2$

于是：
$$f_z(z)=\frac{1}{2}{\int }_0^z{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{4}{e}^{-2x}{|}_{z-2}^z=\frac{1}{4}(e^{4-2z}-e^{-2z})$$

然后我们整理一下结果：

$$f_z(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}(1-e^{-2z})& 0<z<2\\ \frac{1}{4}(e^{4-2z}-e^{-2z})& z\ge 2\\ 0& else\end{array}$$

（2）设随机变量（X，Y）的概率密度为：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}x+y& 0<x<1,0<y<1\\ 0& else\end{array}$$
求Z = X + Y的概率密度

解（2）：

由于不满足X与Y相互独立，于是根据 Z= X + Y 型的密度函数可知：

$$f_z(z)=\int f(x,z-x)dx$$

对于上述概率密度，只有当 $f(x,z-x)\ne 0$ 时才有意义，而从从题干可知 $f(x, y)不为0时，必须 $0<x<1,0<y<1$。

即 $f(x,y)\ne 0\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<x<1\\ 0<y<1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<x<1\\ 0<z-x<1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<x<1\\ z-1<x<z\end{array}$

然后剩下的解体过程与上面的那个例题一样，最终结果是：

$$f_z(z)=\{\begin{array}{cc}{z}^2& 0<z<1\\ 2z-z^2& 1\le z<2\\ 0& else\end{array}$$

中间的解体过程我不详列，感兴趣的朋友可以试一试。

Z = XY 型

对于 $Z=XY$ 的分布，它的概率密度为：

$$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|y|}f(\frac{z}{y},y)dy$$

若X与Y相互独立，其边缘密度分别为：$f_x(x)$ 和 $f_y(y)$，那么其概率密度为：

$$f_{XY}={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}{f}_x(x)f_y(\frac{z}{x})dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|y|}{f}_x(\frac{z}{y})f_y(y)dy$$

例题

（1）设随机变量（X，Y）的概率密度为：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}x+y& 0<x<1,0<y<1\\ 0& else\end{array}$$
求 $Z=XY$ 的概率密度

解： 这题和上面的解体过程大体上都是一样的。由于X 和 Y 并未指定是否相互独立，所以我们只能使用一般型，即：

$$f_{XY}=\int \frac{1}{|x|}f(x,z/x)dx$$

然后我们代入被积函数：

$$f_{XY}=\int \frac{1}{|x|}(x+\frac{z}{x})dx$$

由于 x 的有效区间为正，所以：

$$f_{XY}=\int \frac{1}{x}(x+\frac{z}{x})dx=\int (1+\frac{z}{x^2})dx=x-z{x}^{-1}{|}_{\alpha }^{\beta }$$

接下来我们确定积分的合理范围：

$$\{\begin{array}{c}0<x<1\\ 0<y<1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<x<1\\ 0<\frac{z}{x}<1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<x<1\\ 0<z<x\end{array}$$

然后简单的做个图，或者直接代入不等式，可以得到：

z和x的合理范围只有 $0<z<x<1$这个范围，所以

$$x-z{x}^{-1}{|}_z^1=2-2z$$

于是我们最终得到关于 $Z=XY$ 型的概率密度是：

$$\{\begin{array}{cc}2-2z& 0<z<1\\ 0& else\end{array}$$

Z = X/Y 型

对于 $Z=\frac{X}{Y}$ 的分布，它的概率密度为：

$$f_{X/Y}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x,zx)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f(zy,y)dy$$

若X与Y相互独立，其边缘密度分别为：$f_x(x)$ 和 $f_y(y)$，那么其概率密度为：

$$f_{X/Y}(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f_x(x)f_y(zx)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f_x(zy)f_y(y)dy$$

如何记住 XY 及 X/Y 型的概率密度

这里借用一点物理的概念：$m=\rho V$，概率密度相当于质量方程的$\rho$，积分区域让它等价于体积V。如果我们令被测量的物体体积一样，而且它们也满足 Z = X Y这样的属性，于是我们为了获得被测量物体的密度，就可以衍生出这样的公式：

$$Z=XY\Rightarrow V_z{\rho }_z=V_x{\rho }_x\times V_y{\rho }_y\to {\rho }_z=\frac{1}{V_z}\times V_x{\rho }_x\times V_y{\rho }_y$$

因为$V_z$，$V_x$，$V_y$我们令他们体积一样，所以 $V_z=V_x=V_y$ 是不是很合理的？

又因为 $Z=XY$，所以密度之间有 ${\rho }_z={\rho }_x{\rho }_y$ 是不是也是合理的？

然后上面的式子是不是就可以变成：

$${\rho }_z=\frac{1}{V}{V}_x{\rho }_x{V}_y\frac{{\rho }_z}{{\rho }_x}$$

是不是也是合理的？

再然后由于上面式子所表述的三个物体的密度，使用的是同一个计算公式，是不是简化为：$f(V,\rho )$，由于V是已知的，所以又可以进一步简化一下：$f(\rho )$，于是上面的式子是不是可以这样写：

$${\rho }_z=\frac{1}{V}f({\rho }_x)f(\frac{{\rho }_z}{{\rho }_x})$$

然后把 1/V 换成积分的形式，嗯…… 然后

$${\rho }_z=\int \frac{1}{v_x}f({\rho }_x)f(\frac{{\rho }_z}{{\rho }_x})dx$$

然后再换个符号

$$f_{XY}(z)=\int \frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx$$

又或者

$$f_{XY}(z)=\int \frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx$$

为什么加绝对值，因为体积没有为负的道理啊……

虽然不是很严谨吧……但你这样记公式，那就错不了。考试的时候如果不会写了，用30s的时间推一下公式就有了。至于另外比如 Z = X / Y 型，Z = X + Y型，甚至考官心血来潮发明的 $Z=X^2+Y^5$ 你都可以用这个方法推导出它的密度函数原型。

不信，自己试一试？

Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型

如果X与Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_x(x)$ 和 $F_y(y)$，那么对于 ** Z = m a x { X , Y } Z = max \{X, Y\} Z=max{X,Y} 和 Z = m i n { X , Y } Z = min\{X, Y\} Z=min{X,Y}**型的分布函数，它们分别是:

$$Z_{max}=F_{max}(z)=F_x(z)F_y(z)$$

与

$$Z_{min}=F_{min}(z)=1-[1-F_x(z)][1-F_y(z)]$$

其对应的概率密度为：

$$f_z(z)=F(z{)}^{\prime }$$

Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型和之前的不太一样，不太容易理解。为了更好的理解这种概率是在什么状况使用的，我们来做下面的这个例题吧。

例题

设系统L由两个独立的子系统 $L_1$，$L_2$ 连接而成，连接的方式分别为串联、并联、备用，设 $L_1$，$L_2$ ，已知它们的概率密度分别为：
$$f_x(x)=\{\begin{array}{cc}\alpha e^{-\alpha x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$$
$$f_y(y)=\{\begin{array}{cc}\beta e^{-\beta y}& y>0\\ 0& y\le 0\end{array}$$
其中 $\alpha >0$，$\beta >0$ 且 $\alpha \ne \beta$。试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度。

解（i） 针对串联情况，如果X或Y有任何一路出现问题，那么线路就会停止工作。

由于串联关系，发生事件概率大，预期使用寿命最短，所以使用 Z = m i n { X , Y } Z = min\{X, Y\} Z=min{X,Y}

为了更好的带入公式，我们先求解X和Y对应的分布函数：

$$F_x(x)=\int \alpha e^{-\alpha x}dx=-e^{-\alpha x}{|}_0^1=1-e^{-\alpha x}$$

$$F_y(y)=\int \beta e^{-\beta y}dy=-e^{-\beta y}{|}_0^1=1-e^{-\beta y}$$

并且分布函数存在的情况，有且只有当 $x>0,y>0$。

然后我们带入公式，得到关于z的分布函数

$$F_{min}(z)=1-[1-F_x(z)][1-F_y(z)]=1-e^{-\alpha z}{e}^{-\beta z}=1-e^{-z(\alpha +\beta )}$$

现在我们来确定下z的有效区间，因为 $x>0,y>0$ z 若需要另 $F_{min}$ 有效，必然 $z>0$，所以：

$$F_{min}(z)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-z(\alpha +\beta )}& z>0\\ 0& z\le 0\end{array}$$

然后我们对原函数求导，就可以得到它的密度函数了

$$f_{min}(z)=\{\begin{array}{cc}(\alpha +\beta )e^{-z(\alpha +\beta )}& z>0\\ 0& z\le 0\end{array}$$

解（ii） 针对并联情况，只有X和Y同时出现问题，线路才会停止工作。

由于并联关系，发生事件概率小，预期使用寿命长，所以使用 Z = m a x { X , Y } Z = max\{X, Y\} Z=max{X,Y}

我们直接把上面得到的关于X和Y的分布函数拿下来用，于是：

$$F_{max}(z)=F_x(z)F_y(z)=(1-e^{-\alpha z})(1-e^{-\beta z})$$

所以，

$$F_{max}(z)=\{\begin{array}{cc}(1-e^{-\alpha z})(1-e^{-\beta z})& z>0\\ 0& z\le 0\end{array}$$

同样，求导后有

$$f_{min}(z)=\{\begin{array}{cc}\alpha e^{-\alpha z}+\beta e^{-\beta z}-(\alpha +\beta )e^{-z(\alpha +\beta )}& z>0\\ 0& z\le 0\end{array}$$

解（iii） 情况和并联相似，但是有先后关系。即先X出问题，然后启动Y，如果Y再出问题，则线路停止工作。

由于X与Y是先后投入使用，所以预期使用寿命应该为 Z = X + Y。

$$f_{X+Y}(z)=\int f_x(x)f_y(z-x)dx=\int \alpha e^{-\alpha x}\beta e^{-\beta (z-x)}dx$$

$$=\alpha \beta e^{-\beta z}\int e^{(\beta -\alpha )x}dx=\alpha \beta e^{-\beta z}\cdot \frac{1}{\beta -\alpha }{e}^{(\beta -\alpha )x}{|}_0^z=\frac{\alpha \beta }{(\beta -\alpha )}(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z})$$

于是：

$$f_{X+Y}(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha \beta }{(\beta -\alpha )}(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z})& z>0\\ 0& else\end{array}$$