【复变函数笔记】傅里叶变换和拉普拉斯变换

本文主要是介绍【复变函数笔记】傅里叶变换和拉普拉斯变换，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

文章目录

一、傅里叶变换和拉普拉斯变换的定义
- 1. 傅里叶积分
- 2. 傅里叶变换
- 3. 单位脉冲函数和单位阶跃函数
- 4. 拉普拉斯变换
二、常见函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换
三、傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质
四、拉普拉斯逆变换

一、傅里叶变换和拉普拉斯变换的定义

1. 傅里叶积分

傅里叶积分定理 若 $f (t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足下列条件：
(1) $f (t)$ 在任一有限区间上满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点）；
(2) $f (t)$ 在无限区间 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积（即积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm{d}t$ 收敛），则有 $f(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{-i\omega\tau}\mathrm{d}\tau\right]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$ 成立，而左端的 $f (t)$ 在其间断点处应以 $\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$ （左右极限平均值）代替。

2. 傅里叶变换

傅里叶变换：若 $f (t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足傅里叶积分的条件，则称函数 $F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$ 为 $f (t)$ 的傅里叶变换；而称函数 $f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$ 为 $F(\omega)$ 的傅里叶逆变换。

3. 单位脉冲函数和单位阶跃函数

单位脉冲函数： $\delta(t)=\begin{cases} +\infty,&t=0\\ 0,&t\ne 0 \end{cases}$ 这是一个不严谨的表述，严谨的表述需要用到弱极限。该函数满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1$ 若 $f (t)$ 为无穷次可微的函数，则有 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm{d}t=f(0)$ $\delta(t)$ 是偶函数，满足 $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$ （ $a\ne 0$ ），且 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(t-t_0)f(t)\mathrm{d}t={(-1)}^n f^{(n)}(t_0)$ （这个用分部积分证明）。特别地， $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(t)f(t)\mathrm{d}t=-f'(0)$

单位阶跃函数： $u(t)=\begin{cases} 1,&t>0\\ 0,&t<0 \end{cases}$ 满足 $\int_{-\infty}^t\delta(\tau)\mathrm{d}\tau=u(t)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)=\delta(t)$

4. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：设函数 $f (t)$ 在 $t\ge 0$ 时有定义，且积分 $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$ 在复平面 $s$ 的某一区域内收敛，则称 $F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$ 为 $f (t)$ 的拉普拉斯变换（或称为象函数），称 $f (t)$ 为 $F (s)$ 的拉普拉斯逆变换（或称为象原函数），记为 $f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]$ 若令 $s=\beta+i\omega$ ，则 $\mathscr{L}[f(t)]=\mathscr{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$ 。这就是拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。

拉普拉斯变换的存在定理 若函数 $f (t)$ 满足下列条件：
(1) 在 $t\ge 0$ 的任一有限区间上连续或分段连续；
(2) 当 $t\to+\infty$ 时， $f (t)$ 的增长速度不超过某一指数函数，即存在 $M > 0$ 和 $c\ge 0$ 使得 $|f(t)|\le Me^{ct},\forall t\in[0,+\infty)$ 则 $f (t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$ 在半平面 $\operatorname{Re}(s)>c$ 上一定存在，右端的积分在 $\operatorname{Re}(s)\ge c_1>c$ 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 $\operatorname{Re}(s)>c$ 的半平面内， $F (s)$ 为解析函数。 $c$ 称为 $f (t)$ 的增长指数。

二、常见函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换

象原函数 $f (t)$	傅里叶变换	拉普拉斯变换
$1$	$2\pi\delta(\omega)$	-
$\delta(t)$	$1$	$1$
$u (t)$	$\cfrac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)$	$\cfrac{1}{s}$
$t^n$	$2\pi i^n\delta^{(n)}(\omega)$	$\cfrac{\Gamma(n+1)}{s^{(n+1)}}(n>-1)$ （当 $n$ 为整数时为 $\cfrac{n!}{s^{n+1}}$ ）
$\cos\omega_0 t$	$\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]$	$\cfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$ （要求 $\omega_0\in\mathbb{R}$ ）
$\sin\omega_0 t$	$i\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$	$\cfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$ （要求 $\omega_0\in\mathbb{R}$ ）
$e^{-\beta t}u(t)$	$\cfrac{1}{\beta+i\omega}(\beta>0)$	$\cfrac{1}{s+\beta}$

三、傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质

令 $F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$ ， $F(s)=\mathscr{L}[f(t)]$ 。

性质	傅里叶变换	拉普拉斯变换
线性性质	$\mathscr{F}[af_1(t)+bf_2(t)]=a\mathscr{F}[f_1(t)]+b\mathscr{F}[f_2(t)]$	$\mathscr{L}[af_1(t)+bf_2(t)]=a\mathscr{L}[f_1(t)]+b\mathscr{L}[f_2(t)]$
相似性质	$\mathscr{F}[f(at)]=\frac{1}{\|a\|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$	$\mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$ （ $a > 0$ ）
对称性质	$\mathscr{F}[F(\omega)]=2\pi f(-t)$
微分性质	$\mathscr{F}[f'(t)]=i\omega\mathscr{F}[f(t)]$ $\mathscr{F}[f^{(n)}(t)]={(i\omega)}^n\mathscr{F}[f(t)]$	$\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)$ $\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^n F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$
象函数的微分性质	$\mathscr{F}[tf(t)]=iF'(\omega)$ $\mathscr{F}[t^n f(t)]=i^n F^{(n)}(\omega)$	$\mathscr{L}[tf(t)]=-F'(s)$ $\mathscr{L}[t^n f(t)]={(-1)}^n F^{(n)}(s)$
位移性质	$\mathscr{F}[f(t+t_0)]=e^{i\omega t_0}\mathscr{F}[f(t)]$	$\mathscr{L}[f(t+t_0)]=e^{st_0}\mathscr{L}[f(t)]$ （要求 $t_0<0$ ）
象函数的位移性质	$\mathscr{F}[e^{i\omega_0 t}f(t)]=F(\omega-\omega_0)$	$\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$ （要求 $\operatorname{Re}(s-a)>s_0$ ，其中 $s_0$ 是 $f (t)$ 的增长指数）
积分性质	$\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^t f(\tau)\mathrm{d}\tau\right]=\frac{1}{i\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)$	$\mathscr{L}[\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau]=\frac{1}{s}F(s)$
象函数的积分性质		$\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]=\int_s^\infty F(s)\mathrm{d}s$
卷积定理	$\mathscr{F}[f_1(t)f_2(t)]=\mathscr{F}[f_1(t)]\cdot\mathscr{F}[f_2(t)]$ $\mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi}\mathscr{F}[f_1(t)]\mathscr{F}[f_2(t)]$	$\mathscr{L}[f_1(t)*f_2(t)]=\mathscr{L}[f_1(t)]\cdot\mathscr{L}[f_2(t)]$
乘积定理	令 $F_1(\omega)=\mathscr{F}[f_1(t)]$ ， $F_2(\omega)=\mathscr{F}[f_2(t)]$ ，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f_1(t)}f_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{F_1(\omega)}F_2(\omega)\mathrm{d}\omega$ $\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1(\omega)\overline{F_2(\omega)}\mathrm{d}\omega$
能量积分	帕西瓦尔等式： $\int_{-\infty}^{+\infty}{[f(t)]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\|F(\omega)\|}^2\mathrm{d}\omega$
初值定理		$f(0)=\lim\limits_{s\to\infty}sF(s)$ （若这个极限存在）
终值定理		$\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)$ （要求 $s F (s)$ 的所有奇点都在 $s$ 平面的左半部）

四、拉普拉斯逆变换

由于 $F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\mathscr{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$ （ $s=\beta+i\omega$ ），我们有 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\beta+i\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega=f(t)u(t)e^{-\beta t}\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\beta+i\omega)e^{(\beta+i\omega)t}\mathrm{d}\omega$ 注意到 $\mathrm{d}s=i\mathrm{d}\omega$ ，我们把积分写出复变函数的积分： $f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s$ 下面我们通过留数来计算这个积分。

定理设 $s_1,s_2,\cdots,s_l$ 是 $F (s)$ 的所有孤立奇点（有限个），除这些点外， $F (s)$ 处处解析。且存在 $R_0>0$ ，使得当 $s|>R_0$ 时， $|F(s)|\le M(r)$ ，其中 $M (r)$ 是 $r$ 的实函数，满足 $\lim\limits_{r\to+\infty}M(r)=0$ （即当 $s\to\infty$ 时， $F(s)\to 0$ ）。选取 $\beta$ ，使所有孤立奇点的实部都小于 $\beta$ ，则当 $t > 0$ 时， $f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta-i\infty}^{\beta+i\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum\limits_{k=1}^l \operatorname{Res}[F(s)e^{st},s_k]$
定理的证明