这个结论很可能是正确的，

2024-02-04 00:18

文章标签 正确可能结论

本文主要是介绍这个结论很可能是正确的，，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

下面问题

在这里插入图片描述
原题是说，下面的等式
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{100k+1}}{\dfrac{t}{100k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2$

对于 $N<9.8\times 10^{42}$ 都成立，但是对 $N>7.4\times 10^{43}$ 不成立。

我觉得这个是靠谱的，但是具体证明或验证比较难。

类似的例子

如果把上面的问题调整成下面的形式,把 $k$ 前面的系数100改成比较小的自然数，比如1,2,3, $\cdots$ 观察一下规律，比如：

$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{1}$
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{2}$
$\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}3}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}3}k+1}}\right)dt=\dfrac{\pi}2\tag{3}$
求自然数 $N$ 最大分别为多大的时候成立（记这个最大 $N$ 为 $N_c$ )？

“容易”（通过计算、借助符号计算工具而不是手动）验证,
对公式(1), $N = 1, 2$ 时等式成立，但是 $N\ge 3$ 之后结果就不再一致了， $N^{\color{red}1}_c=2$ ；
对公式(2)， $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 等式都成立，但是 $N\ge 7$ 之后，结果就不再一致了,所以, $N^{\color{red}2}_c=6$ 。
对于公式(3), 我用软件验证到 $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,$ 都成立，到 $N = 13$ 计算实在太耗时了，我就没有等下去(后来发现还是 $\dfrac{\pi}2$ )， $N = 17$ 的计算，我让计算机自己忙了一个通宵，没出来结果！——谁有超级计算机可以继续验证下去，我的破电脑应该是连 $N^{\color{red}3}_c$ 都难以验证出来是多少了。

公布下部分已经验证了的结果，可以让期望通过简单的、常规技巧（什么傅里叶卷积、什么泰勒级数、什么复变函数 $\cdots$ ）就能手动得到 $N$ 比较大的时候的积分的演算解析解的同学们死心：那么长的整数的加减乘除计算、手动求不论有什么技巧、累不累？对人力来说已经算是不可能事件了。

定义这样一个关于自然数 $N$ 的函数 $f\left(N\right)$

$f_{\color{red}2}\left(N\right)\;\underline{\underline {\text{def}}}\;\int_0^\infty\prod\limits_{k=0}^{N}\left(\dfrac{\sin \dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}{\dfrac{t}{{\color{red}2}k+1}}\right)dt\tag{4}$

可以得到：
$\left.\begin{array}{ccl} f_2(1)&=&\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(2)&=&\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(3)&=&\dfrac{\pi}2\\[10pt] \cdots&\cdots\\ f_2(6)&=&\dfrac{\pi}2\\[10pt] f_2(7)&=&\dfrac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000} \pi \\[15pt] f_2(8)&=&\dfrac{17708695183056190642497315530628422295569865119}{35417390788301195294898352987527510935040000000} \pi \\[15pt] \end{array}\right\}\quad\tag{5}$

可以观察到的趋势是，随着 $k$ 前面系数的增大，可以保持积分值为 $\dfrac{\pi}2$ 的自然数 $N$ 的边界也逐渐增大。但没想到到100的时候可以这么大。猜想：这个应该是有规律可循的吧？而且，随着这个 $k$ 前系数 $\color{red}\#$ 的增大、边界 $N^{\color{red}\#}_c$ 急剧膨胀，这才可能在系数为100的时候就膨胀到 $10^{40}$ 这种天文数字级别。