LC 1690. 石子游戏 VII

本文主要是介绍LC 1690. 石子游戏 VII，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1690. 石子游戏 VII

难度: 中等

题目大意:

石子游戏中，爱丽丝和鲍勃轮流进行自己的回合，爱丽丝先开始 。

有 n 块石子排成一排。每个玩家的回合中，可以从行中 移除 最左边的石头或最右边的石头，并获得与该行中剩余石头值之 和 相等的得分。当没有石头可移除时，得分较高者获胜。

鲍勃发现他总是输掉游戏（可怜的鲍勃，他总是输），所以他决定尽力 减小得分的差值 。爱丽丝的目标是最大限度地 扩大得分的差值 。

给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 表示 从左边开始 的第 i 个石头的值，如果爱丽丝和鲍勃都 发挥出最佳水平 ，请返回他们 得分的差值 。

提示：

• n == stones.length
• 2 <= n <= 1000
• 1 <= stones[i] <= 1000

示例 1：

输入：stones = [5,3,1,4,2]
输出：6
解释：
- 爱丽丝移除 2 ，得分 5 + 3 + 1 + 4 = 13 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 0 ，石子 = [5,3,1,4] 。
- 鲍勃移除 5 ，得分 3 + 1 + 4 = 8 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [3,1,4] 。
- 爱丽丝移除 3 ，得分 1 + 4 = 5 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [1,4] 。
- 鲍勃移除 1 ，得分 4 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [4] 。
- 爱丽丝移除 4 ，得分 0 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [] 。
得分的差值 18 - 12 = 6 。

分析

假设爱丽丝最终的得分是A鲍勃的得分是B，那么二者的差值是A - B，爱丽丝要最大限度扩大这个数字，鲍勃要尽可能减小得分的差值，换句话说就是要B - A要尽可能扩大这个数字，也就是说要尽可能扩大自己的得分减去对手的得分，以示例1为例，假设爱丽丝第一轮移走了第一个石子，那么剩下的就是要从[3, 1, 4, 2]中鲍勃(现在可以看作是先手)的得分减去爱丽丝(现在可以看作是后手)的得分，同理如果移走了最后一个元素，那么剩下的就是[5,3,1,4]中鲍勃(现在可以看作是先手)的得分减去爱丽丝(现在可以看作是后手)的得分，我们发现我们找到了原问题的一个子问题，我们考虑使用动态规划算法，我们首先可以考虑记忆化搜索

定义dfs(i, j)， f[i][j]用来存状态，dfs(i, j)表示从i到j先手和后手的得分差值的最大值，如果先手移除了i，那么此时得分的差值就是
$$\sum _{k=i+1}^{k=j}stones[k]-dfs(i+1,j)$$
同理得如果移除最后面的石头那么得分的差值就是
$$\sum _{k=i}^{k=j-1}stones[k]-dfs(i,j-1)$$
二者取一个max即可，一段连续序列的和我们可以使用前缀和算法来处理

记忆化搜索

class Solution {
public:int stoneGameVII(vector<int>& stones) {int n = stones.size();vector<int> sum(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i ++) {sum[i] = sum[i - 1] + stones[i - 1];}vector<vector<int>> f(n, vector<int>(n, 0));function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {if (i >= j) return 0;int& res = f[i][j]; // 注意这里是引用if (res) return res;res = max(sum[j + 1] - sum[i + 1] - dfs(i + 1, j), sum[j] - sum[i] - dfs(i, j - 1));return res;};return dfs(0, n - 1);}
};

时间复杂度: $O(n^2)$

翻译成递推的形式

dfs(i, j) 就表示 f[i][j], 状态转移方程就是f[i][j] = max(sum[j + 1] - sum[i + 1] - f[i + 1][j], sum[j] - sum[i] - f[i][j - 1]);

动态规划(区间dp)

class Solution {
public:int stoneGameVII(vector<int>& stones) {int n = stones.size();vector<int> sum(n + 1);partial_sum(stones.begin(), stones.end(), sum.begin() + 1);vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int len = 2; len <= n; len ++) {for (int i = 0; i + len - 1 < n; i ++) {int l = i, r = i + len - 1;f[l][r] = max(sum[r + 1] - sum[l + 1] - f[l + 1][r], sum[r] - sum[l] - f[l][r - 1]);}}return f[0][n - 1];}
};// 另一个版本
class Solution {
public:int stoneGameVII(vector<int>& stones) {int n = stones.size();vector<int> sum(n + 1);partial_sum(stones.begin(), stones.end(), sum.begin() + 1);vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = n - 2; i >= 0; i --) {for (int j = i + 1; j < n; j ++) {f[i][j] = max(sum[j + 1] - sum[i + 1] - f[i + 1][j], sum[j] - sum[i] - f[i][j - 1]);}}return f[0][n - 1];}
};

时间复杂度 $O(n^2)$

partial_sum可以用来求前缀和

结束了

这篇关于LC 1690. 石子游戏 VII的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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