本文主要是介绍acwing数学知识(一)质数 约数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
1.质数——筛质数
题目:给定一个正整数n,请你求出1~n中质数的个数。
(1)朴素筛法O(nlogn)
算法核心:把每个数的所有倍数筛掉
调和级数:1 + 1/2 + 1/3 +…+ 1/n = lnn + c(c欧拉常数=0.577)
算法时间复杂度:最外层遍历整个数组是n(其实不用管,只用看内部总次数即可),内部循环总次数是n/2,n/3,n/4…1,累加得n(1/2 + 1/3 + 1/4 +…+1/n)=nlnn=nlogn
void get_prime(int x)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++] = i;for(int j = i + i ; j <= n ; j += i) st[j] = true;}
}
(2)埃式筛法O(nloglogn)
算法核心:把每个质数的所有倍数筛掉
质数定理:1~n中由n/logn个质数
算法时间复杂度:由(1)可得:O(nlonglongn)当数据不是足够大时与O(n)接近
void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (st[i]) continue; //st如果是true 说明被筛过,那么它的倍数肯定被筛过,所以直接跳过//接下来对该质数的所有倍数进行筛选primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}
(3)线性筛法O(n)
算法核心:x只会被它的最小质因数筛去,即每个数字只被筛选一次,因此是线性的n。
证明每个x都能被筛掉:
对于一个合数x,x一定存在一个最小质因子,假设pj是x 的最小质因子,当i枚举到x/pj时,x就被筛了,因为x只有一个最小质因数,因此每个数字只被筛选一次。
算法时间复杂杂度:因为每个数只被筛过一次,因此为O(n)
void get_prime(int x)
{for(int i = 2 ; i <= x ; i++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;/**for循环判断语句中不需要j<cnt。分两种情况。1.i为合数,当primes[j]取到i的最小质因子时就break 此时 j<cnt2.i为质数,当primes[j]的值和i相等时就break 此时j == cnt-1**/for(int j = 0 ; primes[j] <= x / i ; j++){ st[primes[j] * i] = true; //筛去primes[j]的倍数/*针对st[primes[j] * i] = true;本质上分两种情况1.i%pj == 0, 因为primes[j]是顺序遍历,因此当当一次模为零时,primes[j]一定为i的最小质因子,primes[j]也一定为primes[j]*i的最小质因子2.i%pj != 0, 同样因为primes[j]是顺序遍历,primes[j]一定小于i的所有质因子所以primes[j]也一定为primes[j]*i最小质因子*/if(i % primes[j] == 0) break;//当primes[j]是i的最小质因数时break(为了 //遵守算法的核心,避免重复的筛选)。如果继续用primes[j+1]去筛选,此时,//primes[j+1]大于i的最小质因子,那么也同样不是primes[j+1]*i的最小质因子}}
}
2.约数
根据分摊分析,当数据最够多时,每个数的约数平均为logn个。
(第一个数是n个数的约数 , 第二个数是n/2个数的约数 , 以此类推第n个数是n/n个数的约数。
累加得n(1/1+1/2+1/3+…+1/n)=n(lnn+c)≈nlogn)
(1)试除法O(sqrt(n))
思路:从小到大枚举较小的约数即可
vector<int> get_divisors(int x)
{vector<int> res;for(int i = 1 ; i <= x / i ; i++) {if(x % i == 0) {res.push_back(i);if(i != x / i) res.push_back(x / i); //特判边界}}sort(res.begin() , res.end());return res;
}
(2)约数个数
题目:给定n个正整数ai,请你输出这些数的乘积的约数个数,答案对109+7取模。
算法思想:
基于算数基本定理:N = p1a1 * p2a2 * … * pkak
N的任意一项约数可以写成 d = q1b1+q2b2+…+qkbk
不同的b数组组合而成的约数d是不同(即因式分解不同)
同理不同的a数组组合而成的N也是不同的,
而a1有a1+1种选法,a2有a2+1种选法…ak有ak+1种选法
因此约数个数:(a1+1)(a1+1)(a3+1)…(ak+1)
#include <iostream>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef long long ll;const int P = 1e9 + 7;
int main()
{unordered_map<int , int> primes; //利用哈希表存储int n;cin >> n; while(n --) //分解质因数{int x;cin >> x; for(int i = 2 ; i <= x / i; i++){while(x % i == 0){primes[i]++;x /= i;}}if(x > 1) primes[x]++;}ll ans = 1;for(auto p : primes) //迭代一次,套用公式即可ans = ans * (p.second + 1) % P; cout << ans << endl; return 0;
}
(3)约数之和
同样的某个数N可以展开为 N = p1a1 * p2a2 * … * pkak
约数之和为:(p10+p11+p12+…+p1a1) * (p20+p21+p22+…+p2a2) * …* (pk0+``pk1+pk2+…+pkak)
即排列问题,展开后就是每一个约数,且都不相等
//求质因数与上方代码相同
for(auto t : primes){int p = t.first , q = t.second;ll res = 1;while(q--) res = (res * p + 1) % P; //这里有一个小技巧><ans = ans * res % P;}
(4) 最大公约数
(greast common divisor简称“gcd”)
递归版辗转相除法(欧几里得算法):核心是gcd(a , b) = gcd(b , a % b)
原理:
由基本定理得:当d能分别整除a,b时,d就能整除xa+yb。
显然a % b = a - c * b(其中c=a/b)。
即证:(a , b) = (b , a - c * b)
记d=(a,b),则d|a,d|b,所以根据基本定理得d|a-cb,所以d=gcd(b , a-cb)
记d=(b , a-cb) , 则d|b , d|a-cb ,所以根据基本定理得:d|(cb)+(a-cb) 即a|b ,所以d=(a , b)
所以(a , b) = (b , a-c*b)成立,说明(a,b)的公约数就是(b , a - c * b)的公约数,所以等号两边的最大公约数相同。
不断地辗转相除直到第二个参数为0,因为0模上任何一个非零的整数都是0,所以任何一个数都可以看作是0的约数,而b的最大约数是b,那取交集后,gcd(b,0)当然是b。
所以gcd(a , b) = gcd(b , a % b)成立
//核心代码,非常非常简单
int gcd(int a , int b)
{return b ? gcd(b , a % b) : a;
}
这篇关于acwing数学知识(一)质数 约数的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!