MMSE滤波/均衡矩阵：两个视角，推导与MATLAB实现

本文主要是介绍MMSE滤波/均衡矩阵：两个视角，推导与MATLAB实现，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题背景

考虑MIMO上行通信场景，基站配有$N$根天线，$K$个单天线用户同时向基站发送数据符号符号。信道矩阵为$\mathbf{H}\in {\mathcal{C}}^{N\times K}$，符号向量为$\mathbf{s}=(s_1,...,s_K{)}^T$，且$\mathbb{E}[\mathbf{s}{\mathbf{s}}^H]={\mathbf{I}}_K$。基站端的噪声向量为$\mathbf{n}\in \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\mathbf{I}}_N)$。用户$k$的发射功率为$P_k$，（不考虑大尺度衰落），并记矩阵
$$\mathbf{D}=\text{diag}({\sqrt{P}}_1,...,{\sqrt{P}}_K)$$

若基站采用的线性滤波矩阵为$\mathbf{W}$，其维度为$N\times K$。

则滤波后的信号向量为
$$\mathbf{y}={\mathbf{W}}^H\mathbf{H}\mathbf{D}\mathbf{s}+{\mathbf{W}}^H\mathbf{n}$$

分量形式为
$$y_k={\sqrt{P}}_k{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{h}}_k{s}_k+\sum _{j\ne k}{\sqrt{P}}_j{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{h}}_j{s}_j+{\mathbf{w}}_k^H\mathbf{n}$$

最小均方误差角度

考虑到不同用户信号的功率有可能不同，所以定义MSE如下：
$$\begin{array}{rl}e& ={\mathbb{E}}_{\mathbf{n},\mathbf{s}}[||{\mathbf{W}}^H\mathbf{H}\mathbf{D}\mathbf{s}+{\mathbf{W}}^H\mathbf{n}-\mathbf{D}\mathbf{s}|{|}_2^2]\\ & =\text{Tr}\left({\left({\mathbf{W}}^H\mathbf{H}\mathbf{D}-\mathbf{D}\right)}^H\left({\mathbf{W}}^H\mathbf{H}\mathbf{D}-\mathbf{D}\right)+{\mathbf{W}}^H\mathbf{W}\right)\end{array}$$

令
$$\frac{\partial e}{\partial {\mathbf{W}}^{\ast }}={\mathbf{H}\mathbf{D}\mathbf{D}}^H{\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-{\mathbf{H}\mathbf{D}\mathbf{D}}^H+\mathbf{W}=0$$

可得到
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{W}}^{\text{opt}}& =({\mathbf{H}\mathbf{D}}^2{\mathbf{H}}^H+{\mathbf{I}}_N{)}^{-1}{\mathbf{H}\mathbf{D}}^2\\ & ={\mathbf{H}\mathbf{D}}^2({\mathbf{H}}^H{\mathbf{H}\mathbf{D}}^2+{\mathbf{I}}_K{)}^{-1}\end{array}$$

上面的第2个等号，是由于
$$A+ABA=A(I+BA)=(I+AB)A$$

所以
$$(I+BA{)}^{-1}{A}^{-1}=A^{-1}(I+AB{)}^{-1}$$

两边同时左乘右乘$A$，得到
$$A(I+BA{)}^{-1}=(I+AB{)}^{-1}A$$

最大信干噪比角度

基站通过线性滤波得到的关于第$k$个用户的信干噪比为
$${\gamma }_k=\frac{P_k|{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{h}}_k{|}^2}{{\sum }_{j\ne k}{P}_j|{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{h}}_j{|}^2+|{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{w}}_k|}$$
可以看出${\gamma }_k$只与${\mathbf{w}}_k$有关，所以针对不同用户可以单独优化。${\gamma }_k$的最大化其实是一个广义瑞利商的最大化问题
$${\gamma }_k=\frac{{\mathbf{w}}_k^H(P_k{\mathbf{h}}_k{\mathbf{h}}_k^H){\mathbf{w}}_k}{{\mathbf{w}}_k^H({\sum }_{j\ne k}{P}_j{\mathbf{h}}_j{\mathbf{h}}_j^H+{\mathbf{I}}_N){\mathbf{w}}_k}$$

容易得到
$${\mathbf{w}}_k={\left(\sum _{j\ne k}{P}_j{\mathbf{h}}_j{\mathbf{h}}_j^H+{\mathbf{I}}_N\right)}^{-1}{\mathbf{h}}_k{\sqrt{P}}_k$$

通过秩1更新公式很容易得到下面的表示也是等价的
$${\mathbf{w}}_k={\left(\sum _{j=1}^K{P}_j{\mathbf{h}}_j{\mathbf{h}}_j^H+{\mathbf{I}}_N\right)}^{-1}{\mathbf{h}}_k{\sqrt{P}}_k$$

只是scale了一下。

很容易可以看出两种视角得到的结果是相同的！

MATLAB仿真验证代码

N = 6;
K = 4;
P = 2;
tmp = randn(K,1);
D = diag(tmp/norm(tmp)*sqrt(P));
H=.5*(randn(N, K) + 1i * randn(N, K));cvx_beginvariable G(N, K) complexminimize sum(sum_square_abs(G'*H*D-D))+sum(sum_square_abs(G)) cvx_endG;
G = G./vecnorm(G)
G2 = H*D*D/(eye(K)+H'*H*D*D);
G2 = G2./vecnorm(G2)
G3 = (H*D*D*H'+eye(N))\H*D*D;
G3 = G3./vecnorm(G3)
G4 = zeros(size(G));for k = 1:KD1 = D;D1(k,k) = 0;G4(:, k) = (H*D1*D1*H'+eye(N))\H(:, k)*D(k,k);
end
G4 = G4./vecnorm(G4)G5 = zeros(size(G));for k = 1:KD1 = D;G5(:, k) = (H*D1*D1*H'+eye(N))\H(:, k)*D(k,k);
end
G5 = G5./vecnorm(G5)

• cvx求解
• 角度1的两种表示
• 角度2的两种表示

这篇关于MMSE滤波/均衡矩阵：两个视角，推导与MATLAB实现的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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