MMSE 预编码公式推导

本文主要是介绍MMSE 预编码公式推导，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

考虑一个多用户多输入单输出MU-MISO下行通信场景，基站端配置有$N$根天线，其服务该小区下$K$个单天线用户。假定信道为平坦瑞利衰落信道，记为$\mathbf{H}\in {\mathcal{C}}^{N\times K}$，基站最大发射功率为$P$。则最小均方误差准则下的预编码矩阵为下面优化问题的最优解
$$\begin{gathered} \underset{\mathbf{W}}{\min }{\mathbb{E}}_{\mathbf{n},\mathbf{s}}\left[||{\mathbf{H}}^H\mathbf{W}\mathbf{s}+\mathbf{n}-\mathbf{s}|{|}^2\right] \\ \text{s.t.}\text{Tr}({\mathbf{W}}^H\mathbf{W})\le P \end{gathered}$$

拉格朗日函数为
$$\begin{array}{rl}L(\mathbf{W},\lambda )& ={\mathbb{E}}_{\mathbf{n},\mathbf{s}}\left[||{\mathbf{H}}^H\mathbf{W}\mathbf{s}+\mathbf{n}-\mathbf{s}|{|}^2\right]+\lambda \left[\text{Tr}({\mathbf{W}}^H\mathbf{W})-P\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{\mathbf{n},\mathbf{s}}\left[{\left(\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-{\mathbf{I}}_K\right)\mathbf{s}+\mathbf{n}\right)}^H\left(\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-{\mathbf{I}}_K\right)\mathbf{s}+\mathbf{n}\right)\right]+\lambda \left[\text{Tr}({\mathbf{W}}^H\mathbf{W})-P\right]\\ & =\text{Tr}\left({\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-{\mathbf{I}}_K\right)}^H\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-{\mathbf{I}}_K\right)\right)+K+\lambda \left[\text{Tr}({\mathbf{W}}^H\mathbf{W})-P\right]\\ & =\text{Tr}\left({\mathbf{W}}^H\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H\mathbf{W}\right)-\text{Tr}\left({\mathbf{W}}^H\mathbf{H}\right)-\text{Tr}\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{W}\right)+2K+\lambda \left[\text{Tr}({\mathbf{W}}^H\mathbf{W})-P\right]\end{array}$$

令
$$\frac{\partial L}{\partial {\mathbf{W}}^{\ast }}=\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H\mathbf{W}-\mathbf{H}+\lambda \mathbf{W}=0$$

变量为复矩阵，应令关于其共轭的导数为0

可得
$$\begin{array}{rl}\mathbf{W}& ={\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+\lambda {\mathbf{I}}_N\right)}^{-1}\mathbf{H}\\ & =\mathbf{H}{\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+\lambda {\mathbf{I}}_K\right)}^{-1}\end{array}$$

上面的第2个等号，是由于
$$A+ABA=A(I+BA)=(I+AB)A$$

所以
$$(I+BA{)}^{-1}{A}^{-1}=A^{-1}(I+AB{)}^{-1}$$

两边同时左乘右乘$A$，得到
$$A(I+BA{)}^{-1}=(I+AB{)}^{-1}A$$

相关文献指出
$${\lambda }_{opt}=P/K$$

这篇关于MMSE 预编码公式推导的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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