本文主要是介绍【省选模拟】Fac （生成函数）（组合意义）（拉格朗日反演）（倍增）（多项式全家桶），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
传送门
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没有题解是真的秀，连蒙带猜搞了一天结果今天早上才写完，不过还好有 3 个神仙学长助力
不知道题解是怎么想到的，所以只好直接说结论了 -
经观察发现可以先求出 ( i k i − 1 ) 1 i \binom{ik}{i-1}\frac{1}{i} (i−1ik)i1，这个在 k = 2 k=2 k=2 的时候是卡特兰数也就是二叉树的个数
考虑将其扩展为 k k k 叉树，即证 f ( x ) = x f ( x ) k + 1 f(x)=xf(x)^k+1 f(x)=xf(x)k+1 是 ∑ ( i k i − 1 ) 1 i x i \sum \binom{ik}{i-1}\frac{1}{i}x^i ∑(i−1ik)i1xi 的生成函数 -
证明：
f ( x ) − 1 f ( x ) k = x , g ( x ) = x − 1 x k ⇒ [ x n ] f ( x ) = [ x n − 1 ] 1 n ( x g ( x ) ) n [ x n − 1 ] 1 n ( x g ( x ) ) n = [ x n − 1 ] 1 n ( x k + 1 x − 1 ) n \frac{f(x)-1}{f(x)^k}=x,g(x)=\frac{x-1}{x^k}\\ \Rightarrow [x^n]f(x)=[x^{n-1}]\frac{1}{n}(\frac{x}{g(x)})^n\\ [x^{n-1}]\frac{1}{n}(\frac{x}{g(x)})^n=[x^{n-1}]\frac{1}{n}(\frac{x^{k+1}}{x-1})^n f(x)kf(x)−1=x,g(x)=xkx−1⇒[xn]f(x)=[xn−1]n1(g(x)x)n[xn−1]n1(g(x)x)n=[xn−1]n1(x−1xk+1)n
中间用到了拉格朗日反演
后面的一个是 ( x k + 1 x − 1 ) n = ∑ i ≤ k x i (\frac{x^{k+1}}{x-1})^n=\sum_{i\le k}x^i (x−1xk+1)n=∑i≤kxi，所以组合意义是 x 1 + x 2 + ⋯ + x n = n − 1 , x i ≤ k x_1+x_2+\dots +x_n=n-1,x_i\le k x1+x2+⋯+xn=n−1,xi≤k，令 x = k − x x=k-x x=k−x，即可得方案数为 ( k n n − 1 ) \binom{kn}{n-1} (n−1kn)
也同时证明了 n n n 个点的 k k k 叉树（有根无标号儿子有顺序）的个数是 ( n k n − 1 ) 1 n \binom{nk}{n-1}\frac{1}{n} (n−1nk)n1 -
于是问题就变成了解 x f ( x ) k − f ( x ) + 1 ≡ 0 ( m o d x n ) xf(x)^k-f(x)+1\equiv 0(mod\ x^n) xf(x)k−f(x)+1≡0(mod xn)
这个是可以倍增的，假设已经求得 x f 0 k − f 0 + 1 ≡ 0 ( m o d x n ) xf_0^k-f_0+1\equiv 0(mod\ x^n) xf0k−f0+1≡0(mod xn)
考虑扩展到 x f k − f + 1 ≡ 0 ( m o d x 2 n ) xf^k-f+1\equiv 0(mod\ x^{2n}) xfk−f+1≡0(mod x2n)
我们只需要求出 [ n , 2 n ) [n,2n) [n,2n) 的系数，不妨令为 f 1 f_1 f1，我们用 f 0 + f 1 f_0+f_1 f0+f1 表示新的 f f f
考虑前一半的贡献， x f 0 k xf_0^k xf0k 在 [ n , 2 n ) [n,2n) [n,2n) 是有贡献的，不妨令为 A A A
而 ( f 0 + f 1 ) k (f_0+f_1)^k (f0+f1)k 对 [ n , 2 n ) [n,2n) [n,2n) 的贡献只会有一个 x x x 选到 [ n , 2 n ) [n,2n) [n,2n)，故可以列出方程
k f 1 f 0 k − 1 + A = f 1 kf_1f_0^{k-1}+A=f_1 kf1f0k−1+A=f1
解出即可，倍增算贡献还是比较巧妙
C o d e Code Code，最慢的点跑了 1 s 1s 1s
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