Pure Mathematics 4-Differentiation(微分)

5.1 Parametric differentiation

Prior knowledge（预备知识）

P4的课本提到预备知识是P1的4.1和4.3
①P1的4.1和4.3里面其实没有引入$t$参数。只讲了函数曲线和坐标轴交点（coordinate axes）。
②此处Prior knowledge直接出现了$x=f(t)=3t^2-5t$形式
这就很尴尬了，明明没有学过含有t的参数方程，却放到预备知识里面说已经学过了。
综合①②，课本承认引入了t轴（也就是第三个坐标轴）

参数方程-引言
下图到底是什么？圆？正方形？

其实是一个 曲面构成的圆柱体。
我们上小学 时几何是怎么学习？
一、学习一个圆规，去画一个圆
二、学习一把尺子，去画一个正方形
正方形、矩形有四条边，比圆复杂很多很多。
三、老师拿出一个易拉罐，侧面是矩形，俯视时是圆形。

上述举例即是参数方程的核心思想-已知两个投影面信息，求第三个投影面的信息（例如微分）。
下面我们来看一道题，体会参数方程的含义。

根据 讲课 需要，我们先讲Example2，再讲Example1

Example2

$\begin{array}{rl}& \frac{dx}{d\theta }=3\cos \theta ,\frac{dy}{d\theta }=-5\sin \theta 0\le \theta <2\pi \\ & \frac{dy}{dx}=\frac{-5\sin \theta }{3\cos \theta }\\ & \text{At}\mathrm{point}P,\mathrm{where}\theta =\frac{\pi }{6}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{-5\times \frac{1}{2}}{3\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-5}{3\sqrt{3}}\end{array}$

课堂提问：tangent多少？
tangent·normal=-1
$\begin{array}{rl}& \text{The gradient of the normal at }P\mathrm{is}\frac{3\sqrt{3}}{5}\\ & \text{and at }P,x=\frac{3}{2},y=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\ & \text{The equation of the normal is}\\ & y-\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot \\ & \therefore 5y=3\sqrt{3}x+8\sqrt{3}\end{array}$

（授课时运行三维图观看，代码如下）

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的b问题# 参数θ的取值范围和精度  
thetas = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)  # 参数方程  
x = 3 * np.sin(thetas)  
y = 5 * np.cos(thetas)  # 创建一个3D图形  
fig = plt.figure()  
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  # 绘制曲线  
ax.plot(x, y, thetas, label='参数方程')  
ax.set_xlabel('x')  
ax.set_ylabel('y')  
ax.set_zlabel('θ')  
ax.legend()  # 显示图形  
plt.show()

Example2投影图汇总

投影方向	投影图
$y$方向投影（俯视） $x=3sin\theta$
$x$方向投影（俯视） $y=5cos\theta$
$\theta$方向投影(俯视) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$
三维视图

有些同学是在高中阶段才学过椭圆，其实根据上面的Python代码绘制，
我们看到，参数方程其实是一个螺旋上升的曲线。
那么螺旋上升的曲线有什么用呢？难道只是为了应付考试吗？

Parametric Equation在天体物理学中的应用

例如，在视频1:55我们看到侧面图
地球绕太阳转的轨迹是一个三角函数（正余弦取决于y轴的位置，y轴往右移动$\frac{\pi }{2}$就会变成cosine函数）

视角	图像
x、y方向投影 (视频1:55)
$\theta$方向投影 一个椭圆轨迹 (视频0:13)
三维视角 视频2:46之后 地球围绕太阳螺旋上升

上面是Parametric Equation在天体物理学中的应用。

这个题目到底在讲什么？
其实是一个三维空间中，螺旋上升的曲线，通过参数方程*来表达。
已知两个投影面（正弦、余弦）的微分，求 第三个面（投影图案是椭圆）的微分。
如何求呢？链式法则。

所以什么是参数方程？
看见参数方程，马上想到易拉罐。
一个易拉罐就是参数方程。

什么是易拉罐？
你从不同的方向来看，都会看到不同的图形。

俗话说：
横看成岭侧成峰，
远近高低进不同。
这就是参数方程

根据上述图示，链式法则的几何意义是什么？

链式法则几何意义：
一、
已知y-t微分关系
已知x-t微分关系
求y和x微分
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
二、
已知两个投影面（x-θ、y-θ）的曲线斜率，求第三个投影面（x-y）曲线斜率
$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$

知识点总结
几何意义（不做考试要求，只是为了便于理解、记忆)。
链式法则（已知两个微分，求另一个微分）
切线（tangent）
法线（normal）

Example1

代码实现

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的b问题# 参数θ的取值范围和精度  
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)  # 参数方程  
# x = 3 * np.sin(thetas)  
# y = 5 * np.cos(thetas)  x=t**3+t
y=t**2+1  # 创建一个3D图形  
fig = plt.figure()  
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  # 绘制曲线  
ax.plot(x, y, t, label='参数方程')  
ax.set_xlabel('x')  
ax.set_ylabel('y')  
ax.set_zlabel('t')  
ax.legend()  # 显示图形  
plt.show()

运行结果

5.2 Implicit differentiation

概念回顾

概念	表示举例
导数（derivative）	f’(x)
微分（differentiation）	$\frac{dy}{dx}$、$\frac{f(y)}{dy}$

概念上，导数不能完全等同于微分，那么这和我们的考试有什么关系呢？

举例一：
①AB⊥BC，所以∠ABC是90°（这个说法是错的）
正确表述是：∠ABC是90°的角

举例二：
find tan∠BAC of the following triangle

Wrong Solution：
$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Right Solution:
$tan\angle BAC=\frac{1}{\sqrt{3}}$

为什么第一个回答是错的，第二个回答才是对的？
因为尽管$tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}$，但是题目要求的是tan∠BAC，所以不能直接写一个$\frac{BC}{AC}作为答案$

举例三
let $y=x^2,find$ $\frac{dy}{dx}$

Wrong Solution（错误回答）：
$f^{\prime }(x)=2x$

Right Solution:
$\frac{dy}{dx}=2x$

Right Solution:
$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)=2x$

为什么第一个回答是错的，第二、三个回答是对的？
尽管$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$,但是题目要求的是$\frac{dy}{dx}$,所以不能直接写一个f’(x)作为答案。
且在答题时候，如果涉及文字表述需要，应尽量使用differentiation，而不是 derivative

如图所示，尽管TM的斜率f’(x)=$\frac{dy}{dx}(图中△x=dx)$
概念上不是一个东西，题目问$\frac{dy}{dx}时，不要以f‘(x)开始来写$

---

学习目标

定理一、

$\frac{df(y)}{dx}=f^{\prime }(y)\frac{dy}{dx}$

这个式子看起来不太友善。

分析：
$f^{\prime }(y)=\frac{df(y)}{dy}$
$\frac{d(f(y))}{dx}=\frac{df(y)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}（链式法则）=f^{\prime }(y)\frac{dy}{dx}$
所以与前面学过的 最大的不同，是 分子对y求微分，而不是对x求微分。这个不要搞混。尝试比较下面两个式子：

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}=& \\ \frac{df(x)}{dx}& =f^{\prime }(x)(这个式子在前面很常用)\\ \frac{df(y)}{dx}& =f^{\prime }(y)\frac{dy}{dx}(今天新学的，注意与上面一个区分开)\end{array}$

定理二、
$\frac{d(x^m{y}^n)}{dx}=\frac{d(x^m)}{dx}{y}^n+x^m\frac{d(y^n)}{dx}=m{x}^{m-1}{y}^n+x^{m}n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}$

定理二推论：
1)当m=0,n≠0时
$\frac{d(x^m{y}^n)}{dx}=\frac{d(y^n)}{dx}=n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}$
2)当m≠0,n=0时
$\frac{d(x^m{y}^n)}{dx}=\frac{d(x^m)}{dx}=m{x}^{m-1}$

Example 3

$\text{Find}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text{in terms of}x\text{ and }y\text{ where }{x}^3+x+y^3+3y=6$

$\begin{array}{rl}3x^2+1+3y^2\frac{dy}{dx}+3\frac{dy}{dx}& =0\\ & \\ \frac{dy}{dx}(3y^2+3)\frac{dy}{dx}& =-\frac{3x^2-1}{3(1+y^2)}\end{array}$

结论：
一、看见x，直接对x求微分
二、看见y，直接对y求微分，再乘以x求微分
三、不推荐计算中使用乘号X，建议使用·，乘号X与变量x在考试时容易混淆。

记住上面的尤其第二条结论，我们来看下一题

Example 4(这道题的难点是xy乘在一起)
$\text{Given that }4x{y}^2+\frac{6x^2}{y}=10\text{,find the value of}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text{at the point}(1,1).$

For this example, we can use the formula:
$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}①$（prior knowledge）
with the new formula we just learned：
$\frac{d(y^n)}{dx}=n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}$②（今天新学的）

$\frac{d(x^m)}{dx}=m{x}^{m-1}$③

关于①提问(uv拆分方式）：
1）我能不能把$4x{y}^2$拆成$u=4xy,v=y$,即$uv=4x{y}^2$为什么？
2）我能不能把$4x{y}^2$拆成$u=2x,v=2y^2$,即$uv=4x{y}^2$为什么？
3）我能不能把$4x{y}^2$拆成$u=4x,v=y^2$,即$uv=4x{y}^2$为什么？（☆☆☆）
4）我能不能把$4x{y}^2$拆成$u=x,v=4y^2$,即$uv=4x{y}^2$为什么？

1)的拆分方式会导致 u需要同时对x和y求导。
2)的拆分方式会导致考试时，求微分前就要同时照顾两个系数,增加计算量、检查工作量。
3)的拆分方式最佳，求微分前只关注1个 系数，求微分后才关注2个系数。
4)的拆分方式不建议，把x前的系数4给$y^2$，不方便校对
uv拆分建议（考试时拆分uv的原则）：
1)系数给最近的因子
2)u或v尽量只包含一个字母
3)u中只包含x，v中只包含y
举例$8e^{2y}{x}^3$拆分成uv形式是多少？
推荐
$u=x^3$
$v=8e^{2y}$

重写①式有：
$$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}④$$
对比之前学过的内容有

$u,v$情况	$uv$的微分形式
$u$,$v$中都不含$y$	$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$
$u$不含$y$，$v$含$y$	$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}$
$u$含$y$，$v$不含$y$	$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$
$u$含$y$，$v$含$y$	$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}v+u\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}$

为什么会有这样的 规律 ？
因为y和x是相关的，所以求 微分的时候需要做到“遍历”
如果y和x是不相关的，那么求微分的 时候，直接为零。
所谓的相关性，其实用生活中的话来说：是否搭嘎，例如 两人不搭噶
因为y的表达式中包含有x，所以y和x是搭嘎的，所以看见 y的时候，不能 当作没看见，
需要先计算$\frac{df(y)}{dy}$(这里的$f(y)$可以是u也可以是v,再计算$\frac{dy}{dx}$

相关性的概念会在后面的概率论与数理统计中慧提到。

---

The original equation can be rearranged as（根据上述流程图来计算）:
$4x\cdot y^2+6x^2\frac{1}{y}=10$

Let $u=4x$,$v=y^2$
$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}$

$\begin{array}{rlrl}& & \left(4y^2+4x\cdot 2y\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{12x}{y}-\frac{6x^2}{y^2}\frac{dy}{dx}\right)& =0\\ & & \text{Substitute x=1, y=1 to give.}& \\ & & \left(8\frac{dy}{dx}+4\right)+\left(12-6\frac{dy}{dx}\right)=0& \\ & & 16+2\frac{dy}{dx}=0& \\ & & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-8& \end{array}$

Example5
$\text{Find the value of}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text{at the point}(1,1){\text{where e}}^{2x}\ln y=x+y-2.$

$\begin{array}{rlr}& e^{2x}\cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\ln y\cdot 2e^{2x}=1+\frac{dy}{dx}& \\ & \text{Substitute x=1, y=1 to give}& \\ & & e^2\cdot \frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\\ & \therefore (e^2-1)\frac{dy}{dx}=1& \\ & & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{e^2-1}\end{array}$

Example6
$\begin{array}{l}\text{Given that the area of a circle }A{\text{cm}}^2\\ \text{is related to its radius}r\text{cm by the formula}A=\pi r^2,\\ \text{and that}{\text{the rate of change of its radius in cms}}^{-1}\text{is given by}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=5,\text{find}\\ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\text{when}r=3\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{A}& =\pi r^2\\ \therefore \frac{dA}{dr}& =2\pi r\\ \mathrm{Using}\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}& =\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}\\ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}& =2\pi r\cdot 5\\ & =30\pi ,\mathrm{when}r=3\end{array}$

Example7

思路解析：
题目中有S=r的相关表达式，所以可以推出$\frac{dS}{dr}$
题目中有V=r的相关表达式，所以可以推出$\frac{dV}{dr}$
题目中有$\frac{dV}{dt}$
求$\frac{dS}{dt}$
通过链式法则进行尝试拼凑

Solution：
$\begin{array}{rl}V& =\frac{2}{3}\pi r^3\text{and}S=3\pi r^2\text{-}\\ \frac{dV}{dr}& =2\pi r^2\text{and}\frac{dS}{dr}=6\pi r\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{Now}\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}& =\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dV}\cdot \frac{dV}{dt}\\ & =6\pi r\cdot s\frac{1}{2\pi r^2}\cdot 6\\ & =\frac{18}{r}\end{array}$

Example8
In the decay of radioactive particles（放射性粒子），the rate at which particles decay is proportional to the number of particles remaining Write down a differential equation for the rate of change of the number of particles.
Let $N$ be the number of particles and let t be time.
The rate of change of the number of particles $\frac{dN}{dt}$ is proportional to $N$.i.e.(也就是，即。源自拉丁文id est,读作 that is)$\frac{dN}{dt}=-kN$,
where $k$ is a positive constant.The minus sign(负号) arises because the number of particles is decreasing.

Example9
Newton’s law of cooling states that the rate of loss of temperature of a body is proportional to the excess temperature of the body over its surroundings.Write an equation that expresses this law.
牛顿冷却定律：一个热的物体的冷却速度与该物体和周围环境的温度差成正比。
Let the temperature of the body be $\theta$ degrees and the time be $t$ seconds.
The rate of change of the temperature $\frac{d\theta }{dt}$ is proportional to $\theta -{\theta }_0$,where ${\theta }_0$ is the temperature of the surroundings.
i.e.$\frac{d\theta }{dt}=-k(\theta -{\theta }_0)$,where $k$ is a positive constant.

Example10

$\begin{array}{rl}\text{Since V}& =\frac{4}{3}\pi R^3.\\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}R}& =4\pi R^2\\ \therefore \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}& =\frac{dV}{dR}\times \frac{dR}{dt}=4\pi R^2\times \frac{dR}{dt}\\ \mathrm{But}\mathrm{as}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}& =-kA\\ 4\pi R^2\times \frac{dR}{dt}& =-k\times 4\pi R^2\\ \therefore \frac{dR}{dt}& =-k\end{array}$

Challenge
重点讲下这道题
a.
$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} \\ =4cos2t\cdot \frac{-1}{5sin(t+\frac{\pi }{12})} \\ =\frac{-4cos2t}{5sin(t+\frac{pi}{12})} \end{gathered}$$

b.
$cos2t=0$ and $5sin(t+\frac{\pi }{12})$≠0
t∈[0,$2\pi$]
$2t=\frac{\pi }{2}+k\pi \in [0,4\pi ]$
k=0,1,2,3
we can get the following 4 points.

k	t	coordinates($5cos(t+\frac{\pi }{12}),2sin2t$)
0	$\frac{\pi }{4}$	(5$cos\frac{\pi }{3},2)$=($\frac{5}{2}$,2)
1	$\frac{3\pi }{4}$	($5cos\frac{5\pi }{6}$,-2)=($-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2$)
2	$\frac{5\pi }{4}$	$(5cos\frac{4\pi }{3}$,2)=($-\frac{5}{2},2)$
3	$\frac{7\pi }{4}$	$5cos(\frac{11\pi }{6},-2)=(\frac{-5\sqrt{3}}{2},-2)$

c
1)For $y=2sin2t=0$（x-axis）
$\because 2t\in [0,4\pi ]$
$\therefore 2t=k\cdot \pi$
$\therefore t=\frac{k\pi }{2}$

k	2t	points	$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos2t}{5sin(t+\frac{pi}{12})}$
0	0	($5cos\frac{\pi }{12}$,0)=(4.83.0)	-3.09
1	$\pi$	($5cos\frac{7\pi }{12}$,0)=(-1.29,0)	0.828
2	$2\pi$	($5cos\frac{13\pi }{12}$,0)=(-4.83,0)	3.09
3	$3\pi$	($5cos\frac{19\pi }{12}$,0)=(1.29,0)	-0.83
4	$4\pi$	($5cos\frac{25\pi }{12}$,0)=(4.83.0)	-3.09

上述结果的python代码（考试时使用计算器）

import math
k=4
# 定义变量  
t = k*math.pi/2  # 你可以根据需要更改这个值  points=5*math.cos(t+math.pi/12)  
# 计算表达式  
gradient = (-4 * math.cos(2 * t) / (5 * math.sin(t + math.pi / 12)))  # 打印结果  
print("points=",points)
print("gradient=",gradient)

2)For $x=5cos(t+\frac{\pi }{12})=0$（x-axis）

$t+\frac{\pi }{12}=\frac{2k+1}{2}\pi$

k	t	points $(5cos(t+\frac{\pi }{12}),2sin2t)$	$\frac{dy}{dx}=\frac{-4cos2t}{5sin(t+\frac{pi}{12})}$
0	$\frac{5\pi }{12}$	(0,1)	0.693
1	$\frac{17\pi }{12}$	(0,1)	-0.693

python代码是

import math
k=1
# 定义变量  
t = (2*k+1)/2*math.pi-math.pi/12  # 你可以根据需要更改这个值  # points=5*math.cos(t+math.pi/12)  
# 计算表达式  
gradient = (-4 * math.cos(2 * t) / (5 * math.sin(t + math.pi / 12)))  # 打印结果  
# print("points=",points)
print("gradient=",gradient)

d
$\frac{dx}{dt}=-5sin(t+\frac{\pi }{12})$
$t+\frac{\pi }{12}=k\pi$

k	t	points $(5cos(t+\frac{\pi }{12}),2sin2t)$	$\frac{dx}{dt}=-5sin(t+\frac{\pi }{12})$
1	$\frac{11\pi }{12}$	(-5,-1)	0
2	$\frac{23\pi }{12}$	(5,-1)	0

Python代码

import math
k=2
# 定义变量  
t = k*math.pi-math.pi/12  # 你可以根据需要更改这个值
print("t=",t)  
x=5*math.cos(t+math.pi/12)
y=2*math.sin(2*t)
print(y)
print("(%d，%f)" % (x, y))

e（为了绘制清晰一些，这里使用python实现，考试时要根据自己在前面几个小问求出的点来绘制）

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的b问题# 参数方程  
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)  # t的范围在0到2π，1000个点  
y = 2 * np.sin(2 * t)  
x = 5 * np.cos(t + np.pi/12)  # 绘制图形  
plt.figure(figsize=(6, 6))  # 设置图形大小  
plt.plot(x, y, label='参数方程 y=2sin(2t), x=5cos(t+π/12)')  # 绘制图形  
plt.xlabel('x')  # x轴标签  
plt.ylabel('y')  # y轴标签  
plt.title('参数方程 y=2sin(2t) 和 x=5cos(t+π/12)')  # 图形标题  
plt.legend()  # 显示图例  
plt.grid(True)  # 显示网格线  # 绘制x轴和y轴  
plt.axhline(y=0, color='black', linestyle='--')  # 绘制y轴  
plt.axvline(x=0, color='black', linestyle='--')  # 绘制x轴  plt.show()  # 显示图形

Run the above Python code ，we get

对同学们的要求
章节后面的E/P习题必须全部完成。