假设检验：以样本服从二项分布举例

某公司声称他们发明了一种治疗打鼾的新药物鼾克，并断言能在两周内治愈90%的患者。随机抽取了15位鼻鼾患者，看他们使用新药物鼾克后是否不再打鼾。结果如下：

先假设制药公司的断言属实，然后看医生得到的结果是否有误。作出决策：根据证据，接受或否定制药公司的断言。通常以上过程称为假设检验——做出假设或断言，对照证据进行检验。假设检验的一般步骤如下：

第1步：确定假设
我们所检验的这个断言被称为原假设，用H0表示。那么鼾克的这个原假设就是：
H0:p=0.9
那么鼾克的这个备择假设就是：
H1:p<0.9
注：在进行假设检验时，你假定原假设为真，如果有足够的证据反驳原假设，则拒绝原假设，接受备选假设。原假设处于一种被保护的地位。

第2步：选择检验统计量
确定检验内容以后，就需要通过某些手段进行检验，这可以借助检验统计量实现。

我们做假设检验的目的是检验药物的治愈率是否达到90%以上，为此可以根据制药公司的说法查看概率分布，看看抽样中的成功次数是否显著。

如果用X表示样本人数，样本中共有15名患者，成功概率为90%，由于X符合二项式分布，于是检验统计量符合：
X~B(15,0.9)

第3步：确定拒绝域
假设检验的拒绝域是一组数值，这组数值给出反驳原假设的最极端证据。我们把拒绝域的分界点称为——临界值。

那么如何求解拒绝域呢？在求解拒绝域之前我们得确定下显著性水平。若我们想以5%为显著性水平检验制药公司的断言，这说明我么选取的的拒绝域应使得“鼻鼾患者治愈人数小于k”的概率小于0.05，即概率分布最低端的5%部分。

我们对鼾克使用的是单边检验，由于备择假设为p<0.9，因此拒绝域位于左边。
P(X<k)<α
α=5%

第4步：求出检验统计量的值
P(X≤11)=1-P(X≥12)
=1-（P(X=12)+P(X=13)+P(X=14)+P(X=15)）
=1-（0.1285+0.2669+0.3432+0.2059）
=1-0.9445 =0.0555

第5步：样本结果是否位于拒绝域内

因为 P(X≤11) =0.0555 >0.05 ，所以P没有落在拒绝域内。

第6步：作出决策

因为假设检验的P值落在检验的拒绝域外，因此没有充分证据可以拒绝原假设H0，原假HO成立，所以我们接收制药公司治愈率为90%的断言。

1920年的剑桥大学，某个风和日丽的下午，一群科学家正悠闲地享受下午茶时光。正如往常一样准备冲泡奶茶的时候，有位女士突然说：“冲泡的顺序对于奶茶的风味影响很大。先把茶加进牛奶里，与先把牛奶加进茶里，这两种冲泡方式所泡出的奶茶口味截然不同。我可以轻松地辨别出来。”在场的绝大多数人对这位女士的“胡言乱语”嗤之以鼻。然而，其中一位身材矮小、戴着厚眼镜的先生却不这么看，他对这个问题很有兴趣。这个人就是费歇尔(R. A. Fisher)。
他首先假该设女士没有这个能力（这个假设被称为原假设）。随后，Fisher将8杯已经调制好的奶茶随机地放到那位女士的面前，看看这位女士能否正确地品尝出不同的茶。

第1步：确定假设
H0:女士没有这个能力(每次分辨正确的概率P为0.5)
p=0.5
H1:女士有这个能力
p>0.5

第2步：选择检验统计量
用字母p表示该女士每次答对的概率，用随机变量k表示女士答对的次数；在n次实验中，女士答对k次的概率可以用二项分布来描述：

检验统计量符合
X~B(15,0.9)

在原假设下，女士并没有鉴别的能力，能否答对完全靠蒙——此时，p=0.5（类似于抛硬币）。

我们可以计算出 女士答对k次的概率，如下图2所示：

第3步：确定拒绝域
根据备用假设可知是单边检验的右边检验：
P(X>k)<α
α=5%
第4步：求出检验统计量的值
P(x>=8)=0.39%
第5步：样本结果是否位于拒绝域内
P(x>=8)=0.0039<0.05,统计量没有落在拒绝域内。
第6步：作出决策

因为假设检验的统计值P落在检验的拒绝域，当小概率事件发生时，我们有足够的理由怀疑原假设H0的正确性，因而我们拒绝原假设，接受备用假设H1，即女士有这个能力。