《微积分:一元函数微分学》——狄利克雷函数

2024-01-20 14:32

本文主要是介绍《微积分:一元函数微分学》——狄利克雷函数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

定义

性质

狄利克雷函数是一个有界的偶函数,且任何有理数都是它的周期,它没有最小的周期

 

应用

函数 f(x) 在点 x=x0 可导,那么 f(x) 在点 x=x0 处必然连续,如果函数 f(x) 在点 x=x0 处可导,并不一定存在点 x=x0 的某个邻域,使得函数在这个邻域内连续

使用狄利克雷函数构造一个反例

f(x)=x^{2}D(x)

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[f(0+\Delta x)-f(0)]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[(\Delta x)^{2}D(\Delta x)]

根据 ”无穷小量乘有界函数仍然是无穷小量“ 可知上述结果为 0 , 故 f(x) 在点 x=x0 处连续。

但是在 x=0 的任何一个邻域内,都有无数个有理数,也有无数个无理数,于是就会出现这样一个现象:不管多小的一个区间内,跳跃间断点多到我们数不过来,除了 x=0 点外,处处间断

f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}D(x)-0}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}[xD(x)]

根据 ”无穷小量乘有界函数仍然是无穷小量“ 可知上述结果为 0 , 故 f(x) 在点 x=x0 处可导。

故,f(x) 除了在点 x=x0 处可导、在点 x=x0 处连续外,在 x=0 的任何一个邻域内都不连续

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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