【林轩田】机器学习基石（六）——泛化理论

本文主要是介绍【林轩田】机器学习基石（六）——泛化理论，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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Lecture 6: Theory of Generalization

6.1 Restriction of Break Point 断点的限制

这一小节提出了一个问题，当我们最小的断点$k=2$，时，我们能推出什么？

• N=1时，$x_1$是圈、叉都可以，这样有$m_H(1) = 2$
• N=2时，注意到$k=2$是断点，所以$m_H(2) \le 2^2 = 4$，$m_H(2)$最大为3
• N=3时，注意到$k=2$是断点，所以$x_1,x_2,x_3$中的任两个点都是不能shatter的，林教授以图示的方式说明了，在任两个点都不能shatter的情况下，$m_H(3)$最大为4
• 

注意到，这里$m_H()3$已经远小于$2^3$了。
即，当$N>k$时，断点$k$可以极大地限制$m_H(N)$的增长。

更进一步，如果上图成立，哈哈，霍夫丁不等式的右边就会接近0，我们无限$M$的学习可行性也就被论证了。

6.2 Bounding Function: Basic Cases 上界函数(基本案例)

我们这里给出一个新的定义，叫做上界函数，$B(N,k)$，它有两个参数,$N$和$k$，它的含义是：在断点为$k$时，$m_H(N)$的最大可能值。

• 通过这个上界函数，我们隐藏了$H$的细节，也就是不论我们的假设函数$h$是什么，只要$N$和$k$定了，$m_H(N)$的上界就不会变。

• 它的组合数量解释如下：一个最大长度为N的向量，每个维度有圈和叉两个值，这个向量的任意长度为k的子向量都不shatter，求问这样的向量最多一共多少个？

  这样的话，我们的新目标就是下面的不等式：
  
  林教授给出了一个表格来显示Bounding Function
  

我们把这个表分为了几块

• 标号为1这个块，当$k=1$时，$B(N,1) = 1$
• 标号为2这个块，当$N<k$时，$B(N,k) = 2^N$
• 标号为3这个块，当$N=k$时，$B(N,k) = 2^N-1$
• 标号为4这个块是最重要的，我们填了一个值，就是$B(3,2)=4$，这是我们上一节课计算得到的。

6.3 Bounding Function： Inductive Cases 归纳案例

• 接下来我们考虑图片中$B(4,3)$的值。
• 首先，我们使用计算机穷举，得到$B(4,3)$的所有结果，一共有11种。
• 我们将$B(4,3)$的所有二分重新排列一下，得到如下:
  

可以看到，橘色的都是成双成对的，橘色的$x_1,x_2,x_3$每对都一样，紫色的是形单影只的。

令

$$B(4,3) = 11 = 2*\alpha + \beta$$

可以看到图中左式的$\alpha+\beta$就是$x_1,x_2,x_3$3个点不shatter的结果，一共有7种，
即

$$\alpha + \beta \le B(3,3)$$

因为还有$x_4$的存在，为了避免$x_1,x_2,x_3$中的任两个与$x_4$shatter了，$/alpha$中的任两个也不能shatter。
所以

$$\alpha \le B(3,2)$$

所以，加起来，

$$B(4,3) \le B(3,3) + B(3,2)$$

推断一下，就发现了如下规律：

整理一下，规律如下：

这样就可以证明，在存在固定断点$k$的情况下，$B(N,k)$的上限是多项式形式的！！

6.4 A Pictorial Proof 图示法证明

最开始，我们根据霍夫丁不等式，给出的期望坏事情概率上界为

$$P[|E_{out}(g) - E_{in}(g)|>\epsilon] \le 2*M*exp(-2*N*\epsilon^2)$$
因为 $M$可能是无限大的，这样右边界就求不出来了，求不出来，我们机器学习的可行性也就无法证明；
所以，我们用了一些手段，以有限的种类，代替无限的数量，将不等式变成了
$$P[|E_{out}(g) - E_{in}(g)|>\epsilon] \le 2*m_{H}*exp(-2*N*\epsilon^2)$$
这里， $m_H$是某个有界的值。又经过一些推导，我们发现 $m_H$和样本数量 $N$还有断点$k$的值有关。

• 当不存在断点时，$m_H(N) = 2^N$
• 当存在断点k时，$m_H(N) = O(N^{k-1})$

但是，虽然我们最终希望得到的不等式是这样的：

$$P[\exists h \in H, s.t. |E_{out}(h) - E_{in}(h)|>\epsilon] \le 2*m_{H}(N)*exp(-2*N*\epsilon^2)$$

实际上，当$N$足够大时，经过计算后，不等式却是这样的

$$P[\exists h \in H, s.t. |E_{out}(h) - E_{in}(h)|>\epsilon] \le 2*2m_{H}(2N)*exp(-2*\frac{1}{16}*N*\epsilon^2)$$

接下来，我们来证明上式。

第一步，使用$E_{in}^{'}$代替$E_{out}$

• 注意到$E_{in}(h)$是有限多的，$E_{out}(h)$是无限多的。
• 我们需要替换掉无限多的$E_{out}$，方法是我们假设在新的数据$D'$上得到$E_{in}^{‘}$。因为我们的$E_{out}$是完整的分布，$E_{in}$和$E_{out}$若相差甚远，有一半的概率$E_{in}^{‘}$和$E_{in}$也是相差甚远的。
  所以我们可以得到下式：
  

所以

$$P[\exists h \in H s.t. |E_{in}(h) - E_{out}(h)| > \epsilon] \le$$

$$2*P[\exists h \in H s.t. |E_{in}(h) - E_{in}^{'}(h)| > \frac{\epsilon}{2}]$$

第二步：按种类分解$H$

• 我们知道$E_{in}$最多有$m_{H}(N)$种假设函数，$E_{in}^{'}$最多也有$m_{H}(N)$种假设函数。

  • 因为$D和D^{'}$样本可能重叠，所以$E_{in}和E_{in}^{'}$最多有$m_{H}(2N)$种假设函数

  • $$BAD \le 2*P[\exists h \in H s.t. |E_{in}(h) - E_{in}^{'}(h)| > \frac{\epsilon}{2}]$$

    因为我们一个$h$出现$BAD$的几率是上式，使用$union bound$联结假设空间$H$中所有出现$BAD$的几率

    $$BAD \le 2*m_{H}(N)*P[fixed \ h \ s.t. |E_{in}(h) - E_{in}^{'}(h)| > \frac{\epsilon}{2}]$$

  使用无替代的霍夫丁不等式

  

  $$|E_{in} - E_{in}^{'}|>\frac{\epsilon}{2} \iff \frac{|E_{in} - E_{in}^{'}|}{2} > \frac{\epsilon}{4}$$
  $$\iff |E_{in} - \frac{E_{in} + E_{in}^{'}}{2}| > \frac{\epsilon}{4}$$

  

  上述的证明，其实我充满了疑问，但是总之，证明来证明去，我们得到了一个非常有用的东东！！

  

  最终，我们论证了二维平面，感知器学习的可行性！

这篇关于【林轩田】机器学习基石（六）——泛化理论的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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