线性代数复习(1)------方程组的几何解释

2023-12-27 22:38

本文主要是介绍线性代数复习(1)------方程组的几何解释,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

线性代数复习(1)------方程组的几何解释

    • 方程组的几何解释
      • 列向量的线性组合
      • 行向量的线性组合
      • 行与列的几何说明

方程组的几何解释

先看看一个简单的方程组
{ 2 x − 2 y = 0 − x + 2 y = 3 \begin{cases}2x-2y=0\\-x+2y=3\\\end{cases} {2x2y=0x+2y=3
这个方程组的几何解释很简单,就是两直线的交点。
再做一点变动:

[ 2 − 2 − 1 2 ] \begin{bmatrix}2 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} [2122] [ x y ] \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} [xy] = [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0 \\ 3 \end{bmatrix} [03]

这是我们常见的一种写法,其表达是一致的,也就是上面的方程组。但是在这样的写法之下,其几何解释就有了新的定义:

列向量的线性组合

先看(1)式,我们竖着看也就是看它的列,第一列是 [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} [21],第二列是 [ − 2 2 ] \begin{bmatrix}-2 \\ 2 \end{bmatrix} [22],他们经由与 [ x y ] \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} [xy]的运算后得到了 [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0\\ 3 \end{bmatrix} [03],在细看第一列与x在方程中的关系,不难发现就是x的系数,同样第二列就是y的系数。
那么这种运算的定义似乎可以这么写:

[ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} [21]*x+ [ − 2 2 ] \begin{bmatrix}-2 \\ 2 \end{bmatrix} [22]*y= [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0\\ 3 \end{bmatrix} [03]

这就有点像是向量的表示了,向量 [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} [21]"伸缩"了x倍之后,加上了"伸缩"了y倍的向量 [ − 2 2 ] \begin{bmatrix}-2 \\ 2 \end{bmatrix} [22],合成了向量 [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0\\ 3 \end{bmatrix} [03]。即向量 [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} [21]与向量 [ − 2 2 ] \begin{bmatrix}-2 \\ 2 \end{bmatrix} [22] [ x y ] \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} [xy]的组合方式合成了向量 [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0\\ 3 \end{bmatrix} [03]。方程组便成了向量的线性组合了。

行向量的线性组合

当然行与列我们也可以互换,于是就有了:

[ x y ] \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} [xy] [ 2 − 1 − 2 2 ] \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} [2212]= [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0 & 3 \end{bmatrix} [03]

我们将乘数的行与列都对调了一下,于是便成了上面的样子。变化一下就有这样的线性组合:

x* [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2 & -1 \end{bmatrix} [21]+y* [ − 2 2 ] \begin{bmatrix}-2 & 2 \end{bmatrix} [22]= [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0& 3 \end{bmatrix} [03]

这样的则是行的线性组合。行的线性组合在左边,列的线性组合在右遍。(左行右列)

行与列的几何说明

之前我们在解释方程组的时候其实是在"一行一行"的去看,所以在二元时(x,y)是一些直线的交点,三元时(x,y,z)是平面的交点(也可能交的是平面),而从列的方向来看就很直观了,就是相同维度的多个列向量的线性组合。

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