MIT18.06课程笔记16：最小二乘法，线性回归

本文主要是介绍MIT18.06课程笔记16：最小二乘法，线性回归，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。
自己思考的部分使用斜体表示。

课程笔记

关于投射矩阵的内容请参考MIT18.06课程笔记15：Projection Matrix投射矩阵。此部分是投射矩阵的具体应用。

1. 线性回归问题简介

简单叙述：给定一系列的数据点（例如{$(x_1,y_1),(x_2,y_2)...$}，其中x表示特征向量，y表示目标值)，求取一个线性函数（例如一维直线就是$y=cx+d$）拟合数据点，即使得函数值的误差的平方和最小。
具体到一维情况就是最小二乘法：
数据集是{$(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_m,y_m)$}。
线性函数为$y = cx + d$。
求$argmin_{c,d}((cx_1+d-y_1)^2+(cx_2+d-y_2)^2+...+(cx_m+d-y_m)^2)$。

2. 换个角度看问题

最后需要最小化的目标函数其实是误差的平方和，此目标等效于最小化误差的距离（平方和开方）。
具体地设

$$\begin{equation} e = [e_1,e_2,...,e_m]^T \\ e_i = cx_i+d-y_i ,\forall 0 < i \le m \end{equation}$$
则目标函数为 $argmin_{c,d}(e^Te)$，等价于 $argmin_{c,d}||e||$。
进一步，如果设
$$\begin{equation} A = \left[ \begin{matrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 2\\ ... \\ x_m & 1\\ \end{matrix}\right], b = \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_m\\ \end{matrix}\right] \end{equation}$$
则有
$$\begin{equation} e = A\left[ \begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right] - b \end{equation}$$
目标则为
$$\begin{equation} argmin_{c,d}||A\left[ \begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right] - b|| \end{equation}$$
上诉公式都是非常直观的，就不多做介绍。
经过上诉转换之后，就可以把投射矩阵应用进来了。具体的，最小化 $||e||$，其实就是要找到 $\hat{b}\in C(A)$，使得 $||\hat{b}-b||$最小。（C(A)是A的column space，具体定义请见 MIT18.06课程笔记15：Projection Matrix投射矩阵）。而且这里的问题更简单，就只需要求 $x = [c,d]^T$即可（不需要求取投射后的向量 $\hat{b}$了）。
使用投射矩阵中的公式
$$\begin{equation} [c,d]^T = x = (A^TA)^{-1}Ab \end{equation}$$

3. $A^TA$的可逆性

我自己的思考：
1. 对于任意矩阵$A,B$，有$range(A*B)\le range(A)$, $range(A*B)\le range(B)$。因为新生成的矩阵的每一列都在A的column space里面（例如$A*B$的第一列就是A与B的第一列相乘的结果。同样因为$(A*B)^T=B^T*A^T$，所以新生成矩阵的每一行都在$B^T$的column space里面。
2. $range(A*B)$可以小于$min\{range(A),range(B)\}$。例如A的column不是线性无关的，那么可以通过两种不同的方式生成同一个向量。那么有$range(B)=2$, $range(A) > 2$, 而$range(A*B) = 1$。

3.1. 命题

$A$是column independent的 ⇒ $A^TA$是可逆的。

3.2. 反证法

$A^TA$是不可逆的 <=> $\exists x \neq 0, A^TAx=0$，
两边同时乘以$x^T$，则有
$\exists x \neq 0, x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = 0$,
进而$\exists x \neq 0, Ax = 0$。而已知A是column independent的，所以不存在x使得$Ax=0$。从而假设不成立。
从几何的角度也知假设不成立，$Ax$位于A的column space内，而$A^TAx=0$则是再说$Ax$在$A^T$的null space里面。具体地，就是说几个线性无关基向量的线性组合要和每个基向量都垂直。而满足这种情况的只有$Ax=0$。

4. 线性代数求导的角度

对于2中转换为矩阵相乘的问题表述形式，可以通过对其求导求解。两个方法角度不同，结果相同。
具体地，目标是

$$\begin{equation} argmin_{c,d} e^Te = \\ argmin_{c,d} (Ax-b)^T(Ax-b)\\ error = (Ax-b)^T(Ax-b) \end{equation}$$
$error$对$x$求导，可得$A^T*2*(Ax-b) = 0$, 进而$x = (A^TA)^{-1}Ab$。

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