双自由度振动系统/车辆悬架的受力分析及建模—

本文主要是介绍双自由度振动系统/车辆悬架的受力分析及建模——以1/4车辆悬架为例，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

引入

在做悬架垂向运动控制或动态力学计算时，双质量振动系统微分方程是所有工作的基础，常见如下形式：（注意 $z,z_{t},z_{r}$ 分别是簧上质量、簧下质量、路面的垂向位移变化）

这里给出两种动力学方程：

（1） $\left.\left\{\begin{array}{l}M\ddot{z}=k\left(z_t-z\right)+c\left(\dot{z}_t-\dot{z}\right)\\m\ddot{z}_t=k_t\left(z_r-z_t\right)-k\left(z_t-z\right)-c\left(\dot{z}_t-\dot{z}\right)\end{array}\right.\right.$

（2） $\begin{cases}M\ddot{z}=-k(z-z_{t})-c(\dot{z}-\dot{z}_{t})\\m\ddot{z}_{t}=k(z-z_{t})+c(\dot{z}-\dot{z}_{t})-k_{t}(z_{t}-z_{r})\end{cases}$

仔细观察，这两个方程组是完全一样的。在研读论文时，可能会发现一个令人懊恼的问题：不同的论文有不同的写法，在我们试着读懂这些论文时，浪费了大量的时间在推导这一个小小的公式上，其实只是不同作者的思路不同罢了。在双自由度振动系统问题上，大致分为两类，而最后得出的动力学方程也不外乎以上“两种”形式。

下面分别给出这两种形式的推导过程。

（1）正常思维

首先假设 zr > zt > z , 也就是假设路面位移 > 簧下质量位移 > 簧上质量位移。（其实这个假设没有必要，因为这是事实。因为路面振动引起了簧下质量振动，又因为簧下质量振动引起了簧上质量振动，振动系统的目的就是要减震，上边的位移比下边小也很好理解。）

基于此，我们可以进行受力分析，然后利用牛顿定律得出方程。

受力分析：

其中，惯性力 $M\ddot{z}$ 和 $m\ddot{z}$ 的方向非常重要，记住：惯性力方向与加速度方向相反。

对于M，因为簧下质量位移 > 簧上质量位移，弹簧和阻尼都被压缩，所以k弹簧和阻尼力都向上；又因为在这种假设情况下，是簧下质量位移引起的簧上质量位移，故M具有向上运动趋势，惯性力 $M\ddot{z}$ 向下。

对于m，因为路面位移 > 簧下质量位移 > 簧上质量位移，所以 $k_{t}$ 弹簧力向上， k弹簧和阻尼力方向与M所受这两个力方向相反，所以向下；又因为在这种假设情况下，是路面位移引起的簧下质量位移，故m有向上加速趋势，所以这里加速度方向向上，惯性力 $m\ddot{z}$ 方向向下。

根据受力分析结果以及牛顿定律不难得出（1）式。

（2）逆向思维

不同的人考虑问题从不同角度出发，对于（2）式的推导，可以这样理解：

假设M之上存在一个弹簧 $k_{0}$ 或者阻尼 $c_{0}$ （无关紧要）连接着M与天空，这同样是著名的天钩控制（sky-hook）理论的理想状态。模型如下：

这里我们假设天空也存在一个位移 $z_{0}$ ，并且假设天空位移 > 簧上质量位移 > 簧下质量位移 > 路面位移。基于此，

受力分析：

相信通过对（1）式的理解学习，第（2）种情况的受力分析就不难理解了。

对于M，因为簧上质量位移 > 簧下质量位移，弹簧 k 和阻尼都被拉伸，所以k弹簧和阻尼力都向下，弹簧 $k_{0}$ 被拉伸， $k_{0}$ 弹簧力向上；又因为这种假设情况下，是簧上质量位移引起的簧下质量位移，故M具有向上运动趋势，惯性力 $M\ddot{z}$ 向下。

对于m，因为簧上质量位移 > 簧下质量位移 > 路面位移， $k_{t}$ 弹簧被拉伸，所以 $k_{t}$ 弹簧力向下，k弹簧和阻尼力方向与 M所受这两个力方向相反，所以向上；又因为在这种假设情况下，是簧下质量位移引起的路面位移，故m有向上加速趋势，所以这里加速度方向向上，惯性力 $m\ddot{z}$ 方向向下。

可以得到以下方程：

(3) $\begin{cases}M\ddot{z}=k_{0}(z_{0}-z)-k(z-z_{t})-c(\dot{z}-\dot{z}_{t})\\m\ddot{z}_{t}=k(z-z_{t})+c(\dot{z}-\dot{z}_{t})-k_{t}(z_{t}-z_{r})\end{cases}$