本文主要是介绍泛函与变分初步(Euler-lagrange条件),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
1.前言
若偏微分方程复杂或边界条件不规则时,则方程难以求得解析解,不得不求满足近似程度要求的近似解。变分法是常用的近似方法之一,而且,变分法的原理和应用遍及物理学的各个领域。所谓变分法即为泛函的极值问题。
2.泛函与泛函的极值
2.1 泛函的概念
最速落径问题,如图所示。A、B两点不在同一铅垂线,也不在同一高度。一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B,求下滑的最短时间。或沿哪条曲线用时最短。
我们知道,质点下落速率与下落高度间的关系为:
所以
即T称为y(x)的泛函。
y(x)可取的函数种类,称泛函的定义域,泛函是函数的函数(不指复合函数)。
一般地, C是函数的集合, B是实数(或复数)的集合,若对于C中的任一称元素y(x) ,在B中均有一元素J与之对应,则称J为y(x) 的泛函是函数。
记为:
与通常函数的定义不同,泛函的值决定于函数的取形。如上例中,T的变化决定于y(x)的变化,而非某一个自变量x的值进而某一个函数y的值。而是决定于函数集合C中的函数关系,即决定于函数的取形。
通常,泛函多以积分形式出现,如:
其中,F(x,y,y`)称为泛函的核。
2.2泛函的极值与变分
在泛函的概念下,最速落径问题归结为泛函T[y(x)]的极值问题,所谓变分法,就是求泛函的极值问题。研究泛函极值问题的方法归为两类:直接法与间接法。要讨论间接法,先讨论泛函的变分问题。
设有连续函数y(x),将其微小变形为y(x)+tn(x)。
其中t是一个小参数,tn(x)称为y(x)的变分,记为δy。
此时,函数y`(x)相应变形为:
导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。
设中F(x,y,y`)二阶可导,y``连续!如果函数y(x)存在变分δy时,泛函J的变化为:
相对于y、y’作Tayler展开,抵消t的0次项,保留t的1次项,略去t的高阶项。
可得:
上式称泛函 J [y(x)]第一次变分!!!简称变分,记为:
3.泛函极值的必要条件——欧拉方程
设泛函 J [y(x)]的极值问题有解,记为y = y(x);现在来推导此解y(x)满足的常微分方程。
设y=y(x)有变分δy=tn(x), 则
可视为t的函数。
表示为:
这样,就把原来的泛函的极值问题转变成这种普通函数的极值问题。
令:
即:
将代入上式,得:
即:
同乘t 得:
泛函取极值的必要条件是其变分为0,或者说,泛函J的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分dJ=0的函数类。所以泛函的极值问题称为变分问题。
又因为:
根据分部积分公式可以知道:
在简单变分问题中,端点是固定的:
所以可以得到:
这就是变分学中大名鼎鼎的“欧拉-朗格朗日条件”!!!
欧拉(Euler)方程是泛函有极值的必要条件。
4.经典最速落径问题求解
根据引言一节,最速路径问题用泛函描述为:
解:由于 欧拉方程变形为 :
提取公共部分,可得:
简化为:
代入原方程,得:
求出偏导数得:
通分,并取平方可得
取.y(1+y`*y`)=c1,得:
令代入上式可得:
因此,我们就可以得到摆线得参数方程:
常数c1 、c2由A、B位置决定。
5.参考资料
1.钱伟长. 变分法及有限元[M]. 科学出版社, 1980.
2.郭大钧. 非线性泛函分析-第2版[M]. 山东科学技术出版社, 2001.
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