PlonK Permutations over Lagrange-bases for Oecumenical Noninteractive arguments of Knowledge学习笔记-1

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PLONK 课程笔记

最近在看plonk，直接看论文有些吃力，在哔哩哔哩上观看课程讲解，很细致https://www.bilibili.com/video/BV1XZ4y1A7bU?share_source=copy_web
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1.将数学运算化为多项式，之后再化为电路。

2.多项式承诺（手上的一堆多项式，满足一定的关系：证明方发送给验证者，承诺发出后，多项式不可以再改变）。

零知识证明基本原理：
证明R(x,w) = 1. x :是数学问题，w是问题的解。证明方P找到了解w,向验证方V证明拥有w。

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电路中门的分类：加法门、乘法门和常数门。

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$Q_L*a + Q_R*b + Q_O*c + Q_M*a*b +Q_C = 0$
通过限制 $Q_L， Q_R， Q_O，Q_M，Q_C，$ 可以得到任意a,b,c 的关系：

$a+b =c(Q_L =1,Q_R =1 ,Q_O =-1),a*b=c,a=5$

电路中有两个约束：门约束和复制约束。

plonk将这两种约束变成某种多项式的额关系，并加以证明。

i=1,2,…,n个门，电路中的门可以统一为如下的形式(将i想象成变量)：

$q_{L_i}a_i + q_{R_i}b_i +q_{O_i}c_i +q_{M_i}a_ib_i +Q_{c_i} =0$

根据拉格朗日差值，在{1,2，…,n}个门中，x轴对应n个点，每个对应一个y值，n个点可以确定n-1个多项式。

n个点的 $q_L(X)$ 对应于一个多项式， $q_L(i)=q_{Li}$ ，代表了所有的做系数。

一共是5n个q,3n个门（a,b,c).

n个方程压缩为 $q_{L}(X)a(X) + q_{R}(X)b(X) +q_{O}(X)c(X) +q_{M}(X)a(X)b(X) +Q_{c}(X) =0$

复制约束：

将相等的关系放做成置换， $\sigma$ = （1 3 5）（2 6 8 9），相等的关系放在一堆，如图：

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定义多项式:

$a (x), b (x), c (x), a^{'} (x), b^{'} (x), c^{'} (x)$ 使得 $\sigma (a'(x),b'(x),c'(x))=(a(x),b(x),c(x))$ 。复制约束也就此转化为多项式方程。

**承诺：**将多项式写成 $f(x)=a_0 + a_1x +a_2x^2+,...,q_kx^k$

证明方要算 $f (x) - > c$ 发给验证方，一旦将 $f (x)$ 发给验证方就不能修改。相当于A给B一个信，使用信封封起来之后就不能修改。

opening：包括单个点上的打开和整个的打开。可以在某些点上打开（局部打开）如下图：z点为例，V可以向P要求某点的值，并没有暴露整个多项式，多项式的信息V是不知道的。（打开的意思是可以算完值给你，而不泄露多项式）。

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P将

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