关于exgcd及其通解

欧几里得算法：

两个数x和y的最大公约数gcd(x,y)=gcd(y,x%y).这个就不解释了。

关于Exgcd：

用法：

exgcd用于求解不定方程ax+by=c的一组解。准确的说，它是用来求解ax+by=gcd(a,b)，的x和y。

求解过程：

采用递归方式，我们对a,b不断的求解gcd过程，并从中推出x和y.

我们假设有ax+by=gcd(a,b).

令a=b,b=a%b,则有

由于a%b=a-(a/b)*b,(此处为整除)

将整数化开，有

于是，令x=y,y=x-a/b*y;我们从b,a%b转移到了a,b。

考虑边界，当b=0时，有

于是

我们令x=1,y=0,则求出了ax+by=gcd(a,b)中当辗转相除到最后时的一组解，然后将之往后递推。

求ax+by=k的解时，如果,在ax+by=gcd(a,b)两边同时乘上k/gcd(a,b),得到x,y.

否则，该方程无解。有兴趣可以看看贝祖定理.

inline int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(! b){x = 1;y = 0;}else{exgcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;}return 0;
} 

关于通解：

设我们已经找到了一组x,y满足ax+by=gcd(a,b);

由于,我们有

         （*）

假设存在另一解,则存在

分离出y0得

我们要保证

由（*）得 

则有.即.

显然，若a,b互质，则有.

若a,b不互质，则,

使得 

则

其中，互质。

由此，x的通解为.其中

x的最小正整数解.

设由于x可能为负，所以事实上

同样的，求解也可以这么写。

emmmmmmm.