四、IMU误差标定之基于转台的标定

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1. 概述

标定的本质是参数辨识。首先明确哪些参数可辨识，其次弄清怎样辨识。

参数包括陀螺仪和加速度计各自的零偏、标度因数、安装误差。

辨识就比较丰富了，如果让各位先不局限于标定任务，想一想你了解的辨识方法有哪些，常见的回答应该有这样几个：

1）解析法或最小二乘

2）滤波（kalman等）

3）梯度下降迭代优化

确实没错，标定里用的就是这些方法。这说明标定其实就是一个普通的参数辨识问题，它和你遇到的其他参数辨识任务比，并没有特殊在哪里。

本篇文章我们先分析标定的 误差参数、误差模型，然后介绍第一种参数辨识方法。这种方法要知道真实的加速度和角速度输入，

一般要有转台才能具备这个条件，所以可以把它归类为基于转台的标定。其他的标定方法，我们下一篇文章再讨论。

 

2. 标定参数分析

1) 零偏

这个比较好理解，就是输出比输入多了一个常值误差。

需要注意的是，我们之前通过Allan方差分析，得到了器件的 量化噪声、角度随机游走、角速率随机游走、零偏不稳定性噪声、速率斜坡，

仔细看，这些都是对零偏质量的分析，也可以直观的理解为零偏的波动和漂移程度，这里面并没有分析零偏本身的大小，而这个才是我们标定里要去估计的那个常值误差。

加速度计的零偏在这里表示为

陀螺仪的零偏在这里表示为

2) 标度因数误差

假设器件输出的是标准单位角速度，那么输出和输入的比就是1。如果不是，就得需要标定，并修正这个比例。

可恶的是，这个误差不一定是常值，它会随着输入大小的不同而发生变化，这个就是标度因数的非线性。如果非线性程度比较大，

则需要在标定之前先拟合该非线性曲线，并补偿成线性再去做标定。加速度计的标度因数这里表示如下：

陀螺仪的标度因数这里表示为：

3) 安装误差

一图胜千言，上图吧 ！

这里面b坐标系是正交的imu坐标系，g坐标系的三个轴是分别对应三个陀螺仪。由于加工工艺原因，陀螺仪的三个轴并不正交，

和我们导航中使用的正交轴不重合。我们需要仔细想一想，这个安装误差怎么在陀螺输出中体现出来的，因为我们标定时只能

采集到陀螺的输出，而无法直接去测量安装误差。理论上，在陀螺坐标轴和b系重合的情况下，我们沿b系某一个坐标轴旋转，

那么其他两个轴是不会有角速度输出的，而有了安装误差以后，便有了输出，据此，我们就可以建立输出和误差之间的关系了。

以图中一项误差为例，Sgxy表示的就是y轴的单位输入，在x陀螺上由安装误差造成的输出。由此，我们可以把所有的安装误差都成矩阵形式，即:

加速度计的安装误差原理和它一样，直接给出公式。

这样一共有12项安装误差参数。有的时候，可以简化为9项，但在其他标定方法中使用比较多，本次的方法不使用，所以等后面用到时再详细分析。

 

3. 误差模型

通过上面的参数分析，我们已经可以很容易地写出误差模型了。

陀螺仪：

其中W是陀螺输出，ω是各坐标轴真实输入。

加速度计：

其中A是加速度计输出，a是三个轴真实输入。

展开来看，就是这样的：

陀螺仪：

加速度计：

 

4. 基于转台的标定

1) 标定原理

在说标定之前，我们先看几个简单的小问题。

第一个问题，假如给你下面的方程组，你会怎么解

应该都能想到，用2式减去1式，得到y=1，然后带入1式，得到x=0。

第二个问题，下面的式子里，你可以随意给定a和b的值，并同时会得到c的结果，这个x和y怎么解。

也很简单，首先a=1,b=0,得到x，然后把a=0,b=1得到y。

第三个问题，下面式子，同样是输入a和b，得到c1和c2，怎么解。

其实就是前两个问题的结合，先让a=0，转成问题1，得到x和y，随后让a=1，得到z。

第四个问题，给你下面的式子，可以随意更改ax、ay和az，怎么解。

想必凭各位的冰雪聪明，一定知道我在说什么了。到这里，虽然还没讲标定，但你已经懂标定了；标定就是通过改变输入，来构建方程组，去解这个方程。

2) 标定方法

转台等同于真实输入，当把IMU安装在转台上时，IMU坐标系每个轴上的真实角速度和加速度都是已知的（这里是在转台经过调平和对准的情况下）。

你转动转台的过程，就是构建方程去求解参数的过程。举个例子，当把IMU竖直向上放的时候，有

我们可以得到：

竖直向下放的时候，可以得到：

这样就很容易解出Kaz和加速度计零位了。

经过多次这样的操作，就可以求解所有参数，这就是我们看到的标定资料里全是多位置转位方案的原因。另外，可以看出，

我们每次只给一个轴输入，另外两个轴为零，这样做的好处是每一次得到的方程就只包含一小部分参数，使求解变得简单。

这也就是为什么我们看到的多位置标定方案都是以90度为单位进行旋转的原因。

另外，需要注意的是，由于器件有噪声，所以输出值都是用一段时间的数据取平均，而不是只选择一个时间点的值。

 

5. 拓展思考

1) 最小二乘的使用

理论上，能够解析求解的，都能够用最小二乘求解。都学过线性代数，把系数矩阵提取出来，构建多组输入输出，就可以计算了，

前提是系数矩阵要满秩。各位如果感兴趣，可以根据标定误差模型，自己写一下误差参数的系数矩阵。

我们能够想到一点，既然在最小二乘的方法里，不需要自己去解析求解方程了，那么其实就没必要只给一个轴输入了，而现实中为什么不这样做呢？

因为它没有带来额外的好处，对于改变了虽然也能实现，但没有额外好处的做法，工程中一般不会主动去做，所以还是沿用原来的了。

此处留一个小小的问题，供大家思考：由于最小二乘要一次性求解参数，即系数矩阵要满秩，那么我们应该怎样多次旋转和停放转台才能够使它满秩呢？

进一步，旋转和停放的次数最少是多少呢？

2) 包含未知输入

我们在介绍标定方法的时候，是在假设转台经过调平和对准的前提下。所谓转台调平，就是转台安装面和地面平行，这样地球重力加速度在IMU各

个轴上的输入才是已知的，否则，如果转台和水平面有个夹角，且夹角未知，那么仪表的真实输入就不可计算了。所谓转台对准，是指转台的方向

和地理系北向是对齐的，这样地球自转角速度在陀螺仪上的分量就是已知的，反之则未知。

这个问题是能够解决的，但是我们先不直接给出方法，而是同样用解方程的方式来表达这种思路。我们看下面的方程，可以输入任意a和b，得到c，里面x、y、m、n都是未知的。

可以看出，我们能够计算出x和y，而不能分别算出m和n。但是换一个角度，如果我们只需要x和y呢，也就是说，

在一个不完全可解的方程里，如果我们想要的恰恰是那些可解的参数，也足够了。

回到标定的问题，如果转台没有调平和对准，引入了未知数，那么是否也一样能识别出要标定的参数呢？

这时候最小二乘方法是否仍然可以使用？这作为本篇文章的第二个问题，供大家思考。

 

五、IMU误差标定之系统级标定