BUAA(2021春) 最少布线（图）——Prim(BFS+贪心)+kruskal(并查集)双解法+原理解释

看前须知

要点介绍和简要声明.

第七次上机题汇总

图遍历（图-基本题）——邻接矩阵远比邻接表简单且好操作.

独立路径数计算——DFS+回溯.

最少布线（图）——Prim(BFS+贪心)+kruskal(并查集)双解法+原理解释.

北京地铁乘坐线路查询——Dijkstra和Floyd双解法.

题目内容

问题描述

北航主要办公科研楼有新主楼、逸夫楼、如心楼、办公楼、图书馆、主楼、一号楼等等;。北航网络中心计划要给相关建筑物间铺设光缆进行网络连通，请给出用料最少的铺设方案。

编写程序输入一个办公区域分布图及建筑物之间的距离，计算出用料最少的铺设方案（只有一组最优解，不用考虑多组解)。要求采用Prim或Kruskal算法实现。

输入形式

办公区域分布图的顶点（即建筑物）按照自然数（0，1，2，n-1）进行编号，从标准输入中首先输入两个正整数，分别表示线路图的顶点的数目和边的数目，然后在接下的行中输入每条边的信息，每条边占一行，具体形式如下：

< n> < e>

< id> < vi> < vj> < weight>

…

即顶点vi和vj之间边的权重是weight，边的编号是id。

输出形式

输出铺设光缆的最小用料数，然后另起一行输出需要铺设的边的id，并且输出的id值按照升序输出。

样例

 6 101 0 1 6002 0 2 1003 0 3 5004 1 2 5005 2 3 5006 1 4 3007 2 4 6008 2 5 4009 3 5 20010 4 5 600

【样例输出】

15002 4 6 8 9

样例说明

样例输入说明该分布图有6个顶点，10条边；顶点0和1之间有条边，边的编号为1，权重为600；顶点0和2之间有条边，权重为100，其它类推。其对应图如下：

经计算此图的最少用料是1500，可以使图连通，边的编号是2 4 6 8 9。其对应的最小生成树如下：

题解

思考和详解

这道题我们可以采用Prim 和 kruskal两种解法，如果想知道这两者的解法的原理，可以移步拓展板块。

这道题就是最基础的最小生成树的算法题，按部就班来操作不难。

Prim

参考代码

Prim

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define M 101
#define INF 0x3f3f3f3f
int sum,top=0,MinSpanTreeVertex[200],egdesID[200][200];	
// MinSpanTreeVertex存储的是路径顶点ID，egdesID存储的是两个顶点间路径ID 
void MinSpanTree_Prim(int weights[][M],int vertexNum,int FirstVertexID,int *edges);//Prim算法 
int cmp (const void * a, const void * b);
int main()
{	int weights[M][M],edges[M];int i,j,k,vertexNum,edgeNum,ID;int v1,v2,w;scanf("%d %d",&vertexNum,&edgeNum);	//顶点个数和边个数 for(i=0;i<vertexNum;i++)for(j=0;j<vertexNum;j++)weights[i][j]=INF;	//初始化 for(i=0;i<edgeNum;i++){scanf("%d %d %d %d",&ID,&v1,&v2,&w);	//录入信息 egdesID[v1][v2]=ID;egdesID[v2][v1]=ID;weights[v1][v2]=w;weights[v2][v1]=w;}MinSpanTree_Prim(weights,vertexNum,0,edges);	//最小生成树 qsort(MinSpanTreeVertex,top,sizeof(int),cmp);	//按要求排序 printf("%d\n",sum);for(i=0;i<vertexNum-1;i++)printf("%d ",MinSpanTreeVertex[i]);	//输出 return 0;
}
//最小生成树——Prim算法（从0开始）
void MinSpanTree_Prim(int weights[][M],int vertexNum,int FirstVertexID,int *edges)
{// weights为权重数组， vertexNum为顶点个数， FirstVertexID为最小数第一个个节点，edges为最小生成树边int min,minweight[M];int i,j,k;for(i=0;i<vertexNum;i++)	//初始化相关数组 {minweight[i]=weights[FirstVertexID][i];		//将传入的第一个顶点与之有边的权值存入数组 edges[i]=FirstVertexID;		//初始化第一个顶点 }minweight[FirstVertexID] = 0;	//将第一个顶点加入生成树，0 表示为相应下表的顶点已经加入树 for(i=1;i<vertexNum;i++){min=INF;for(j=0,k=0;j<vertexNum;j++)if(minweight[j]!=0 && minweight[j]<min){min = minweight[j];k=j;				//在数组中找到最小值，其下标为 k }sum+=minweight[k];minweight[k] = 0;//找到最小生成树的一个新顶点//printf("%d ",egdesID[k][edges[k]]);	MinSpanTreeVertex[top]=egdesID[k][edges[k]]; 	//记录顶点信息 top++;for(j=0;j<vertexNum;j++)	//依次检查新加入的顶点 k 到未加入顶点之间的权值 if(minweight[j]!=0 && weights[k][j] < minweight[j]){minweight[j]=weights[k][j];	//替换操作 edges[j]=k;}}
}
int cmp (const void * a, const void * b)
{return *(int*)a - *(int*)b;
}

kruskal

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<ctype.h>
#include<stdbool.h>
struct edge			//边结构体 
{int ID;			//路径ID int u,v;		//两个顶点 int w;			//权重 
};
struct edge edges[600100];
int i,top=0;
int Father[10100],MinSpanTreeVertex[2000];	
//Father存储的是每个顶点的最早出现（祖先）顶点,MinSpanTreeVertex存储的是路径顶点ID
int cnt;
long long res;	//结果 
//最小生成树——Kruskal算法（并查集）
void initFather(int vertexNum)
{int i; for(i=1;i<=vertexNum;++i){Father[i]=i;	//初始话祖先数组（一开始都是自己本身的编号） }
}
int getFather(int x)
{return Father[x]==x?x:(Father[x]=getFather(Father[x]));	//回退祖先 
}
void kruskal(int vertexNum,int edgeNum)
{int p,q;cnt=0,res=0;for(i=0;i<edgeNum;++i){p=getFather(edges[i].u);	//回退到祖先 q=getFather(edges[i].v);	//回退到祖先 if(p!=q)		//如果祖先不同（即没有构成闭环） {Father[p]=q;	//更新祖先 MinSpanTreeVertex[top++]=edges[i].ID;	//录入节点信息 res+=edges[i].w;	//加上花费的费用 cnt++;				//树节点+1 }if(cnt==vertexNum-1)	//满足条件 {break;}}
}
int cmp(const void*p1,const void*p2)	//按照权重排序 
{struct edge *a=(struct edge*)p1;struct edge *b=(struct edge*)p2;return a->w-b->w;
}
int cmp2 (const void * a, const void * b)	//按照大小排序 
{return *(int*)a - *(int*)b;
}
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);initFather(n);	//初始化祖先数组 int i;for(i=0;i<m;i++)scanf("%d %d %d %d",&edges[i].ID,&edges[i].u,&edges[i].v,&edges[i].w);qsort(edges,m,sizeof(struct edge),cmp);kruskal(n,m);printf("%d\n",res);qsort(MinSpanTreeVertex,top,sizeof(int),cmp2);	//排序 for(i=0;i<n-1;i++)printf("%d ",MinSpanTreeVertex[i]);	//输出 
}

补充测试的数据

【样例输入】

6 10
1 0 1 16
2 0 2 20
3 0 3 19
4 1 2 11
5 1 4 6
6 1 5 5
7 2 4 14
8 4 5 9
9 2 3 22
10 3 4 18

【样例输出】

56
1 4 5 6 10

原理解释

Prim（普里姆）算法

时间复杂度：O（N^2）（N为顶点数）

prim算法又称“加点法”，用于边数较多的带权无向连通图

方法：每次找与之连线权值最小的顶点（贪心），将该点加入最小生成树集合中，直到所有点都访问完（BFS访问）。

注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路的情况。

开始操作：1. 先随便选一个点（因为最后所有的点都会在最小生成树里，所以可以随便选）。

2.比较1点的边（1，5，6），选择权值为1的边.

3. 比较1，3两点的边（4，5，5，5，6，6），选择权值为4的边。

4.比较1，3，6三点的边（2，5，5，5，6，6），选择权值为2的边。

5.比较1，3，4，6四点的边（5，6，6），选择权值为5顶点边

5.比较1，2，3，4，6五点的边（3，6），选择权值为3顶点边

6.完成构造

kruskal（克鲁斯卡尔）算法

时间复杂度：O（NlogN）（N为边数）
kruskal算法又称“加边法”，用于边数较少的稀疏图
方法：每次找图中权值最小的边，将边连接的两个顶点加入最小生成树集合中
注意：相同权值任选其中一个即可，但是不允许出现闭合回路（并查集）的情况。

第一步：按照边的权重对边进行排序

第二步：从上至下依次取出边，每次取的边如果在树中形成了环路则必须丢弃。直到最后一条顶点被连接在树中则最小生成树生成。

在取出(D,E)这条边时由于与(C,D)、（C,E）产生了回路，所以丢弃这条边。

这里我们就来到了问题的重点了，我们到底如何判断新加进来的边到底会不会形成一个环路呢？这里我们可以使用并查集的。

判断回路的产生

初始状态我们将图中每一个结点都看成一颗树，就比如这样：

此时我们取出排序边集中的第一条边（C,D），我们发现C、D两个节点来自不同的树，这就说明这条边的加入不会形成环路。此时我么需要将D树置成C的子树。就比如这样：

此时我们取出第二条边（C,A），我们发现C、A两个节点属于不同的树，所以（C,A）边的加入不会成环，我们将这条边加到最小生成树的边集当中，此时我们将需要将A树置为C的子树，就比如这样：

我们取出第三条边（C,E）,发现C、E仍然属于两个不同的树，所以我们依旧将这条边加入最小生成树的边集当中。然后将E树置为C树的子树，就比如这样：

重点来了，我们取出第四条边（D,E），发现这两个节点都来自同一个树，说明如果我们将（D,E）边加入到生成树的边集中就会形成环路，所以（D,E）这条边就需要舍弃。

我们取出第五条边：（A，B），发现A、B属于不同的节点，这就代表这个边的加入不会成环，我们将这条边加入最小生成树的边集当中。这是我们发现边集中边的数量加一刚好等于节点数，这也就说明，每个节点都已将包含在最小生成树的边集当中了，也就不需要继续向下取排序边集了。

此时我们将边集中的边重构成一张图，也就是一个最小生成树了：

上面就是整个Kruskal的思路