键指offer——动态规划与贪婪算法+面试题14：剪绳子（p94-p98）

动态规划（dp，Dynamic Programming）

如果编程题是求一个问题的最优解（通常是最大值或最小值），而且该 问题能够分解为若干个子问题，并且子问题之间还有重叠的更小的子问题，就可以考虑用动态规划来解决。

动态规划求解的问题的四大特点：

1. 求一个问题的最优解；
2. 整体问题的最优解是依赖各个子问题的最优解；
3. 大问题可以分成若干个子问题，这些子问题之间还有相互重叠的更小的子问题；
4. 从上往下分析问题，从下往上求解问题。

由于子问题在分解大问题的过程中重复出现，为了避免重复求解子问题，可以从下往上的顺序先计算出小问题的最优解并存储下来（一般都是存在一位数组或者二维数组里），并把子问题的最优解组合起来逐步解决大的问题。

动态规划功能强大，它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。但仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划才管用。

理解过程：背包问题

假设你是个小偷，背着一个可装4磅东西的背包。

方法就是使用动态规划，先解决子问题，再逐步解决大问题。

最初网格是空的，当网格被你填满之后，就找到了问题的答案。

其实，在计算每个单元格的价值时，使用的公式都是相同的，不论是填充值的时候还是计算最大值的时候：

练习：

方法就是之前的背包问题同样的解决方法：

总结：

 需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用。
 问题可分解为离散子问题时，可使用动态规划来解决。
 每种动态规划解决方案都涉及网格。
 单元格中的值通常就是你要优化的值。
 每个单元格都是一个子问题，因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。
 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。

贪婪算法（贪心算法）

所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，它所做出的仅仅是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性（即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。）

所以，对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

该算法存在的问题：

不能保证求得的最后解是最佳的；
不能用来求最大值或最小值的问题；
只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

贪婪算法适合用的问题：

贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。

实际上，贪心算法适用的情况很少。一般对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可以做出判断。

贪婪算法的优点——简单易行！贪婪算法很简单：每步都采取最优的做法。用专业术语说，就是你每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

在有些情况下，完美是优秀的敌人。有时候，你只需找到一个能够大致解决问题的算法，此时贪婪算法正好可派上用场，因为它们实现起来很容易，得到的结果又与正确结果相当接近。

面试题14：剪绳子

题目描述：
给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0] * k[1] * … * k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

分析：

• 首先是动态规划法来解题：将最优解存储在新建数组dp里，dp数组中的第i个元素就表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值。求出每次剪绳子之后乘积的最大值，计算顺序自下而上。从绳子长度length=4开始就有了多种剪切方法：2*2和1*3，因此0-3为默认值lemgth[i]，从length=4开始用动态规划计算最优值。

• 接下来是贪婪算法，当length>=5时，我们尽可能多的剪长度为3的绳子，当剩下绳子长度为4时，将绳子剪成长度为2的绳子。这个思路还是蛮复杂的，比动态规划复杂一些,但解决起来又很简单。

代码：

• 动态规划：

int maxProductAfterCutting_dp(int length)
{if(length == 0 || length ==1)return 0;if(length == 2)return 1;if(length == 3)return 2;int *dp = new int[length+1];//最终要求length的最优解dp[0] = 0;dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;int max=0;for(int i=4;i<length+1;i++){for(int j=1;j<=i/2;j++)//求出将长度为i的绳子剪成若干段的乘积最大值放到dp[i]里，最终得到长度为length的绳子长度剪成若干段的乘积最大值{int x = dp[j]*dp[i-j];if(x > max)max = x;dp[i] = max;}}max = dp[length];//resultsdelete[] length;return max;
}

• 贪婪算法：

int maxProductAfterCutting_tanlan(int length)
{//-----------------0,1,2,3自行解决--------------------if(length == 0 || length ==1)return 0;if(length == 2)return 1;if(length == 3)return 2;//------------------仍然是长度大于等于4时开始有了多种减法------------------//尽可能多减去长度为3的绳子int timesOf3 = length/3;//判断当绳子剩下长度为4时，不能再减去长为3了,因为此时2*2的价值更大，所以3的倍数-1if(timesOf3 % 3 == 1)timesOf3 -= 1;//当剩下的值为0，2或者4时的操作，就是让其减去2int timesOf2 = (length - timesOf3*3)/2;//剩下绳子长度不可能为1，因为4里把1包括了；不可能为3因为3的倍数都会被减去return (int)(pow(3,timesOf3))*(int)(pow(2,timesOf2));//结果就是剪成长度为3或者2，所以有了这个操作}