【线性代数的本质 - 系列合集】04 矩阵乘法与线性变换复合的联系（万字详文）

本文主要是介绍【线性代数的本质 - 系列合集】04 矩阵乘法与线性变换复合的联系（万字详文），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

兄弟们，没看过视频的先滚去看视频！！！笔记是用来复习的

课程是blibli和youtube上的：
线性代数的本质 - 系列合集
Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra

嘿大家好！
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上期视频结束前
我展示了线性变换长什么样，以及如何用矩阵描述它们
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这值得我们快速回顾一下，因为它们实在是很重要
当然，如果你觉得不是“回顾”这么简单，那就再回去看看上期视频吧
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严格意义上说，线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数
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但是上期视频中，我说过可以将线性变换看作对空间的挤压伸展
它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不变

关键的一点在于，线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定
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在二维空间中，基向量就是i帽和j帽
这是因为其他任意向量都能表示为基向量的线性组合
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坐标为(x, y)的向量就是x乘以i帽加上y乘以j帽
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在线性变换之后
网格线保持平行且等距分布这一性质有个绝妙的推论
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向量(x, y)变换之后的结果，将是x乘以变换后的i帽，加上y乘以变换后的j帽
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这意味着只要记录下i帽和j帽变换后的位置
你就能计算出一个坐标为(x, y)的向量变换后的坐标
就是x乘以变换后i帽的坐标，加上y乘以变换后j帽的坐标
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习惯上，我们将变换后i帽和j帽的坐标作为一个矩阵的列
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并且将两列分别与x和y相乘后加和的结果定义为矩阵向量乘积
这样，矩阵代表一个特定的线性变换
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而矩阵与向量相乘
就是将线性变换作用于那个向量

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回顾结束！开始新的内容
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很多时候你发现你想描述这样一种作用：一个变换之后再进行另一个变换
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比如说，你想描述
将整个平面逆时针旋转90度后，再进行一次剪切变换会发生什么

从头到尾的总体作用是另一个线性变换
它与旋转和剪切明显不同
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这个新的线性变换通常被称为前两个独立变换的“复合变换”
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和其他线性变换一样
我们也能通过追踪i帽和j帽，并用矩阵完全描述这个复合变换
在这个例子中，i帽在两个线性变换之后的最终落点是(1, 1)
我们将它作为矩阵的第一列
类似地，j帽最终落在(-1, 0)
我们将它作为矩阵的第二列
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这一新的矩阵捕捉到了旋转然后剪切的总体效应
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但它是一个单独的作用，而不是两个相继作用的合成
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上图通过一次变换直接变成下图，不是两次

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这里有种方法来考虑这个新矩阵
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如果你有一个向量，将它进行旋转然后剪切
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一个麻烦的计算方法是：
首先将它左乘旋转矩阵
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然后将得到的结果再左乘剪切矩阵
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从数值角度看，这意味着对一个给定向量进行旋转然后剪切
但是无论所选向量是什么，结果都应该与复合变换作用的结果完全相同
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因为新矩阵应当捕捉到了旋转然后剪切的相同总体效应
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根据我们这里所写下的内容
我认为将这个新矩阵称为最初两个矩阵的积是合理的，不是吗？
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我们很快就能搞清楚如何在更普遍的情况下计算这个乘积
但是这样太容易迷失在数字丛林当中
时刻记得
两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用

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这里有件奇怪的事，就是这个乘积需要从右向左读
首先应用右侧矩阵所描述的变换
然后再应用左侧矩阵所描述的变换
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它起源于函数的记号，因为我们将函数写在变量左侧
所以每次将两个函数复合时，你总是要从右向左读
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对希伯来读者是好消息，对其他人则是坏消息
我们再看一个例子
一个矩阵，两列为(1, 1)和(-2, 0)

它所代表的变换长这样
我们称它为M1

另一个矩阵，两列为(0, 1)和(2, 0)