管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——整式分式——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——整式——
六大公式：
（1）与平方有关的公式
平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$——【平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。】
变形：
位置变化-$(a+b)(-b+a)=a^2-b^2$、
符号变化-$(-a-b)(a-b)=-(a^2-b^2)$、
系数变化-$(ax+by)(ax-by)=a^2{x}^2-b^2{y}^2$、
指数变化-$(a^m+b^n)(a^m-b^n)=a^{2m}-b^{2n}$、
增项变化-$(a+b+c)(a-b+c)=(a+c{)}^2-b^2$、
增因式变化-$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)=a^8-b^8$。
应用：①利用定义作因式分解；②$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$用作长串表达式化简求值；③题干出现$a^2,b^2$，要想到做减法构造平方差公式。
完全平方：$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$——【完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。】——【类比记忆法：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2\ge 0$与均值不等式$\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$，可得$a^2+b^2\ge 2ab$一样】
变形：
$(a+b{)}^2=(a-b{)}^2+4ab$、
$(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$、
$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$、
$a^2+b^2=(a-b{)}^2＋2ab$、
$a^2+b^2=\frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{2}$、
$ab=\frac{(a+b{)}^2-(a-b{)}^2}{4}$、
$a\pm 2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}{)}^2(a,b＞0)$、
$a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc\pm ac=\frac{1}{2}[(a\pm b{)}^2+(a\pm c{)}^2＋(b\pm c{)}^2]$——【完全平方式在真题的考核中大多以配方为主，若题干出现$a^2\pm 2ab+b^2$要想到配方，题目往往会为了增加难度给出$a^2\pm 2ab$或$a^2＋b^2$，考生需要通过补项实现配方，此外考生也需要牢记完全平方式的变形公式。】

三个数的完全平方/三个数和的平方：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$——【三个数和的平方可以分为三部分：和的平方、平方的和、两两之积，三部分知二求一，部分难题还会考查换元法的使用。】
变形①：$ab+bc+ac=\frac{(a+b+c{)}^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$
变形②：若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$，则$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$
（2）与立方有关的公式
和与差的立方：$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
①立方和：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$——【$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$】
②立方差：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$——【$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$】
③拓展：$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}{y}^2+...+y^{n-1})$
完全立方：$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$——【每项都有3】
①和立方：$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3a^{2}b+3a{b}^2=a^3+b^3+3ab(a+b)$——【和立方比立方和多3乘积和】
②差立方：$(a-b{)}^3=a^3-b^3-3a^{2}b+3a{b}^2=a^3-b^3-3ab(a-b)$——【差立方比立方差少3乘积差】
③拓展：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
（3）其他公式：
$ab\pm a\pm b\pm 1=(a\pm 1)(b\pm 1)$
$abc+ab+bc+ac+a+b+c+1=(a+1)(b+1)(c+1)$
$a^3+b^3+c^3=3abc$ $⟹$ $a=b=c$或$a+b+c=0$，推论：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+...+C_n^n{a}^0{b}^n$
$xy+mx+ny+mn=(x+n)(y+m)$
$xy-mx-ny+mn=(x-n)(y-m)$
$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ $⟺$ $(x-a)(y-b)=ab(x,y\ne 0)$
（4）配方法恒等变形
将代数式进行恒等变形，化为几个完全平方式的运算叫作配方。配方法是解决非负零和与最值问题的有效工具。
联考数学常见配方法命题模式：
模式一：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$（最基础）
模式二：$a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc\pm ac=\frac{1}{2}[(a\pm b{)}^2+(b\pm c{)}^2＋(c\pm a{)}^2]$（最常考）
拓展一：$a^4+b^4+c^4-a^2{b}^2-b^2{c}^2-c^2{a}^2=\frac{1}{2}[(a^2-b^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2+(c^2-a^2{)}^{]}$
拓展二：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\times \frac{1}{2}[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]$
模式三：$a^2+b^2+c^2+d^2\pm ab\pm bc\pm cd\pm da=\frac{1}{2}[(a\pm b{)}^2+(b\pm c{)}^2＋(c\pm d{)}^2＋(d\pm a{)}^2]$
模式四：$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by{)}^2=(ay-bx{)}^2$

整式的除法：若$F(x)$除以$f(x)$，商是$g(x)$，余式是$r(x)$，则有$F(x)=f(x)g(x)＋r(x)$，并且$r(x)$的次数小于$f(x)$的次数。
当$r(x)=0$时，$F(x)=f(x)g(x)$，此时称$F(x)$能被$f(x)$整除(也能被$g(x)$整除，$f(x)$和$g(x)$都是$F(x)$的因式)。
因式定理（整除）：若$x-a$是$F(x)$的一个因式，则有$F(a)=0$。$f(x)$含有$(x-a)$因式$⟺$ $f(x)$能被$(x-a)$整除$⟺$ $f(a)=0$——【理解记忆法：f(x)能被ax-b整除，意味着f(x)含有ax-b因式，即$f(\frac{b}{a})=0$】——【因式定理是余式定理的一种特殊情况，即余式刚好为0】
当$x=a$时，$f(a)=0$ $⟺$ $x-a$是$f(x)$的一个因式 $⟺$ $f(x)$能被$x-a$整除。
若$f(x)$能被$ax-b$整除，意味着$f(x)$含有$ax-b$这个因式，即必有$f(\frac{b}{a})=0$。
$(ax-b)|f(x)$ $⟺$ $f(x)$含有因式$(ax-b)$ $⟺$ $f(\frac{b}{a})=0$ 。
拓展：$(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)|f(x)$ $⟺$ $f(x_i)=0,i=1,2,...,m$
出题模式：代数式能被某个式子整除；某个式子是代数式的一个因式；代数式含有因式某某某；余式为零。
解题思路：直接让该式子（除式）等于零，解出x，然后代入原式中令其等于零即可。

余式定理（非整除）：由于余式的次数要小于除式，所以当除式为一次表达式时，余式就为常数，从而得到余式定理：多项式$f(x)$除以$x-a$，余式为$f(a)$，推论为：多项式$f(x)$除以$ax-b$的余式为$f(\frac{b}{a})$。此外，函数$f(a)$的值代表$f(x)$除以$x-a$的余式。
评注：可以理解为$f(x)$除以$ax-b$的余式为该点的函数值。因式定理可以看成余式定理的特殊情况。——【余式定理的余式永远比除式低且仅低一次方】
若多项式$f(x)$除以$ax-b$的余式为$r(x)$，则必有$f(\frac{b}{a})=r(\frac{b}{a})$。
（1）若有$x=a$使得$f(a)=0$，则$F(a)=r(a)$，即当除式=0时，被除式=余式。
（2）$F(x)$除以$ax-b$，当除式$ax-b=0$时，被除式等于余式，即$F(\frac{b}{a})=余式$。
（3）$F(x)$除以$a{x}^2+bx+c$，可令除式$a{x}^2+bx+c=0$，解得两个根$x_1,x_2$，则有余式$R(x_1)=F(x_1)$，$R(x_2)=F(x_2)$。
出题模式：代数式除以某式子的余式为某某某。
解题思路：零除式等于零，解出x后代入原式中，所得数值等于余式。
核心思路：余式比除式低且仅低一次方。
解题方法：——【所有因式定理和余式定理都是直接让除式等于零，解出x的值后代入原式即可，其中，因式定理等于零；余式定理等于余式。】
（1）解方程（组）法求未知参数
$F(x)$除以除式（可因式分解），余式为$r(x)$，则令除式=0，解出根$x_1,x_2,\dots ，$，解方程组$F(x_1)=r(x_1),F(x_2)=r(x_2),...$，求出未知参数
（2）待定系数法求所设参数
在不清楚$F(x)$的具体表达式时，若除式是一次整式，则可设余式为$m$；若是二次除式，则可设余式为$mx＋n$（m，n是常数）

因式定理及余式定理：——【所有因式定理和余式定理都是直接让除式等于零，解出x的值后代入原式即可，其中，因式定理等于零；余式定理等于余式。】
（1）对于因式定理和余式定理，直接让因式等于零把x的值代入原式即可。
（2）对于余式定理注意事项：余式永远比除式低且仅低一次方。
（3）除此以外，因式定理和余式定理的解题步骤没有任何区别。

因式分解：
因式分解（将一个多项式写成几个整式乘积的形式）
解题方法：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法；（5）因式定理；（6）秒杀方法：首尾项检验法；特殊值检验法。——【因式分解讲究"一提、二代、三分组、四十字相乘"的方法，但是高次方程可能并不适用。需要用上述四种方法配合换元组合使用。】
十字相乘法：用于分解$a{x}^2+bx+c$型的式子，这类二次三项式的特点是：二次项的系数、常数项是两个数的积；一次项系数是二次项系数的因数与常数项系数的因数乘积的和。特殊情况时，二次项的系数为1。其过程如图所示：对于$a{x}^2+bx+c$
条件：
（1）$a=a_1{a}_2$
（2）$c=c_1{c}_2$
（3）$b=a_1{c}_2+a_2{c}_1$
分解结果：$a{x}^2+bx+c=(a_{1}x+c_1)(a_{2}x+c_2)$

分组分解法（分组后能提公因式；分组后能用公式）
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法。
【注意】分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

二项式定理：
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$，以上展开式共$n+1$项，其中$C_n^k$叫作二项式系数，其中第$k+1$项为$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k(k=0,1,...,n)$，称为二项展开式的通项。
二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即$C_n^m=C_n^{n-m}$。
（2）二项式系数$C_n^k$的增减性与最大值：
当$k＜\frac{n+1}{2}$ 时，二项式系数是递增的；当$k\ge \frac{n+1}{2}$，时，二项式系数是递减的；
当n是偶数时，中间一项$C_n^{\frac{n}{2}}$取得最大值。当n是奇数时，中间两项$C_n^{\frac{n-1}{2}}$ 和$C_n^{\frac{n+1}{2}}$相等 ，且同时取得最大值。

——分式————【看到分式一般要裂项，即分离的原则】
求整式的值：已知$x^2+ax+1=0$，求代数式的值
1.降次/幂法
①方程中降次/幂：已知$x^2+ax+1=0$型，可变形为：$x^2=-ax-1,x^2+ax=-1,x^2+1=-ax,x+\frac{1}{x}=-a$，可根据具体题目所需，选择对应的式子代入进行降次/幂。
例：已知$a^2-3a+1=0$，则有$a^2=3a-1，a^2-3a=-1，a^2+1=3a，a+\frac{1}{a}=3$
②有理化降次/幂：若已知一个无理数，可将所给无理数凑配成有理数，然后再进行降次/幂。
例：已知$a=\sqrt{2}＋1$，则$a-2=\sqrt{2}-1$，根据平方差公式，可得$a(a-2)=1$，则有$a^2-2a=1，a^2=2a+1，a^2-1=2a，a-\frac{1}{a}=2$
2.整式的除法
若已知$x^2+ax+1=0$，则可用$f(x)$除以是$x^2+ax+1$，如果所得余式为常数，则此常数为$f(x)$的值。

求分式的值：已知$x+\frac{1}{x}=a$，求代数式的值
已知$x+\frac{1}{x}=a$，求形如$x^3+\frac{1}{x^3}$，$x^4+\frac{1}{x^4}$等分式的值。
解法：将已知条件平方升次，或者将未知分式因式分解降次，即可求解。具体如下： $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x}{)}^2-2$，$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)$，$(x-\frac{1}{x}{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2=(x+\frac{1}{x}{)}^2-4$，$x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2}=\pm \sqrt{a+2}$——【偶次降奇次，正负要讨论】
例：$x+\frac{1}{x}=3$ $⟹$ $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x}{)}^2-2=7$ $⟹$ $x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)=18$ $⟹$ $x^4+\frac{1}{x^4}=47$ $⟹$ $x^5+\frac{1}{x^5}=123$；
$x+\frac{1}{x}=3$ $⟹$ $x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$ $⟹$ $(x-\frac{1}{x}{)}^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2=(x+\frac{1}{x}{)}^2-4=5$；
$x^2+\frac{1}{x^2}=7$ $⟹$ $x+\frac{1}{x}=\pm 3$。

关于$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$的问题
定理：若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$，则$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$
证明：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，由于$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=0$，故有$ab+ac+bc=0$，所以，$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$。

裂项相消：分式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，扩展：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$
多个括号相乘：（1）$1-\frac{1}{n^2}=(1+\frac{1}{n})(1-\frac{1}{n})$；（2）$(a+b)(a^2+b^2)...(a^{2n}+b^{2n})=\frac{a^{2n+1}-b^{2n+1}}{a-b}$

分式化简求值
模型1：不定方程求分式的值；核心技巧：①统一参数法；②特值法。
模型2：分式运算问题；核心技巧：①整体代入法；②换元法；③同乘同除法
模型3：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$或 $\frac{a}{x}-\frac{b}{y}=1$；核心技巧：①$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ $⟹$ $(x-a)(y-b)=ab$；②$\frac{a}{x}-\frac{b}{y}=1$ $⟹$ $(x-a)(y+b)=-ab$
模型4：取倒数问题（分子、分母一个加法一个乘法）；核心技巧：①$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{pq}$；②$\frac{pq}{p+q}$取倒数可转化为$\frac{p+q}{pq}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

目录大纲法

记忆宫殿法

绘图记忆法

局部

学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

整式运算：
五大核心公式：完全平方式、平方差公式、三个数和的平方、立方和差与和差立方、其他公式
or 六大公式：平方差公式、完全平方公式、三个数的完全平方公式、配方公式、立方和差公式、和差的立方公式

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

平方差→立方差
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
→$a^3－b^3=(a－b)(a^2+ab＋b^2)$
→$a^3＋b^3=(a＋b)(a^2－ab＋b^2)$

完全平方（其实就是和差的平方）→和差的立方【效果感觉差强人意，但是差雀食是符号要特别注意】
$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
→$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
→$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

歌决记忆法

立方和差

谐音记忆法

理解记忆法

比较记忆法

平方差公式你肯定记得，那就平方差关联上立方差

转图像记忆法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

可视化法

管理类联考——数学——可视化篇——代数即几何