齐次定理与叠加定理(电路分析基础)

齐次定理

  齐次定理的描述如下：对于具有唯一解 的线性电路，当只有一个激励源（独立电压源或独立电流源）作用的时候，其响应（电路任意处的电压或电流）与激励成正比。
   比如激励是电压源 $u_s$ ,响应是某一支路的电流 $i$ ,则有 $i=m\ast u_s$， $m$为常数，仅与电路结构与元件参数有关，与激励源无关。

   如上图所示，若是需要求解电流 $i_1,i_2$ 与激励源 $u_s$ 的关系，首先需要判定该线性电路是否具备唯一解，使用网孔法可以列举以下回路方程：
$$\{\begin{array}{rlrl}& (R_1+R_2)i_1-R_2{i}_2& =& u_s\\ & -\alpha R_3{i}_1-R_2{i}_1+(R_2+R_3+R_4)i_2& =0& \end{array}$$
   根据以上线性非齐次方程，若是需要判断有无唯一解，可以判断其系数行列式是否为0，即：
$$\left|\begin{array}{cc}(R_1+R_2)& -R_2\\ -(R_2+\alpha R_3)& (R_2+R_3+R_4)\end{array}\right|$$
$$=R_1{R}_2+(R_1+R_2)(R_3+R_4)-\alpha R_2{R}_3=\Delta$$

  根据线性代数的知识，若是$\Delta$$\ne$ 0,则上述线性非其次方程组有唯一解，也便是电路齐次定理中所说的惟一的解的线性电路。于是，我们便可以使用克莱姆法则对方程进行求解，得：
$$\{\begin{array}{rl}& i_1=\frac{R_2+R_3+R_4}{\Delta }{u}_s\\ & i_2=\frac{R_2+\alpha R_3}{\Delta }{u}_s\end{array}$$

叠加定理

  叠加定理描述了线性电路的可加性，其内容是：对于具有唯一解的线性电路，多个激励源共同作用时引起的响应(电路中各处的电流、电压)等于各个激励源单独作用(其它激励源为零)时所引起的响应之和。

  如以上的反相求和电路的求解，便可以利用叠加定理，先将$u_{i}2,u_{i}3$接地，那么电流$i_2与i_3为0，(N点虚地)$，计算 $u_{i}1与$$u_o$的关系，那么根据反相运算电路的输入输出关系：
$$\frac{u_{1}1}{R_1}=\frac{-u_0}{R_f}即u_0=-\frac{R_f\ast u_{i}1}{R_1}$$
同理可以使$u_{i}1,u_{i}3$接地计算$u_{i}2$单独作用的效果，使$u_{i}1,u_{i}2$接地计算$u_{i}3$单独作用的效果，如下：
$$u_{o}2=-\frac{R_f}{R_2}\ast u_{i}2,u_{o}3=-\frac{R_f}{R_3}\ast u_{i}3$$
那么，根据叠加定理，它们共同时的输出就是单独作用时的输出相加，即
$$u_o=u_{0}1+u_{o}2+u_{o}3=-\frac{R_f}{R_1}\ast u_{i}1-\frac{R_f}{R_2}\ast u_{i}2-\frac{R_f}{R_3}\ast u_{i}3$$

补充知识——克莱姆法则

克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，假设有如下方程组：
$$\{\begin{array}{rl}& a_1{X}_1+b_1{X}_2=c_1\\ & a_2{X}_2+b_2{X}_2=c_2\end{array}$$
其系数行列式为$D$,若是D存在并且$D\ne 0$则有如下关系：
$$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|,D1=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|,D2=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|$$
$$X_1=\frac{D1}{D},X_2=\frac{D2}{D}$$
在求解$X_1$时用到的$D1$就是在$D$的基础上，用结果列的数代替$X_1$所在系数列的系数，同理在求解$X_2$时用到的$D2$就是在$D$的基础上，用结果列的数代替$X_2$所在系数列的系数。

参考

[1]模拟电子技术基础[M].华成英,童诗白主编;清华大学电子学教研组编.高等教育出版社.2006
[2]电路基础[M].王松林,吴大正,李小平,王辉编著,西安电子科技大学出版社.2008

总结

小的基础知识点回顾，便于日后查看，本人不才，必有疏漏，望指正。