Let X, X′, Y, Y ′be sets. Let × denote the Cartesian product of sets.

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Let X, X′ , Y, Y ′ be sets. Let × denote the Cartesian product of sets. Show that X × Y − X ′ × Y ′ = ((X ∩ X ′ ) × (Y − Y ′ )) ∪ ((X − X ′ ) × Y ) .

Solution:
(x, y) ∈ LHS ⇔x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ ¬(x ∈ X′∧ y ∈ Y′)
⇔x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ (x ∉ X′∨ y ∉ Y′)
⇔x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ (x ∉ X′∨ (y ∉ Y′∧ x ∈ X′))
⇔(x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ x ∉ X′) ∨ (x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ y ∉ Y′∧ x ∈ X′)
⇔(x ∈ (X − X′) ∧ y ∈ Y ) ∨ (x ∈ X ∧ x ∈ X′∧ y ∈ (Y − Y′))
⇔(x, y) ∈ RHS.

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