基于翻筋斗觅食策略的灰狼优化算法

一、理论基础

1、GWO算法

请参考这里。

2、改进GWO算法

（1）动态扰动因子策略

本文将引入新的动态扰动因子策略以确保精度，扰动因子$E$如式(1)所示，更新后的$A$如式(2)所示。$$E=randn\cdot \left({\sin }^{\omega }(\frac{\pi }{2}\cdot \frac{t}{t_{\max }})+\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{t}{t_{\max }})-1\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$A=a(2r_1-1)+E\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$randn$表示服从标准正态分布的随机数；$\omega$表示某一常数，它决定了扰动因子峰值的位置。
图1可以看出不同$\omega$值的扰动因子振幅情况，振幅随着$\omega$的增加而减小，最早出现较大振幅的是$\omega =2$的扰动因子。

从图中可以看出，当$\omega =2$时，$|A|$在迭代后期会突然大于1，且扰动因子的振幅较大，严重影响了收敛性；当$\omega =3$时，扰动因子的振幅较小，后期跳出局部最优的能力会变弱，但是并不影响算法本身的性能；当$\omega =2.5$时，可以看出收敛性能略有提升。
图2为不同$\omega$值下$A$的数值的变化。

（2）翻筋斗觅食策略

由于灰狼优化算法后期易陷入局部最优，针对这个问题受到蝠鲼觅食的启发，引入较为新颖的翻筋斗觅食策略来改善GWO算法跳出局部最优的能力。这种捕猎行为，可以将猎物视为一个支点，每次捕猎将会更新到当前位置与对称于支点对面位置的某一位置，数学模型如下：$$x_i^d(t+1)=x_i^d(t)+S\cdot (r_1{x}_{best}^d-r_2{x}_i^d(t))\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$S$表示空翻因子，决定了翻到猎物对面的位置，取$S=2$；$x_{best}^d$为猎物位置；$N$为狼群数量；$d$为维度；$r_1$、$r_2$为两个在$[0,1]$的随机数。
在每一次的迭代中，当前灰狼位置$x_i^d(t)$会与其跳跃支点后的灰狼进行适应度对比，如果此时已经陷入局部最优，则灰狼位置$x_i^d(t)$可能会被跳跃支点后的灰狼取代(取决于适应度值)，而随着迭代的进行，被取代的概率就越大，跳出局部最优的效果就越明显。与反向学习策略不同的是，翻筋斗策略在更新位置时是围绕最优狼进行的，这使得算法具有更强的收敛性。

3、DSF-GWO算法步骤

DSF-GWO算法步骤如下：
a）初始化灰狼种群参数，包括灰狼种群规模$N$、最大迭代次数$t_{\max }$、空间维度$dim$、搜索空间的上下限$ub$和$lb$。
b）计算狼群个体适应度值并确定$\alpha$、$\beta$、$\delta$。
c）更新参数$C$，通过式(2)更新添加扰动因子的参数$A$。
d）更新狼群和猎物位置。
e）判断条件$t/t_{\max }$是否大于$rand$，是则根据式(3)进行翻筋斗计算，然后合并比较，通过升序筛选出新适应度值;否则直接跳至步骤f）。
f）跳到步骤b）直到满足终止条件，即计算到最大迭代次数$t_{\max }$。
g）输出最优解$\alpha$狼的位置和适应度值。

二、实验测试及分析

为测试DSF-GWO算法的寻优性能，将其与GWO算法、WOA算法进行对比，以文献[1]中的f2~f4(单峰)、f9~f11(多峰)为例。设置狼群数量为30，维度为30，最大迭代次数为500，每个算法独立运算30次，取这30次计算的最差值、最优值、平均值及标准差。
对比结果显示如下：

函数：F2
DSF-GWO：最差值: 7.3304e-214,最优值:3.3382e-229,平均值:3.3373e-215,标准差:0
GWO：最差值: 8.2894e-18,最优值:1.6797e-19,平均值:1.7635e-18,标准差:1.6031e-18
WOA：最差值: 6.6291e-50,最优值:4.5475e-59,平均值:3.0107e-51,标准差:1.2234e-50
函数：F3
DSF-GWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
GWO：最差值: 0.019131,最优值:1.3037e-05,平均值:0.0042121,标准差:0.0057549
WOA：最差值: 74821.4487,最优值:3538.8338,平均值:37942.7239,标准差:15983.9549
函数：F4
DSF-GWO：最差值: 4.4994e-201,最优值:1.6184e-216,平均值:1.5271e-202,标准差:0
GWO：最差值: 0.0002624,最优值:3.4902e-06,平均值:6.067e-05,标准差:7.0227e-05
WOA：最差值: 91.8094,最优值:0.12971,平均值:52.7425,标准差:30.3577
函数：F9
DSF-GWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
GWO：最差值: 99.3297,最优值:3.7731,平均值:23.7643,标准差:17.8935
WOA：最差值: 5.6843e-14,最优值:0,平均值:1.8948e-15,标准差:1.0378e-14
函数：F10
DSF-GWO：最差值: 8.8818e-16,最优值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
GWO：最差值: 2.931e-14,最优值:1.5099e-14,平均值:2.0783e-14,标准差:3.3118e-15
WOA：最差值: 7.9936e-15,最优值:8.8818e-16,平均值:4.204e-15,标准差:2.6279e-15
函数：F11
DSF-GWO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0
GWO：最差值: 0.027149,最优值:0,平均值:0.0042574,标准差:0.008293
WOA：最差值: 1.1102e-16,最优值:0,平均值:3.7007e-18,标准差:2.027e-17

从图和表结合来看，DSF-GWO算法在收敛精度以及收敛速度两方面均有优势，证实了本文的改进是有效的。

三、参考文献

[1] 王正通, 程凤芹, 尤文, 等. 基于翻筋斗觅食策略的灰狼优化算法[J]. 计算机应用研究, 2021, 38(5): 1434-1437.