诺亚幻想抽卡——玩家控制概率的抽卡系统

玩家控制概率？

和传统的抽卡方式消耗单一资源(钻石，金币，十连抽礼券)不同，《诺亚幻想》的抽卡，是需要消耗多种资源，每一种资源玩家都可以配置相应的数值，相当于在真正的抽卡逻辑之前，进行了策划的配置权重的工作，相应的，配置好数值之后，对于所有英雄抽卡获得的概率都会改变。这种抽卡被玩家称之为诺亚幻想大建，每个英雄对应的最佳的各种资源的数值被称之为大建公式，从最终的抽卡体验来看，很多玩家都觉得这是谜一样的抽卡。到底内部逻辑是怎样的呢？
先来看一张大建的图:

金黑翠苍赤五种曜石，在大建时每一种曜石的数量最少设置50，最高999。那么一共有950的5次方，也就是773780937500000种大建公式。为每一个公式都准备一个抽取的库显然是不可能的。实际上，总共只有20个库，由5种曜石和4种cost(学员分为cost5,6,7,9这4种)组合而成。玩家准备的公式，决定了分库随机中，20个库分别可以随机到的概率。如果理解了随机的概率算法，玩家就可以通过配置建造公式，真正增加随出某个库(比如cost9水(苍)属性库)的概率。那么这20个概率是怎样确定的呢？

库概率计算

首先，我们来理解一个概念，叫做权重函数，用于计算最终的特定库的权重。设x1,x2,x3,x4,x5分别对应五种曜石数量，S为输入的曜石总数。
总权重函数为:
$$W_{i,k}=H_i{C}_k\text{\hspace{1em}(i对应5种曜石, k对应4种cost)}$$
曜石权重函数:
$$H_i=\frac{x_i^3}{x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3}\text{\hspace{1em}x为曜石数量}$$
曜石总数权重函数:
$$C_k=a_{k}ex{p}^{\frac{-(S-b_k{)}^2}{2c_k^2}}，S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\text{\hspace{1em}a,b,c为常数}$$
由上述公式，我们可以得出以下结论:

1. 总权重由曜石权重函数和总数权重函数共同决定，要想最大程度提高特定库的概率，我们需要同时提高两个权重函数的值。
2. 对于曜石权重函数来说，特定的曜石数量越多，其它种类曜石数量越少，并且其它曜石数量越平均，那么随机到这种曜石对应的库的几率越大。举例说明:如果想提高水属性学员概率，那么水曜石尽可能的放多，其它的尽可能放少。
3. 对于曜石总数权重函数，我们放入的曜石总数越接近b的值，那么对应的cost的库权重越大。因为这是一个正态分布函数。两边同时求对数可以得到:
   $$\ln C_k=\ln a_k-\frac{(S-b_k{)}^2}{2c_k^2}$$
   如果S的值与b相等，那么最终权重为a。
4. 总结来说，想要最大化某个库的概率，需要 其对应种类的曜石数量越多，总曜石越近b的值。

那么b的值是多少呢？

那么问题来了，两个权重函数可能相互冲突，你能取最大值，我就不能，怎样确定最终的最大概率的数值呢？
由于关键的曜石数量需要最大，其它曜石可以算作平均值处理，并把曜石总数也作为一个变量y，所以权重函数做如下变化。
$$W_{x,y}=a\frac{x^3}{x^3+4(\frac{y-x}{4}{)}^3}ex{p}^{\frac{-(y-b{)}^2}{2c^2}}\text{\hspace{1em}y为总曜石数量}$$
这就演变为一个求二元函数极大值问题。并且限定为:
$$x\in [50,999),y⩾x+200,y⩽5x$$
有数学大佬可以帮忙算一下吗？
咱们还是写程序算出来最大概率的公式吧。

local config = {-- 学员单一库配置static_drop_libs = {light = {[5] = 200001,[6] = 200002,[7] = 200003,[9] = 200004},dark = {[5] = 200005,[6] = 200006,[7] = 200007,[9] = 200008},wind = {[5] = 200009,[6] = 200010,[7] = 200011,[9] = 200012},water = {[5] = 200013,[6] = 200014,[7] = 200015,[9] = 200016},fire = {[5] = 200017,[6] = 200018,[7] = 200019,[9] = 200020}},-- 学员 Cost 的正态函数参数cost_normal_functions = {[5] = {a = 1.5,b = 250,c = 1229.2},[6] = {a = 1,b = 2450,c = 1350},[7] = {a = 1.1,b = 3900,c = 1520},[9] = {a = 1,b = 4400,c = 1063.3}}
}local ELEM_FIELDS =  {[1] = "light",[2] = "dark",[3] = "wind",[4] = "water",[5] = "fire"
}local function get_formulaes(req)local elem_weights = {}local elem_target = 0local elem_sumcubic = 0for elem_id, elem_field in pairs(ELEM_FIELDS) dolocal v = req[elem_field]local cubic = v * v * velem_weights[elem_id] = cubicelem_sumcubic = elem_sumcubic + cubicelem_target = elem_target + vendfor k, v in pairs(elem_weights) doelem_weights[k] = v / elem_sumcubic -- 权重为 各自的立方 除以 立方和endlocal cost_weight_sum = 0local cost_weights = {}for c, n in pairs(config.cost_normal_functions) dolocal distance = elem_target - n.blocal cw = n.a * math.exp(- distance * distance / 2 / n.c / n.c)cost_weights[c] = cwcost_weight_sum = cost_weight_sum + cwendfor k, v in pairs(cost_weights) docost_weights[k] = v / cost_weight_sumendlocal formulaes = {}for elem_id, elem_name in pairs(ELEM_FIELDS) dolocal ew = elem_weights[elem_id]local elem_drop_libs = assert(config.static_drop_libs[elem_name])for c, cw in pairs(cost_weights) dolocal drop_id = elem_drop_libs[c]if drop_id thenlocal weight = ew * cwtable.insert(formulaes, {dropId = drop_id,weight = weight})endendendreturn formulaes
endlocal function check_prob(drop_target, current, other)local result = get_formulaes({light=other, dark = other, wind = other, water = current, fire = other})-- local drop_target = 200013local target_weight = 0local sum = 0for _, drop in pairs(result) doif drop.dropId == drop_target thentarget_weight = drop.weightendsum = sum + drop.weightendif target_weight ~= 0 thenlocal prob = target_weight / sum-- print(prob)return probendreturn 0
endlocal bbb = {[5] = 250,[6] = 2450,[7] = 3900,[9] = 4400
}local from = 50
local to = 999
local interval = 1
local max = 0
local bingo = nil
local bingoOther = nil
for index, target in pairs(config.static_drop_libs.water) dolocal total = bbb[index]for i = from,to,interval dolocal totalMin = total * 0.8local totalMax = total * 1.2if totalMin < 250 thentotalMin = 250endif totalMax > 4996 thentotalMax = 4996endfor j = totalMin,totalMax,interval dolocal other = math.floor((j - i)/4)if other < 50 thenother = 50elseif other > 999 thenother = 999endlocal result = check_prob(target, i, other)if result > max thenmax = resultbingo = ibingoOther = otherendendendprint(index,"bingo:",bingo,"prob:",max,"other:",bingoOther)bingo = nilmax = 0bingoOther = nil
end

运行结果:

9       bingo:  999     prob:   0.13988862461048        other:  666
5       bingo:  265     prob:   0.75589757110106        other:  50
6       bingo:  999     prob:   0.42954544628168        other:  246
7       bingo:  999     prob:   0.24826871710409        other:  530

可以得出以下结论:
cost9水属性库，大建公式为, 水曜石999，其它曜石666，概率为13.98%。
cost7水属性库，大建公式为, 水曜石999，其它曜石530，概率为24.83%。
cost6水属性库，大建公式为, 水曜石999，其它曜石246，概率为42.95%。
cost5水属性库，大建公式为, 水曜石265，其它曜石50，概率为75.6%,。

总结

cost越高的学员，越难抽取。