本质矩阵8点法中的线代知识

本文主要是介绍本质矩阵8点法中的线代知识，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在多视图几何的 2D 几何中，在利用八点法（Eight-point-algorithm）求解本质矩阵（Essential Matrix）的时候，出现一个将类似二次型的形式：
$\mathbf{x}^{T}E\mathbf{y}$
将其表示成
$BE_{linear}$
的过程
其中， $B$ 的元素仅与 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 有关。
下面首先简单地推导该过程，接着复习一下二次型相关内容

“线性化”二次型

我将这个过程称之为 “线性化”，主要是因为它将矩阵 $E$ 处理成一个向量。
在这里，矩阵 $E$ 是需要求解的未知数。
而 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 则是在两个视图上的匹配特征点的坐标信息。
$0=\begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} &e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} x_1e_{11} +x_2e_{21}+x_3e_{31}& x_1e_{12} +x_2e_{22}+x_3e_{32}& x_1e_{13} +x_2e_{23}+x_3e_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\y_2\\y_3 \end{bmatrix} \tag{1}$

$=\begin{bmatrix}x_1y_1e_{11} +x_2y_1e_{21}+x_3y_1e_{31}+x_1y_2e_{12} +x_2y_2e_{22}+x_3y_2e_{32}+ x_1y_3e_{13} +x_2y_3e_{23}+x_3y_3e_{33}\end{bmatrix} \tag{2}$

注意：式（2）是一个 $1\times1$ 的矩阵。
观察式（3）的结构，将式（2）重写：
$=\begin{bmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 &x_1y_3&x_2y_1 & x_2y_2 &x_2y_3&x_3y_1 & x_3y_2 &x_3y_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} \\ e_{12}\\e_{13}\\e_{21} \\ e_{22}\\e_{23}\\e_{31} \\ e_{32}\\e_{33} \end{bmatrix} \tag{3}$

每增加一对特征点，都可以写出一个如式（3）所示的约束。

可以把它们都拼凑起来。得到一个齐次线性方程组。

在这里就不展示拼凑之后的方程组了

求解本质矩阵最少需要 8 对特征点

根据线性代数的基本知识（Rank-Nullity Theorem），
在齐次线性方程组
$E_{m\times 9}* \mathbf{e} =\vec{0}\tag{4}$

其中，
$\mathbf{e} = \begin{bmatrix} e_{11} \\ e_{12}\\e_{13}\\e_{21} \\ e_{22}\\e_{23}\\e_{31} \\ e_{32}\\e_{33}\end{bmatrix}$
齐次线性方程组基础解系的秩+矩阵 $E$ 的秩 = 9。
向量 $\mathbf{e}$ 位于矩阵 $E$ 的零空间中。如果系数矩阵是满秩的（即秩为8），那么它的零空间维数为 1，也就是 $\mathbf{e}$ 构成一条线。这与 $\mathbf{e}$ 的尺度等价性是一致的。
所以我们想要矩阵 A 的秩为 8，那么矩阵 A 要有 8 个线性无关的行向量，

那么 $m$ 至少为8。

那么至少需要 8 对匹配的特征点。
所以 8 点法应运而生。

最小二乘与线性方程组求解

上述问题会转化为一个线性方程组的求解问题，我们需要求解下列线性方程组
$\mathbf{Ae}=\vec{0}$
其中 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times 9$ 的矩阵

但是当 m >= 9 的时候，即匹配点为 9 个或者 9 个以上时，不一定存在 $\mathbf{e}$ 使得上式成立。

因此此时通过最小化一个二次型来求
$\min_{\mathbf{e}} \Vert \mathbf{Ae} \Vert ^2_2=\min_{\mathbf{e}} \mathbf{e}^{ T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{Ae}$
上式成立实际上是因为有下式成立
$\Vert \vec{y} \Vert ^2_2= \vec{y}^{T}\vec{y}$

二次型复习

上面推导过程涉及的不是二次型，只是类似二次型，因为二次型是
$\mathbf{x}^TE\mathbf{x}$
而上面的是
$\mathbf{x}^TE\mathbf{y}$ 。
这两种形式的结果都是一个 $1\times1$ 的矩阵。
在这里插入图片描述

So, two different matrices define the same quadratic form if and only if they have the same elements on the diagonal and the same values for the sums ${b+d}{c+g}$ and ${ f+h}$ In particular, the quadratic form ${ q_{A}}$ is defined by a unique symmetric matrix
在这里插入图片描述