【高中必修二】导数

极限

数列极限

数列极限定义

设 { x n } \{x_n\} {xn​} 为一个数列，若存在常数 $a$，对于给定的 $\epsilon >0$，都存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{+}$，使 $n>N$ 时，

$$|x_n-a|<\epsilon$$

总成立，那么就称 $a$ 为 { x n } \{x_n\} {xn​} 的极限，或 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$，记为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

若不存在 $a$，则代表 { x n } \{x_n\} {xn​} 没有极限，或 { x n } \{x_n\} {xn​} 发散，也称 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 不存在。

数列极限运算

我们设 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an​},{bn​} 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=B$，则有。

$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n\pm b_n)=A\pm B$
$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n{b}_n)=AB$
$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{a_n}{b_n})=\frac{A}{B}(B\ne 0,\forall b_i,bi\ne 0)$

常见数列极限

$\underset{n\to \infty }{\lim }c=c$（$c$ 为常数）
$\underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty$（$c$ 为常数）
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^a}=0$（$a$ 为常数，$a>0$）
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^n=0$（$a$ 为常数，$0<a<1$）
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^n=+\infty$（$a$ 为常数，$1<a$）

夹极限法则：若数列 { a n } { b n } { c n } \{a_n\}\{b_n\}\{c_n\} {an​}{bn​}{cn​}，满足 $\forall 0\le n,a_n<b_n<c_n$，且
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=t$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=t$。

结论

若 { x n } \{x_n\} {xn​} 为单调数列，且 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在。

若 { x n } \{x_n\} {xn​} 无界，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 必不存在。

若 { x n } \{x_n\} {xn​} 中，存在 { a n } \{a_n\} {an​} 和 { b n } \{b_n\} {bn​} 都为 { x n } \{x_n\} {xn​} 子序列，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 必不存在。

若数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛，则 { x n } \{x_n\} {xn​} 极限唯一。

若数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛，那么 { x n } \{x_n\} {xn​} 有界。

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 且 $a>0$，则存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{+}$，当 $n>N$ 时，有 $x_n>0$。

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 且 $a<0$，则存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{+}$，当 $n>N$ 时，有 $x_n<0$。

若一数列收敛于 $a$，则其任意子序列收敛于 $a$。

函数极限

函数极限定义

若存在 $r>0$ 使得 D = { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < r , x ≠ x 0 } D=\{x|0<|x-x_0|<r,x\not=x_0\} D={x∣0<∣x−x0​∣<r,x=x0​} 包含于 $f(x)$ 定义域，则说 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，称去心邻域内有定义。

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处某去心邻域内有定义。若存在常数 $A$，对于任意 $\epsilon >0$，总存在 $\delta >0$，使得

$$\forall 0<|x-x_0|<\delta ,|f(x)-A|<\delta$$

那么常数 $A$ 就叫函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限与 $f(x_0)$ 无关，例如：$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2(x\ne 1)\\ -1024(x=1)\end{array}$ 此时，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=x^2=1$，而不是 $\underset{x\to x_0}{\lim }=f(x_0)=-1024$.

当 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，当且仅当 $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f(x)$（$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim },\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }$分别为左极限右极限，代表从左或右逼近 $x_0$ 所得的极限）

若 $f(x)$ 在 $|x|$ 大于一正数时有意义，若存在常数 $A$，对于给定 $\epsilon >0$，总存在 $X>0$，使得

$$\forall |x|>X,|f(x)-A|<\epsilon$$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 的极限，记为 $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

函数极限运算

无穷小的和是无穷小。（无穷小指大于 $0$ 的最小实数）

有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

设 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，则

$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
$\lim [f(x)g(x)]=\lim f(x)\lim g(x)=A\cdot B$
$\lim [\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(g(x)\ne 0,B\ne 0)$

若 $\phi (x)\le \psi (x)$，且 $\lim \phi (x)=A,\lim \psi (x)=B$，则 $A\le B$

常见函数极限

$\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$（$c$ 为常数）
$\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^a=x_0^a$（$a$ 为常数，$x_0$ 属于幂函数 $y=x^a$ 的定义域）
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

函数极限定理

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，那么这个极限唯一。
若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$
若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在， { x n } \{x_n\} {xn​} 为函数 $f(x)$ 的定义域内一收敛于 $x_0$ 的序列，满足 $x_n\ne x_0(n\in {\mathbb{N}}_{+})$，则相应函数值序列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn​)} 必收敛，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$。

导数

导数定义

平均变化率：$x_0,x_1$ 为函数 $y=f(x)$ 定义域内两点，$\Delta x=x_0-x_1,\Delta y=f(x_0)-f(x_1)$。则函数 $y=f(x)$ 在区间 $[x_0,x_1]$ 上的平均变化率为：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}$$

瞬时变化率：函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，当自变量 $x=x_0$ 附近改变量为 $\Delta x$ 时，$f(x_0)$ 改变量为 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果 $\delta x$ 趋近于 $0$ 时，平均变化率趋近趋近于一个数 $l$，那么 $x=x_0$ 处瞬时变化率为 $l$，写作 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=l$。

函数在 $x_0$ 处瞬时变化率通常称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处导数，记做 $f^{\prime }(x_0)$，有：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

导函数：若函数 $y=f(x)$ 的导函数为 $g(x)$，则 $\forall x,g(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。一般来说，$f(x)$ 导函数为 $f^{\prime }(x)$。

连续：对于函数 $f(x)$，若在 $x$ 处 $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f(x)$，则 $f(x)$ 在 $x$ 处是连续的。

可导：对于函数 $f(x)$，若在 $x$ 处 $f_{+}^{\prime }(x)=f_{-}^{\prime }(x)$，则 $f(x)$ 在 $x$ 处是可导的。

常见函数的导数

$f(x)=c,f^{\prime }(x)=0$
$f(x)=x^a,f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$
$f(x)=a^x,f^{\prime }(x)=a^x\ln a$（$f(x)=e^x,f^{\prime }(x)=e^x$）
$f(x)={\log }_{a}x,f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$（$f(x)=\ln x,f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$）
$f(x)=\sin x,f^{\prime }(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x,f^{\prime }(x)=-\sin x$

导数的运算

$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
$(Cf(x){)}^{\prime }=C{f}^{\prime }(x)$
$(\frac{f(x)}{g(x)}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}(g(x)\ne 0)$

复合函数求导

若对于所有 $x$，$f(g(x))$ 和 $g(x)$ 皆可导，则 $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$。

导数的几何意义

$f(x)$ 在 $x_0$ 处导数的几何意义为其在 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。

所以，曲线 $f(x)$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 处切线方程可以如下计算：

1. 求导，求出 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处导数 $f(x_0)$。
2. 已知切点坐标和斜率，求出切线方程。

若 $(x_0,f(x_0))$ 处切线平行于 $y$ 轴，则方程为 $x=x_0$。

曲线的切线不一定与曲线只有一个交点
在点 $P$ 的切线和过点 $P$ 的切线是不同的概念。

二阶导数

定义

一阶导数的导数被称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，对一个函数求导 $n$ 次的函数称为N阶导数。

一阶导数写作 $f^{\prime }(x)$，二阶写作 $f^{\prime \prime }(x)$，导数的阶数可以通过 ${}^{\prime }$ 的个数表示，$n$ 阶导数也可以写作 $f^{(n)}(x)$。

在高中仅考察二阶导数，二阶导数的几何意义为切线斜率的变化率。

凹函数与凸函数

凹函数：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且对于 $x_1<x_2\in I$，有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。若图像为凹函数，则区间 $I$ 上二阶导数大于 $0$。

凸函数：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且对于 $x_1<x_2\in I$，有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。若图像为凸函数，则区间 $I$ 上二阶导数小于 $0$。

隐函数求导

隐函数定义

方程 $F(x,y)=0$ 确定的 $x,y$ 中，若 $y$ 是 $x$ 的函数，则称 $y$ 为 $x$ 的隐函数。
有时可以从 $F(x,y)=0$ 解出 $y=f(x)$，但有时不可以，如：$y-\sin y+x=0$。

隐函数求导

若要对 $F(x,y)$ 求导，则将 $y$ 当做一个函数来求导，例如

$$2x\sin y+x^3=0$$

求导后则为：

$$2\sin y+2x\sin y\cdot y^{\prime }+3x^2=0$$

这时，若要计算点 $(x,y)$ 处导数，就直接将 $x,y$ 带入即可求出 $y^{\prime }$。

洛必达法则

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 类型的，则可以用洛必达法则。

洛必达法则：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

$0\cdot \infty ,1^{\infty },0^{\infty },\infty -\infty$，等都可以转化成 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$。

导数应用

函数单调性

若 $f(x)$ 在一段区间 $I$ 内，有 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上递增。
若 $f(x)$ 在一段区间 $I$ 内，有 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上递减。

函数极值

定义

若在 $x_0$ 附近都有 $f(x)<f(x_0)$，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极大值点，$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极大值。
若在 $x_0$ 附近都有 $f(x)>f(x_0)$，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极小值点，$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极小值。

求极值

若 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处从正数变成负数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极大值。
若 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处从负数变成正数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极小值。

最值

若要求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 区间内最值，则先求出 $f(x)$ 所有极值，然后用 $f(x)$ 的极值与 $f(a),f(b)$，指比较。取最值即可。