【算法学习笔记】27.动态规划 解题报告 SJTU OJ 1254 传手绢

2023-11-01 08:40

本文主要是介绍【算法学习笔记】27.动态规划 解题报告 SJTU OJ 1254 传手绢,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

Description

活动的时候,老师经常带着同学们一起做游戏。这次,老师带着同学们一起传手绢。

游戏规则是这样的:n个同学站成一个圆圈,其中的一个同学手里拿着手绢,当老师吹哨子时开始传,每个同学可以把手绢传给自己左右的两个同学中的一个(左右任意),当老师在此吹哨子时,游戏停止,此时,拿着手绢的那个同学要给大家表演一个节目。

abc提出一个有趣的问题:有多少种不同的传手绢方法可以使得从abc手里开始传的手绢,传了m次以后,又回到abc手里。两种传手绢方法被视作不同的方法,当且仅当这两种方法中,接到球的同学按接手绢顺序组成的序列是不同的。比如有三个同学1号、2号、3号,并假设abc为1号,手绢传了3次回到abc手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1,共2种。

Input Format

共一行,有两个用空格隔开的整数n,m(3<=n<=30,1<=m<=30)。

Output Foramt

共一行,有一个整数,表示符合题意的方法数。

Sample Input

3 3 

Sample Output

2

Hint

40%的数据满足:3<=n<=30,1<=m<=20 100%的数据满足:3<=n<=30,1<=m<=30

 

此问题很容易让人联想到邻接矩阵乘法含义。wiki了一下,这类问题叫做”传球问题“  

证明在这里  矩阵乘法确实好理解 但是实际应用还是稍微复杂,

这里先用一个递归方案来把这个问题进行解析。

注意到一个人传球,只能传左一位和右一位,根据这个突破点就可以写成递归函数。

/*分治法
返回 一共n个人 还剩m次传球机会 最终传到第k个人手里的路线数
k是当前拿球的人的编号 1号是最开始拿球的人
*/
int passGame(int k,int n, int m){if(m==0)//若还剩0次传球机会 整好到了原处 那就返回1 表示原来的路线是对的 否则是0return (k==1) ? 1 : 0;m--;//开始传球了 所以要减少一次传球机会//向+1传的话int ans1 = passGame((k==n ? 1 : k+1 ),n,m);//向-1传的话int ans2 = passGame((k==1 ? n : k-1 ),n,m);return ans1+ans2;}    
分治法

然后调用passGame(1,n,m)即可

会超时,这种分治法的解决方案是从顶至底的。它会有很多重复的计算,所以我们就会想到和分治法路线相反的动态规划。

动态规划的一个核心思想就是将重复子问题提前计算,从而减少计算量。这也就意味着它必须从底向上计算。

在这个背景下,我们可能直觉想到的是设置一个dp[n][m] 其中d[n][m]表示n个人 传m次 回到原点的方案数,

然后想办法建立起 d[n][m]和d[n][m-1]的关系 或者和 d[n-1][m]的关系 或者和d[n-1][m-1]的关系,从而实现把这个问题分成若干个子问题来进行DP。

但是发现找到他们之间的关系,非常困难。

我们试着换一个思路,由分治法的思维,我们知道了一个事情就是 还剩s次传球机会时,球传到第k个人手里的路线数 = 还剩s-1次传球机会时,球传到第k+1个人手里的路线数 + 还剩s-1次传球机会,球传到第k-1个人手里的路线数

PS s-1的原因是最后还要耗费一次传球机会来把球传到k手里 k+1 k-1 只是简单的表示k的左右

那么我们就可以考虑构造一个dp[][]来存储还剩m次机会 传到第k个人手里的路线数目 这个dp方案就是把分治法给颠倒了而已 思路是完全一模一样的

 

//动态规划算法
int dp[35][35]={0};/*dp[i][j]表示 传i次球 传到第j个人的路线的个数
起始点和终止点都是为1号人
*/
int dp_game(int n,int m){dp[0][1]=1;//传0次 传到1号人手中 路线只有一个//开始找状态转移方程 /*其实想法很简单 就是想d[i][j]是从哪些状态过来的 d[i][j]应该是d[i-1][j-1]和d[i-1][j+1]来的 因为j只能收到j-1和j+1的球而每次传球恰好i+1传0次球 只有1号人才能接到球 其他人都是0 不用算*/for (int i = 1; i <= m; ++i){for (int j=1; j <= n; ++j){dp[i][j] = dp[i-1][j==1 ? n: j-1 ] + dp[i-1][j==n? 1:j+1];}}return dp[m][1];
}
动态规划

 

转载于:https://www.cnblogs.com/yuchenlin/p/sjtu_oj_1254.html

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