第二单元用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分

本文主要是介绍第二单元用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-无穷小量和不定积分-网易公开课

开发环境准备：CSDN

一、无穷小量

二、不定积分

1、 ,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

2、

3、

4、

5、

6、

三、例子

1、

2、

3、

4、

5、

6、

一、无穷小量

有函数y = f(x)

y的微分写作： $dy = f'(x)dx ( \frac{dy}{dx} = f'(x)$ 莱布尼茨的写法，把导数记作为两个无穷小量的比，按老师的说法这种比值的写法更流行，更接近直觉，更易于理解和使用）

dx 取代了 $\Delta x$

dy 取代了 $\Delta y$

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

例子：

$(64.1)^{\frac{1}{3}}\approx ?$

$y = x^{\frac{1}{3}}, dy = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx$

$A+x = 64, y = 64^{\frac{1}{3}} = 4$

$dy = \frac{1}{3} (64)^{-\frac{2}{3}}dx = \frac{1}{3} \frac{1}{16}dx = \frac{1}{48} dx$

$x = 64, x+dx = 64.1\Rightarrow dx = \frac{1}{10}$

$(64.1)^{\frac{1}{3}}\approx y + dy\approx4 + \frac{1}{48}dx = 4 + \frac{1}{48*10}$ (值得注意的是这里的dy实际是 \Delta y ,而并不是无穷小量）

感觉这里老师是用另一种方式阐释了线性近似，因为dy/dx其实取得是x=64时的斜率，而后面dx用的其实是 $\Delta x ( 64.1-64)$

用线性近似 $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ 公式算一遍

$(64.1)^{\frac{1}{3}}\approx f(64) + f'(64)(x-64) = 4 + \frac{1}{3} (64)^{-\frac{2}{3}}(\frac{1}{10}) = 4 + \frac{1}{480}$

二、不定积分

$G(x) = \int_{}{}g(x)dx$ , G(x) 称做g的反导数或g的不定积分

1、 $\int sinx\times dx$ ,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y

$\int sin(x) dx = -cos(x)$

G(x) = -cos(x)

G'(x) = sin(x)

这里也可以写成 $\int sin(x) dx = -cos(x) +c$ (c是常数)

G(x) = -cos(x) + c

所以叫做不定积分

2、 $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + c......(a\ne-1)$

因为... $d(x^{a+1}) = (a+1) x^adx$

3、 $\int \frac{dx}{x} = ln(\left| x \right|) + c......(x\ne-0)$

当x>0时，结果正确

当x<0时， $ln(\left| x \right|) + c = ln(-x)+c$

$( ln(-x)+c)' = \frac{1}{-x} (-x)' = \frac{1}{x}$

from sympy import *
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 ) def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):yarr = []xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) for xval in xarr:yval = expr.subs(x,xval)yarr.append(yval)y_nparr = np.array(yarr) plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):diffExpr = diff(exprY)x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))eq1 = Eq(eq,0)solveY = solve(eq1)return xVal,solveYdef DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)def Newton(expr, x0):ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)return retx = symbols('x')
y = ln(x)
DrawXY(0.1,4,100,y,'blue','y = ln(x) x>0',plt)
y = ln(0-x)
DrawXY(-0.1,-4,100,y,'blue','y = ln(-x) x<0',plt)plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

添加图片注释，不超过 140 字（可选）

4、 $\int sec^2(x) dx = tan(x) + c$

5、 $\int \frac{dx}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}} = sin^{-1}(x) +c$

6、 $\int \frac{dx}{1+x^2} = tan^{-1}(x) + c$

积分的唯一性要看它的常数

当 $F' = G', F(x) = G(x) + c$

证明：如果 F' = G'

(F-G)' = F' - G' = 0

所以 F(x) -G(x) = c => F(x) = G(x) + c

三、例子

1、 $\int x^3(x^4+2)^5dx = \frac{1}{24}(x^4+2)^6 +c$

这里做积分有一个技巧，换元法：

$u = x^4 + 2, du = 4x^3dx$

把这个带入上面的积分式子

$\int (x^4 + 2)^5 x^3dx = \int(u^5)\frac{du}{4} = \frac{1}{6}u^6\frac{du}{4} +c= \frac{1}{24}(x^4 +2)^6 +c$

2、 $\int \frac{xdx}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}} =$

$u = 1+x^2, du = 2x$

$\int \frac{du}{2}(u)^{\frac{-1}{2}} = 2u^{\frac{1}{2}} \frac{du}{2} +c= (1+x^2)^{\frac{1}{2}} +c$

推荐的方法——提前猜测：

假设你一眼看出这个会最终导向 $(1+x^2)^{\frac{1}{2}}$ 就试一试

$((1+x^2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x) = x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$

所以 $\int \frac{xdx}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}} = (1+x^2)^{\frac{1}{2}} +c$

3、 $\int e^{6x}dx$

猜测法 $(e^{6x})' = 6 e^{6x}$

$\int e^{6x}dx = \frac{1}{6} e^{6x} +c$

4、 $\int xe^{x^2}dx$

猜测法 $(e^{-x^2} )' = (e^{-2x})' = -2xe^{-x^2}$

$\int xe^{x^2}dx = -\frac{-1}{2}e^{-x^2} +c$

5、 $\int sin(x)cos(x)dx$

换元法：u = sin(x) du= cos(x)

$\int sin(x)cos(x)dx = \int udu = \frac{1}{2}u^2 +c= \frac{1}{2}sin^2(x)+c$

猜测法 $(sin^2(x))' = 2sin(x)cos(x)$

$\int sin(x)cos(x)dx = \frac{1}{2}sin^2(x) +c_1$

另 $(cos^2(x))' = -2sin(x)cos(x)$

$\int sin(x)cos(x)dx = \frac{-1}{2}cos^2(x) +c_2$

$\frac{1}{2}sin^2(x) +c1 = \frac{-1}{2}cos^2(x) +c2$

$c1 -c2 = \frac{-1}{2}cos^2(x) - \frac{1}{2}sin^2(x) = \frac{-1}{2}(cos^2(x) + sin^2(x)) = -\frac{1}{2}$

6、 $\int \frac{dx}{xln(x)}$

$u = ln(x) , du = \frac{1}{u}$

$\int \frac{dx}{xln(x)} = \int \frac{1}{ln(x)} \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{u} =ln\left| u \right| +c = ln\left| ln(x) \right| +c$

from sympy import *
import numpy as np 
x = symbols('x')
y = integrate(1/(x*ln(x)))
y

这篇关于第二单元用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

第二单元用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分

一、无穷小量

二、不定积分

1、 $\int sinx\times dx$ ,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

2、 $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + c......(a\ne-1)$

3、 $\int \frac{dx}{x} = ln(\left| x \right|) + c......(x\ne-0)$

4、 $\int sec^2(x) dx = tan(x) + c$

5、 $\int \frac{dx}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}} = sin^{-1}(x) +c$

6、 $\int \frac{dx}{1+x^2} = tan^{-1}(x) + c$

三、例子

1、 $\int x^3(x^4+2)^5dx = \frac{1}{24}(x^4+2)^6 +c$

2、 $\int \frac{xdx}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}} =$

3、 $\int e^{6x}dx$

4、 $\int xe^{x^2}dx$

5、 $\int sin(x)cos(x)dx$

6、 $\int \frac{dx}{xln(x)}$

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第二单元 用python学习微积分（十四）无穷小量和不定积分

一、无穷小量

二、不定积分

1、 ,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

2、

3、

4、

5、

6、

三、例子

1、

2、

3、

4、

5、

6、

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1、 $\int sinx\times dx$ ,这个式子的含义是求谁的导数是sinx

2、 $\int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + c......(a\ne-1)$

3、 $\int \frac{dx}{x} = ln(\left| x \right|) + c......(x\ne-0)$

4、 $\int sec^2(x) dx = tan(x) + c$

5、 $\int \frac{dx}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}} = sin^{-1}(x) +c$

6、 $\int \frac{dx}{1+x^2} = tan^{-1}(x) + c$

1、 $\int x^3(x^4+2)^5dx = \frac{1}{24}(x^4+2)^6 +c$

2、 $\int \frac{xdx}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}} =$

3、 $\int e^{6x}dx$

4、 $\int xe^{x^2}dx$

5、 $\int sin(x)cos(x)dx$

6、 $\int \frac{dx}{xln(x)}$