论文阅读——《A new combination method based on Pearson coefficient and information entropy for multi-sens》

前言

• 本文主要针对论文中提出的一个基于Dempster-Shafer证据理论（DS证据理论）对多个证据融合的新方法，给出了相应的计算代码，以便大家对该算法有一个更直观的认知和看法。因此，这里对DS理论的一些基本概念不做过多的介绍，在阅读本文之前，如果对DS理论不太熟悉，大家可以先去下面这几篇内容做一个详细的了解，再来阅读本文会更好。😀
• 一文读懂DS证据理论用法(详细公式步骤版)
• Dempster–Shafer theory（D-S证据理论）初探
• 浙大教授课件 第五章D-S证据理论

❗论文名称：A new combination method based on Pearson coefficient and information entropy for multi-sens（一种基于Pearson系数和信息熵的多传感器数据融合的新组合方法）

👀论文信息：由北京交通大学张阳等人2023年6月发表在《Information and Software Technology》期刊上

🎆论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0950584923001027

📌论文主要贡献:

• 面对一些非常矛盾的证据时，DS理论可能会表现出一些不足。该文介绍了一种基于Pearson相关系数和信息熵的冲突证据增强融合技术，通过事先处理证据体来解决矛盾信息。最终通过例子说明提出的技术可以处理高度冲突的证据，从而产生更精确的融合结果，有助于做出合理的决策。

一、DS证据理论合成规则计算

• 网上可以找到很多计算的例子，但是绝大多数只涉及到两个证据的融合，几乎没有涉及到更多的证据。尽管计算时也只需要两两计算即可，但是这里给出计算多个证据融合的具体过程以及相应的Python实现代码，方便自己有一个更清晰的理解。
• 以论文中所给的例子为例：
  假设在不同地点部署了五种不同类型的探测器，以监督一个共同目标，则有三种可能的监视目标，它们构成识别框架Ω = {A, B, C}。传感器的指示由五个证据m1, m2, m3, m4, m5表示，具体如下：
  
• 融合结果计算过程：
  首先还得了解一下DS理论的合成规则：
  

阅读以上的几篇内容可以发现，计算时习惯把证据作为行，事件作为列。因此，为方便计算，这里也写成同样的形式，其实就是将上面矩阵做一个转置：
暂且把上面这些数据组成的矩阵称之为证据-事件矩阵。
根据上面的融合规则，首先计算$m_1$和$m_2$的融合结果：
$First：computeK；K表示的是事件交集不为空的两个mass函数的乘积的和$
$$\begin{array}{r}K=m_1(A)\ast m_2(A)+m_1(B)\ast m_2(B)+m_1(C)\ast m_2(C)+m_1(A,C)\ast m_2(A,C)\\ +m_1(A)\ast m_2(A,C)+m_1(C)\ast m_2(A,C)\\ +m_2(A)\ast m_1(A,C)+m_2(C)\ast m_1(A,C)\\ =0.41\ast 0+0.29\ast 0.9+0.3\ast 0.1+0\ast 0+0.41\ast 0+0.3\ast 0+0\ast 0+0.1\ast 0\end{array}$$
$Second：computemass函数$
$$\begin{array}{r}{m}_{12}(A)=\frac{1}{K}\ast [m_1(A)\ast m_2(A)+m_1(A)\ast m_2(A,C)+m_2(A)\ast m_1(A,C)]\\ =\frac{1}{K}\ast [0.41\ast 0+0.41\ast 0+0\ast 0]\end{array}$$
$m_{12}(B)、m_{12}(C)、m_{12}(A,C)计算同理，然后两两计算，得到最终的融合结果。$

• 下面直接看代码实现过程：

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=8)
def DS_cal(mat:np.ndarray): # 输入mat是  证据-事件矩阵# 计算两两证据融合的结果，直到全部融合# 思路：计算m1和m2的融合结果m12，把m12的值赋值给m2，然后计算m2和m3，得到的值赋给m3，...，依次直至计算到最后一列i = 0while i<mat.shape[1]-1:K = np.round(sum(mat[:,i]*mat[:,i+1]) + (mat[:,i][0]+mat[:,i][2]) * mat[:,i+1][3] + (mat[:,i+1][0]+mat[:,i+1][2]) * mat[:,i][3],8)mat[:,i+1][0] = mat[:,i][0] * mat[:,i+1][0] + mat[:,i][0] * mat[:,i+1][3] + mat[:,i][3] * mat[:,i+1][0]mat[:,i+1][1] = mat[:,i][1] * mat[:,i+1][1]mat[:,i+1][2] = mat[:,i][2] * mat[:,i+1][2] + mat[:,i][2] * mat[:,i+1][3] + mat[:,i][3] * mat[:,i+1][2]mat[:,i+1][3] = mat[:,i][3] * mat[:,i+1][3]mat[:,i+1] = mat[:,i+1] / K# print(mat[:,i+1])i+=1return mat[:,-1]mat = np.array([[0.41,0.29,0.3,0], [0,0.9,0.1,0], [0.58,0.07,0,0.35],[0.55,0.1,0,0.35],[0.6,0.1,0,0.3]],dtype=np.float64)
mat = mat.T
print(np.round(DS_cal(mat),4))>>>[0.     0.1422 0.8578 0.    ]

对比论文中结果，计算无误。

二、论文提出的方法的计算过程

• 该方法的计算流程：
  
• 具体计算过程：

1、构造相关矩阵，并对其进行修正。

• 计算两两证据之间的相关系数 $r_{ij}$，得到构成证据体的相关性矩阵$S$：
  
  
• 修正的相关系数 ${\tilde{r}}_{ij}$ 和修正的相关矩阵 $\tilde{S}$ 为：
  
  
• 代码：

import numpy as np  
mat = np.array([[0.41,0.29,0.3,0], [0,0.9,0.1,0], [0.58,0.07,0,0.35],[0.55,0.1,0,0.35],[0.6,0.1,0,0.3]])
S = np.zeros((mat.shape[0],mat.shape[0]))
D = np.zeros((mat.shape[0],mat.shape[0]))
def r_(x):return  1/ (1+np.exp(-5*x))     
for i in range(S.shape[0]):for j in range(S.shape[1]):value = round(r_(np.corrcoef(mat[i],mat[j])[0][1]) ,4) # 填充的值S[i, j] = valueS[j, i] = value
print(S)

• 结果：
  

2、计算两个BBA之间的证据距离，并构造evidence distance matrix D（证据距离矩阵）。

• 两个证据之间的 $Jousselme$ 距离为：
  
  注意：上面式子中的D不同于要构造的证据距离矩阵D。
  这里的D中的元素计算公式为：
  
  其中， $\left|\begin{array}{c}.\end{array}\right|$表示集合中元素的个数。
  因此，这里的 $D$为：
  
  计算如下：
• 代码如下：

def d_(a,b,Distance):return np.sqrt(0.5 * (a-b) @ Distance @ (a-b).T)for i in range(D.shape[0]):for j in range(D.shape[1]):value = round(d_(mat[i],mat[j],Distance=np.array([[1,0,0,0.5],[0,1,0,0],[0,0,1,0.5],[0.5,0,0.5,1]])),4) # 填充的值# print(value)D[i, j] = valueD[j, i] = value

• 结果
  

3、计算证据 $m_i$和其他证据之间的距离

• 计算公式为：
  
• 代码：

# 考虑到D的主对角元素全部为0，因此直接按列元素求和即可
distance_m = np.sum(D,axis=1)
print(distance_m)>>>array([1.5449, 2.9284, 1.2311, 1.1761, 1.1945])

论文中给出的结果中 $d_5$的数值为1.1944，应该是写错了。如果个人理解有误。欢迎指正。🍳

4、计算证据 $m_i$ 的可信度水平 $Crd$，并作归一化 $\widetilde{Crd}$

• 计算公式：
  
  
• 代码：

## 计算crd
Crd = list(range(S.shape[0]))
Crd_ = []
bbb = 0
for i in range(S.shape[0]):bbb += np.sqrt(np.sum(np.power(S[i] , 2)) - S[i][i]**2) 
for i in range(S.shape[0]):aaa = np.sqrt(np.sum(np.power(S[i] , 2)) - S[i][i]**2)Crd[i] = aaa / bbb / distance_m[i]
for i in range(len(Crd)):Crd_.append(round(Crd[i] / sum(Crd),4))
print(Crd_)

• 结果：
  

5、计算证据 $m_i$ 的信息熵 $Q$

• 计算公式：

当 $|A|=1$时，可写成：

• 代码：

## 计算Q
Q = []
count_elements = [1,1,1,2]   #包含在子集A中的元素的个数 
for i in range(S.shape[0]):qqq = 0index = 0for j in mat[i]:if j == 0:logj = 0else:logj = np.log2(j * np.exp((count_elements[index] - 1)/ 3) / (2**count_elements[index] - 1))qqq += j * logjindex+=1Q.append(round(-qqq, 4))
print(Q)

• 结果：
  

6、计算证据 $m_i$ 的信息量 $IV$,并做归一化 $\widetilde{IV}$

• 计算公式：
  
  
• 代码：

IV_ = []
IV = np.exp(Q)
for i in IV:IV_.append(round(i/sum(IV),4))
print(IV_)

• 结果：
  

7、计算证据 $m_i$ 的权重因子 $W$,并做归一化 $\tilde{W}$

• 计算公式：
  
  
• 代码：

## 计算W_
W = []
W_ = []
for i in range(len(Crd_)):W.append(float(Crd_[i] * float(IV_[i])))
for i in W:W_.append(round(i/sum(W),4))
print(W_)

• 结果：
  

8、得到 weighted average evidence （加权平均证据）

• 计算公式：
  
• 代码：

## 计算WAE(m)
M = []
for i in range(mat.shape[1]):M.append(round((sum((mat[:,i]) * np.array(W_))),4))
print(M)

• 结果：
  
• 注意：这里论文中给出的值应该是有误的，如果按照论文中给出加权平均证据的值计算，是得不到最终的结果的。大家也可以尝试一下，如果有误，请指正。

9、替换成新的加权平均证据，按照前文的DS融合规则进行融合。

• 代码：

mat = np.array([[0.5401, 0.1356, 0.0499, 0.2744], [0.5401, 0.1356, 0.0499, 0.2744], [0.5401, 0.1356, 0.0499, 0.2744],[0.5401, 0.1356, 0.0499, 0.2744],[0.5401, 0.1356, 0.0499, 0.2744]],dtype=np.float64)
mat = mat.T
print(np.round(DS_cal(mat),4))

• 结果：
  与论文中给出的结果一致：
  

完整代码：写成函数的形式

import numpy as npdef r_(x):return  1/ (1+np.exp(-5*x)) def d_(a,b,Distance):return np.sqrt(0.5 * (a-b) @ Distance @ (a-b).T)def Weight_average_evidence(mat,Distance):S = np.zeros((mat.shape[0],mat.shape[0]))D = np.zeros((mat.shape[0],mat.shape[0]))for i in range(S.shape[0]):for j in range(S.shape[1]):value = round(r_(np.corrcoef(mat[i],mat[j])[0][1]) ,4) # 填充的值S[i, j] = valueS[j, i] = valuefor i in range(D.shape[0]):for j in range(D.shape[1]):value = round(d_(mat[i],mat[j],Distance=Distance),4) # 填充的值# print(value)D[i, j] = valueD[j, i] = valuedistance_m = np.sum(D,axis=1)## 计算crdCrd = list(range(S.shape[0]))Crd_ = []bbb = 0for i in range(S.shape[0]):bbb += np.sqrt(np.sum(np.power(S[i] , 2)) - S[i][i]**2) for i in range(S.shape[0]):aaa = np.sqrt(np.sum(np.power(S[i] , 2)) - S[i][i]**2)Crd[i] = aaa / bbb / distance_m[i]for i in range(len(Crd)):Crd_.append(round(Crd[i] / sum(Crd),4))## 计算QQ = []count_elements = [1,1,1,2]   #包含在子集A中的元素的个数 for i in range(S.shape[0]):qqq = 0index = 0for j in mat[i]:if j == 0:logj = 0else:logj = np.log2(j * np.exp((count_elements[index] - 1)/ 3) / (2**count_elements[index] - 1))qqq += j * logjindex+=1Q.append(round(-qqq, 4))## 计算IV_IV_ = []IV = np.exp(Q)for i in IV:IV_.append(round(i/sum(IV),4))## 计算W_W = []W_ = []for i in range(len(Crd_)):W.append(float(Crd_[i] * float(IV_[i])))for i in W:W_.append(round(i/sum(W),4))## 计算WAE(m)M = []for i in range(mat.shape[1]):M.append(round((sum((mat[:,i]) * np.array(W_))),4))return M
Weight_average_evidence(mat=np.array([[0.41,0.29,0.3,0], [0,0.9,0.1,0], [0.58,0.07,0,0.35],[0.55,0.1,0,0.35],[0.6,0.1,0,0.3]]),Distance=np.array([[1,0,0,0.5],[0,1,0,0],[0,0,1,0.5],[0.5,0,0.5,1]]))

总结

• 1.本文给出了一个基于DS理论融合规则计算多个证据融合结果的Python代码。
• 2.对论文《A new combination method based on Pearson coefficient and information entropy for multi-sens》中计算多传感器数据融合的方法和步骤作了比较详细的介绍。
• 觉得有帮助的话，给个赞吧🐱‍🏍🐱‍🏍🐱‍🏍