南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）贪心分治之贪心

2023-10-23 19:20
文章标签 算法 软件 贪心 复习 分治 2021 研究生 学院 课程 南开大学 学期 秋季

本文主要是介绍南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）贪心分治之贪心，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

贪心

二分查找

二分答案

二分不一定要在有序序列上进行，亦可是单调函数

砍木头

将n根长度不同木头砍成至少m段，要求砍完后每段木头的长度相等。问砍完后每段木头最长有多长？

  • 暴力搜索解优化问题？貌似没什么突破口
  • 优化转为判定问题？判断一个长度是否组成至少m段，很好判断，并且长度最小为1，最大为木头最大长度L_{\max}
  • 暴力枚举长度吗？不必，随着每段长度增加，段数减少，变成找满足条件的最大值，故二分每段长度，O(n \log L_{\max})

二分答案 

将一个复杂的优化问题转化成一个可行性判定问题，本质是枚举答案判定可行，不过可行性存在单调性，可二分

若价值函数不再是单调的，而是上凸函数，能否快速找到最大值？

三分搜索（爬山法）

求一维上凸函数f(x)在\left [ l,r \right ]的最大值

  • 取(l,r)区间的三等分点x_l和x_r
    • x_l=l+\frac{1}{3}(r-l)
    • x_r=r-\frac{1}{3}(r-l)
  • f(x_l)<f(x_r):l^{'}=x_l,r^{'}=r
  • f(x_l)>f(x_r):l^{'}=l,r^{'}=x_r

黄金分割比法（0.618搜索）

一维搜索（线搜索）

  • 黄金分割比法 无需求导，只需要函数值
  • 割线法 需要一阶导数，快速收敛
  • 牛顿法 需要二阶导数，更快收敛

最速下降法 沿梯度方向线搜索

贪心算法小结

  • 难点：不计算所有子问题解的情况下，判断最优解在哪个子问题
  • 特点：时间复杂度通常非常低，但正确性最难保障
  • 思维特点：
    • 子问题规模成倍缩小，且最优解可不算即知在哪个子问题
    • 优化问题向判定问题转换​​​​​​​是关键技巧

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