概率统计Python计算：单个正态总体均值单侧假设的T检验

正态总体的方差${\sigma }^2$未知的情况下，对总体均值$\mu \le {\mu }_0$（或$\mu \ge {\mu }_0$）进行显著水平$\alpha$下的假设检验，检验统计量$\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$~$t(n-1)$。其中$\overline{X}$和$S$分别为样本均值和样本标准差。用p值法的计算函数定义如下。

from scipy.stats import t	#导入t
def ttestR(T, df, alpha):	#右侧检验函数p=t.sf(T, df)return p>=alpha
def ttestL(T, df, alpha):	#左侧检验函数p=t.cdf(T, df)return p>=alpha

程序的第2~4行定义T方法右侧检验函数ttestR，第5~7行定义左侧检验函数ttestL。两个函数函数的参数T、df和alpha分别表示检测统计量观测值$\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$、$t$分布的自由度$n-1$和显著水平$\alpha$。对于右侧检验函数ttestR，第3行计算p值为$t(n-1)$分布的残存函数在统计量值T处的函数值。而对于左侧检验函数ttestL，第6行计算p值为$t(n-1)$分布的累积分布函数在统计量值T处的函数值。返回的布尔值p>=alpha为True，则接受假设$H_0:\mu \le {\mu }_0$（或$\mu \ge {\mu }_0$），否则拒绝$H_0$。
例1 某种元件的寿命$X$（以h计）服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$。$\mu$和${\sigma }^2$均未知。现测得16只元件的寿命如下：
$$159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170$$
问是否有理由认为元件的寿命大于225h?
解： 按题意需对假设
$$H_0:\mu \ge 225,H_1:\mu <225.$$
作左侧检验，下列代码完成本例计算。

import numpy as np                                  #导入numpy
x=np.array([159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, #样本数据222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170])
xmean=x.mean()                                      #样本均值
s=x.std(ddof=1)                                     #样本均方差
n=x.size                                            #样本容量
mu0=225                                             #总体均值假设值
alpha=0.05                                          #显著水平
T=(xmean-mu0)/(s/np.sqrt(n))						#检验统计量值
accept=ttestL(T, n-1, alpha)          				#计算左侧检验
print('mu>=%d is %s.'%(mu0, accept))

第2~8行根据题面设置已知数据，第9行计算检验统计量值$\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$为T，第10行调用ttestL函数完成左侧检验。运行程序，输出

mu>=225 is True.

表示接受假设$H_0:\mu \ge {\mu }_0=225$，即有理由认为元件的寿命大于225h。
例2 下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间（min）：
$$\begin{gathered} 9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,10.9,11.1,9.6,10.2, \\ 10.3,9.6,9.9,11.2,10.6,9.8,10.5,10.1,10.5,9.7 \end{gathered}$$
设装配时间的总体服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu$和${\sigma }^2$均未知。是否可以认为装配时间的均值$\mu$大于10（取$\alpha =0.05$）?
解： 按题意需对假设$H_0:\mu >10$作左侧检验。下列代码完成本例计算。

import numpy as np						#导入numpy
x=np.array([9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7,	#样本数据9.9, 10.9, 11.1, 9.6, 10.2,10.3, 9.6, 9.9, 11.2, 10.6,9.8, 10.5, 10.1, 10.5, 9.7])
xmean=x.mean()							#样本均值
s=x.std(ddof=1)							#样本均方差
n=x.size								#样本容量
mu0=10									#假设总体均值
alpha=0.05								#显著水平
T=(xmean-mu0)/(s/np.sqrt(n))			#检测统计量值
accept=ttestL(T, n-1, alpha)			#计算检验
print('mu>=%d is %s.'%(mu0, accept))

运行程序，输出

mu>=10 is True.

表示接受假设$H_0$，即装配时间的均值大于10。
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