一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答

2023-10-20 14:10

本文主要是介绍一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

原题

已知,如图, AB  是  O  的直径, CE CF  是  O  的两条切线, D  是  AE  和  BF  的交点。

求证:  ABCD

这里写图片描述

画出来动态调整图观察,结论没有问题。只是纯几何的证明太难。

这里写图片描述

证明

解析的方法是现成的,像是中学可以理解的。 只是过程很繁琐,所以,证明一下。

不失一般性(这个说法很酷),假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立平面直角坐标系,让直径  AB 在纵坐标轴上,从而,两个点的坐标:  A(0,1),B(0,1)

这里写图片描述

假设单位圆 O  上两个切点的坐标  E(cosθ1,sinθ1),F(cosθ2,sinθ2) , 则容易知道直线:

CE 的斜率  cotθ1 CF  的斜率  cotθ2 。 两直线方程可以由点斜式改写为更一般的形式,联立如下:

{ysinθ1=(xcosθ1)cotθ1ysinθ2=(xcosθ2)cotθ2(1)

联立可以求出  C  的纵坐标: 

yC=sin(12(θ1+θ2))sec(12(θ1θ2))

进一步,通过两点式表示方法并转化,可以得到另外两条直线, AE  和  BF  的方程的一般形式,注意到  A B  的坐标都很简单,方程也不复杂:

{y+1=xsecθ1(sinθ1+1)y1=xsecθ2(sinθ21)(2)

类似解出  D  点纵坐标,发现刚好等于  C  的纵坐标。

所以,  CD  跟所建立坐标系中的纵坐标轴垂直, 也就是跟  AB  垂直。解析方法,把几何里面的直线间垂直,转化成两个二元一次线性方程组之间有一个特定解(的解析形式)恒等。

求解和化简繁琐,关键是证明两者相等即可,线性方程组的解因此无须是最简形式。上面只能用于对答案了。

纯几何的证明如果能够利用射影几何的一些定理可行性会大大增加。有些超纲,但是在数学竞赛和自主招生考试中未尝不可。


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