初等数论中整除性规律证明

2023-10-19 17:30

本文主要是介绍初等数论中整除性规律证明,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

依稀记的学习初等数学整数性质的时候,只学到了能够被2,3,5整除的整数的特点,但是根据网上搜索到的资料,似乎这个规则可扩充到除了7之外的所有十以内的自然数,下面这些规则可以用于检验一个整数是否能够被另一个整数整除,以及帮助我们找到一些特殊的整数。

  1. 如果一个整数能够被2整除,那么这个整数的末位数字必须是0,2,4,6或者8。
  2. 如果一个整数能够被3整除,那么这个整数各个数位上的数字之和必须能够被3整除。
  3. 如果一个整数能够被4整除,那么这个整数的最后两位数字必须能够被4整除。
  4. 如果一个整数能够被5整除,那么这个整数的末位数字必须将是0或者5。
  5. 如果一个整数能够被6整除,那么这个整数必须同时满足将能够被2和3整除。
  6. 如果一个整数能够被8整除,那么这个整数的最后三位数字必须能够被8整除。
  7. 如果一个整数能够被125整除,那么这个整数的最后三位数字必须能够被125整除。
  8. 如果一个整数能够被9整除,那么这个整数各个数位上的数字之和必须能够被9整除。
  9. 如果一个整数能够被10整除,那么这个整数的末尾数字必须是0。
  10. 如果一个整数它的末两位数可以被25整除,则它能被25整除。

简单证明一下,需要用到四个引理,如下:

引理1:

假设有两个整数a和b,以及除数c,那么说:

(a\times b)\ mod\ c = [(a\ mod \ c)\ \times\ (b\ mod \ c) ]\ mod \ c

这句话的意思是,两个整数的积对一个数取模,等于这两个数字分别对这个数取模结果的积,再对这个数取模。

a=y\times c+ r

b=z\times c + s

其中y,z表示a,b分别除以c的商,r,s则是余数,将上面两个式子带入,则:

(a\times b)\ mod\ c =[(y\times c+ r)\times (z\times c+ s)]\ mod\ c=(r\times s)\ mod \ c

而:

[(a\ mod \ c)\ \times\ (b\ mod \ c) ]\ mod \ c = [r \times s]\ mod \ c=(r\times s)\ mod \ c

所以引理得证明。

引理2:

(a+b)\ mod \ c =(y\times c+ r + z\times c+ s)\ mod \ c =(r+s)\ mod \ c

a \ mod \ c =(y\times c+ r) \ mod \ c=r

b \ mod \ c =(z\times c+ s) \ mod \ c=s

[(a\ mod \ c)\ +\ (b\ mod \ c) ]\ mod \ c =[r+s]\ mod \ c= (r+s)\ mod \ c

所以:

(a+b)\ mod \ c =[(a\ mod \ c)\ +\ (b\ mod \ c) ]\ mod \ c

引理3:

(a\times b)\ mod \ c = [a\times (b\ mod \ c)]\ mod \ c

证明:

\\ (a\times b)\ mod \ c = [a\times (z\times c + s)] \ mod \ c=(a\times s)\ mod \ c=[(y\times c+ r) \times s]\ mod \ c=(s\times r)\ mod \ c

[a\times (b\ mod \ c)]\ mod \ c = (a\times s )\ mod\ c=(s\times r)\ mod \ c

引理4:

(a+b)\ mod\ c = [(a \ mod \ c )+ (b\ mod \ c)] \ mod \ c

证明:

[(a \ mod \ c )+ (b\ mod \ c)] \ mod \ c=(y\times c+ r+z\times c+ s)\ mod \ c = (r+s)\ mod \ c

[(a \ mod \ c )+ (b\ mod \ c)] \ mod \ c = [s +r]\ mod \ c


引理证明完毕,现在证明上面的9个整除性规则,假设任意一个n位的十进制数:

\boldsymbol{a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1a_0 = a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+a_{n-3}10^{n-3}+\cdots a_310^3+a_210^2+a_110^1+a_0 = \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}10^i}

被2整除的条件:

\\ \boldsymbol{\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}10^i\bigg)\ mod 2=\bigg(\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}10^i+a_0\bigg)\ mod 2 = \bigg(\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}10^i\bigg)\ mod 2+\bigg(a_0\bigg)\ mod 2 = 0 + \bigg(a_0\bigg)\ mod 2=a_0\ mod 2}

所以,判断一个数能否被2整除只需要判断个为即可,一个整数可以被2整除等价于个位可以被整除,而个位被整除的条件我们通过枚举很容易得到这个充要条件,也就是数字0,2,4,6,8。进而得到,任何整数被2整除的充分必要条件是个为的数字为0,2,4,6,8中的一个。

被3整除的条件:

\\ \boldsymbol{\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}10^i\bigg)\ mod 3=\bigg(\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}10^i+a_0\bigg)\ mod 3 =\bigg[a_0 + (9+1)a_1+(99+1)a_2+(999+1)a_3+\cdots +(9999\cdots 999 + 1)a_{n-1}\bigg]\ mod 3 }\\=\bigg[a_0 + a_1+a_3+\cdots + a_{n-1}\bigg] \ mod 3 = (a_0 + a_1+a_3+\cdots + a_{n-1})\ mod 3

所以,被3整除的充分必要条件是,各个数位的数字加和能够被3整除。

被9整除的条件:

\\ \boldsymbol{\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}10^i\bigg)\ mod 9=\bigg(\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}10^i+a_0\bigg)\ mod 9 =\bigg[a_0 + (9+1)a_1+(99+1)a_2+(999+1)a_3+\cdots +(9999\cdots 999 + 1)a_{n-1}\bigg]\ mod 9 }\\=\bigg[a_0 + a_1+a_3+\cdots + a_{n-1}\bigg] \ mod 9= (a_0 + a_1+a_3+\cdots + a_{n-1})\ mod 9

所以,和被3整除的情况类似,被9整除的充分必要条件是,各个数位的数字加和能够被9整除。

根据同样的思路,被4,5,6,8整除的条件显而易见,不再证明。

被7整除的条件

文章开头列出的整除规律唯独没有7,因为7的整除规律描述起来比较复杂,如下:

设正整数

a=a_n1000^n +a_{n-1}1000^{n-1}+\cdots + a_11000+a_0, \ \ 0\leq a_i< 1000

则7,11,13整除a的充要条件是7,11,13整除:

(a_0+a_2+a_4+\cdots)-(a_1+a_3+a_5+\cdots)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^ia_i

比如123456789是否能整除7,只需要计算789+123-456=456, 456 mod 7 = 1.所以123456789一定不被7整除.

证明过程其实很简单:

1000\equiv(-1)mod\ 7 \\ 1000^i\equiv(-1)^imod\ 7 \\ a_i1000^i\equiv a_i(-1)^imod\ 7

\sum_{i=0}^{n}a_i1000^i\equiv \sum_{i=0}^{n}a_i(-1)^i \ mod \ 7

得证。

生活中有很多同余运算应用的例子,比如教师中的列号和座位号对列数同余:

Linux系统中虚拟地址和物理地址对页面大小同余:

同余

a \equiv a \ (mod \ c) \\ b \equiv b \ (mod \ c) \\ a+b\equiv [a \ mod \ c +b \ mod \ c]\ (mod \ c) \\ (a+b)\ mod \ c = (a \ mod \ c +b \ mod \ c) \ mod \ c

2:证明

n=8888^{2222}+7777^{3333}

是37的倍数:

要证明n是37的倍数,就是要证明:

n\equiv 0(mod \ 37)

8888=37x240+8

7777=37x210+7

所以:

n=8888^{2222}+7777^{3333}\equiv 8^{2222}+7^{3333}=64^{1111}+343^{1111}\equiv 0(mod \ 37)

8^2=64=1*37+27.

7^3=343=37*9+10

所以:

8^2\equiv 27( mod \ 37) \equiv -10( mod \ 37)\\ 7^3\equiv 10( mod \ 37) \\

所以:

\mathbf{64^{1111}+343^{1111}\equiv(-10)^{1111}+10^{1111} = -(10)^{1111}+10^{1111}\equiv 0(mod\ 37)}

整除性得到证明。

参考文章

3.1-同余的概念与基本性质-8-检出因数的方法-(引理2-例3-例4)-(初等数论-闵嗣鹤-第四版)_哔哩哔哩_bilibili


结束

这篇关于初等数论中整除性规律证明的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/241274

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