DirectX投影变换矩阵的原理与推导，齐次裁剪空间的应用举例

DirectX Geometry Pipeline的投影变换不是D3DXMatrixShadow或者几何书上的投影变换。
几何书上的投影变换是这样的：

分别是平行投影和透视投影，把空间中的三维物体变成二维平面上的图形。
而DirectX Geometry Pipeline的投影变换是这样的：

上图分别是 Perspective Camera 和 Orthographic Camera 的视景体1（图中的坐标架代表摄像机坐标系），不同的视景体决定了不同的投影类型，常见的是透视投影和正投影。DirectX Geometry Pipeline的投影变换是把视景体都变成DirectX规定的长方体 H（齐次裁剪空间, Normalized Device Coordinates）：

w>0：2
齐次坐标

$$\qquad P=(x,y,z,w) \in H \quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{ccc} x/w \in [-1,1]\\ y/w \in [-1,1]\\ z/w \in [\phantom{+}0,1]\end{array}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{array}{rrr} x \in [-w,w]\\ y \in [-w,w]\\ z \in [\phantom{+}0,w]\end{array}$$

前者是三维到二维的变换，后者是三维到三维的变换；
后者去掉深度信息（z坐标）就相当于前者；
前者补上深度信息可以得到后者。

Perspective Camera

现在来求 把Perspective Camera的视景体变成DirectX规定的长方体的透视矩阵，
思路是先计算三维到二维的透视投影，再加上深度向量。

E是透视投影线的汇聚点，P’ 位于投影平面上，该平面过点Q，法向是N（单位法向量）朝右，
由质点几何易知P’的齐次坐标为$\left( (P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P, \quad (P-E)N^\top \right)$。
深度向量 $d=\left((P-Q)N^\top N,\quad 0\right)$.

要还原P’的深度信息，只需 把P’的位置坐标加上深度向量d 即可

$$\left( \frac{(P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P}{(P-E)N^\top }, \quad 1\right)+\left((P-Q)N^\top N, \quad 0\right)=$$

$$\left( \frac{(P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P}{(P-E)N^\top }+(P-Q)N^\top N, \qquad 1\right)\sim$$

$$\left( (P-Q)N^\top E+(Q-E)N^\top P+(P-E)N^\top(P-Q)N^\top N, \qquad {(P-E)N^\top}\right)$$

但是因为含有$(P-E)N^\top(P-Q)N^\top N$，无法写成对 (P,1)的线性变换。这样我们不得不放弃使用真正的深度值了。

深度缓冲区是用来进行深度测试，处理物体的遮挡的。只要能保持相对深度关系，即使不是真正的深度值也没有关系。
如果我们把P’的齐次坐标和深度向量 d 直接相加：