高维概率论：各向同性 isotropic random vectors

Isotropic是高维随机向量中非常重要且基础的一个性质，中文翻译叫各向同性，嗯......单从名字上理解它的涵义感觉确实有些困难......（不过比鲁棒性的翻译要好太多了）

Isotropic在概率论中的实质含义就是“unit variance”，而当我们去研究一个均值是0方差是1的随机变量是非常容易的。对于高维随机向量来说，对variance的限定就变成了对covariance的限定。isotropic random vector指的就是每个方向上方差为1，不同方向上协方差为0的随机向量。数学表示如下：

除了从定义入手，判定isotropic还有其他的方式。对于一个随机变量  is isotropic if and only if

也就是说，isotropic 的随机向量与任意向量的内积都等于那个向量的

                分布对比图：左边是isotropic distribution，右边不是isotropic distribution 

上面这幅图展示了isotropic distribution与non-isotropic distribution的对比，可以明显看出来isotropic distribution在不同方向上的分布都很均匀，这应该是”各向同性“的直观解释了。