算法数据结构（三十六）----四边形不等式技巧

2023-10-15 08:59
文章标签 算法 技巧 数据结构 不等式 四边形 三十六

本文主要是介绍算法数据结构（三十六）----四边形不等式技巧，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目一

给定一个非负数组arr，长度为N，

那么有N-1种方案可以把arr切成左右两部分

每一种方案都有，min{左部分累加和，右部分累加和}

求这么多方案中，min{左部分累加和，右部分累加和}的最大值是多少？

整个过程要求时间复杂度O(N)

//暴力求解
public static int bestSplit1(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int N = arr.length;int ans = 0;for (int s = 0; s < N - 1; s++) {int sumL = 0;for (int L = 0; L <= s; L++) {sumL += arr[L];}int sumR = 0;for (int R = s + 1; R < N; R++) {sumR += arr[R];}ans = Math.max(ans, Math.min(sumL, sumR));}return ans;}
//切点不回退
public static int bestSplit2(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int N = arr.length;int sumAll = 0;for (int num : arr) {sumAll += num;}int ans = 0;int sumL = 0;// [0...s]  [s+1...N-1]for (int s = 0; s < N - 1; s++) {sumL += arr[s];int sumR = sumAll - sumL;ans = Math.max(ans, Math.min(sumL, sumR));}return ans;}

题目二

 把题目一中提到的，

min{左部分累加和，右部分累加和}，定义为S(N-1)，也就是说：

S(N-1)：在arr[0…N-1]范围上，做最优划分所得到的min{左部分累加和，右部分累加和}的最大值

现在要求返回一个长度为N的s数组，

s[i] =在arr[0…i]范围上，做最优划分所得到的min{左部分累加和，右部分累加和}的最大值

得到整个s数组的过程，做到时间复杂度O(N)

//暴力求解
public static int[] bestSplit1(int[] arr) {if (arr == null || arr.length == 0) {return new int[0];}int N = arr.length;int[] ans = new int[N];ans[0] = 0;for (int range = 1; range < N; range++) {for (int s = 0; s < range; s++) {int sumL = 0;for (int L = 0; L <= s; L++) {sumL += arr[L];}int sumR = 0;for (int R = s + 1; R <= range; R++) {sumR += arr[R];}ans[range] = Math.max(ans[range], Math.min(sumL, sumR));}}return ans;}
// 求原来的数组arr中，arr[L...R]的累加和public static int sum(int[] sum, int L, int R) {return sum[R + 1] - sum[L];}public static int[] bestSplit2(int[] arr) {if (arr == null || arr.length == 0) {return new int[0];}int N = arr.length;int[] ans = new int[N];ans[0] = 0;int[] sum = new int[N + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {sum[i + 1] = sum[i] + arr[i];}for (int range = 1; range < N; range++) {for (int s = 0; s < range; s++) {int sumL = sum(sum, 0, s);int sumR = sum(sum, s + 1, range);ans[range] = Math.max(ans[range], Math.min(sumL, sumR));}}return ans;}

 

//前缀和数组
public static int[] bestSplit3(int[] arr) {if (arr == null || arr.length == 0) {return new int[0];}int N = arr.length;int[] ans = new int[N];ans[0] = 0;// arr =   {5, 3, 1, 3}//          0  1  2  3// sum ={0, 5, 8, 9, 12}//       0  1  2  3   4// 0~2 ->  sum[3] - sum[0]// 1~3 ->  sum[4] - sum[1]int[] sum = new int[N + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {sum[i + 1] = sum[i] + arr[i];}// 最优划分// 0~range-1上，最优划分是左部分[0~best]  右部分[best+1~range-1]int best = 0;for (int range = 1; range < N; range++) {while (best + 1 < range) {int before = Math.min(sum(sum, 0, best), sum(sum, best + 1, range));int after = Math.min(sum(sum, 0, best + 1), sum(sum, best + 2, range));// 注意，一定要是>=，只是>会出错// 课上会讲解if (after >= before) {best++;} else {break;}}ans[range] = Math.min(sum(sum, 0, best), sum(sum, best + 1, range));}return ans;}

四边形不等式技巧特征

 1，两个可变参数的区间划分问题

2，每个格子有枚举行为

3，当两个可变参数固定一个，另一个参数和答案之间存在单调性关系

4，而且两组单调关系是反向的：(升 升，降 降)  (升 降，降 升)

5，能否获得指导枚举优化的位置对：上+右，或者，左+下

 四边形不等式技巧注意点

1，不要证明！用对数器验证！

2，枚举的时候面对最优答案相等的时候怎么处理？用对数器都试试！

3，可以把时间复杂度降低一阶

O(N^3) -> O(N^2)

O(N^2 * M) -> O(N * M)

O(N * M^2) -> O(N * M)

4，四边形不等式有些时候是最优解，有些时候不是

不是的原因：尝试思路，在根儿上不够好

 题目三

摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆

规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，

并将新的一堆石子数记为该次合并的得分

求出将n堆石子合并成一堆的最小得分（或最大得分）合并方案 

public static int[] sum(int[] arr) {int N = arr.length;int[] s = new int[N + 1];s[0] = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {s[i + 1] = s[i] + arr[i];}return s;}public static int w(int[] s, int l, int r) {return s[r + 1] - s[l];}public static int min1(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int N = arr.length;int[] s = sum(arr);return process1(0, N - 1, s);}public static int process1(int L, int R, int[] s) {if (L == R) {return 0;}int next = Integer.MAX_VALUE;for (int leftEnd = L; leftEnd < R; leftEnd++) {next = Math.min(next, process1(L, leftEnd, s) + process1(leftEnd + 1, R, s));}return next + w(s, L, R);}

 定义dp[L][R]为arr L...R最优划分情况下，最优合并方案下的最小代价

public static int min2(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int N = arr.length;int[] s = sum(arr);int[][] dp = new int[N][N];// dp[i][i] = 0for (int L = N - 2; L >= 0; L--) {for (int R = L + 1; R < N; R++) {int next = Integer.MAX_VALUE;// dp(L..leftEnd)  + dp[leftEnd+1...R]  + 累加和[L...R]for (int leftEnd = L; leftEnd < R; leftEnd++) {next = Math.min(next, dp[L][leftEnd] + dp[leftEnd + 1][R]);}dp[L][R] = next + w(s, L, R);}}return dp[0][N - 1];}

 

//四边形不等式优化
public static int min3(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return 0;}int N = arr.length;int[] s = sum(arr);int[][] dp = new int[N][N];int[][] best = new int[N][N];for (int i = 0; i < N - 1; i++) {best[i][i + 1] = i;dp[i][i + 1] = w(s, i, i + 1);}for (int L = N - 3; L >= 0; L--) {for (int R = L + 2; R < N; R++) {int next = Integer.MAX_VALUE;int choose = -1;for (int leftEnd = best[L][R - 1]; leftEnd <= best[L + 1][R]; leftEnd++) {int cur = dp[L][leftEnd] + dp[leftEnd + 1][R];if (cur <= next) {next = cur;choose = leftEnd;}}best[L][R] = choose;dp[L][R] = next + w(s, L, R);}}return dp[0][N - 1];}

 题目四

https://leetcode.com/problems/split-array-largest-sum/

给定一个整型数组 arr，数组中的每个值都为正数，表示完成一幅画作需要的时间，再 给定 一个整数 num，表示画匠的数量，每个画匠只能画连在一起的画作。所有的画家 并行工作，请 返回完成所有的画作需要的最少时间。

【举例】

arr=[3,1,4]，num=2。

最好的分配方式为第一个画匠画 3 和 1，所需时间为 4。第二个画匠画 4，所需时间 为 4。 因为并行工作，所以最少时间为 4。如果分配方式为第一个画匠画 3，所需时 间为 3。第二个画 匠画 1 和 4，所需的时间为 5。那么最少时间为 5，显然没有第一 种分配方式好。所以返回 4。

arr=[1,1,1,4,3]，num=3。

最好的分配方式为第一个画匠画前三个 1，所需时间为 3。第二个画匠画 4，所需时间 为 4。 第三个画匠画 3，所需时间为 3。返回 4。

// 求原数组arr[L...R]的累加和public static int sum(int[] sum, int L, int R) {return sum[R + 1] - sum[L];}// 不优化枚举的动态规划方法，O(N^2 * K)public static int splitArray1(int[] nums, int K) {int N = nums.length;int[] sum = new int[N + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];}int[][] dp = new int[N][K + 1];for (int j = 1; j <= K; j++) {dp[0][j] = nums[0];}for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i][1] = sum(sum, 0, i);}// 每一行从上往下// 每一列从左往右// 根本不去凑优化位置对儿！for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 2; j <= K; j++) {int ans = Integer.MAX_VALUE;// 枚举是完全不优化的！for (int leftEnd = 0; leftEnd <= i; leftEnd++) {int leftCost = leftEnd == -1 ? 0 : dp[leftEnd][j - 1];int rightCost = leftEnd == i ? 0 : sum(sum, leftEnd + 1, i);int cur = Math.max(leftCost, rightCost);if (cur < ans) {ans = cur;}}dp[i][j] = ans;}}return dp[N - 1][K];}
// 课上现场写的方法，用了枚举优化，O(N * K)public static int splitArray2(int[] nums, int K) {int N = nums.length;int[] sum = new int[N + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];}int[][] dp = new int[N][K + 1];int[][] best = new int[N][K + 1];for (int j = 1; j <= K; j++) {dp[0][j] = nums[0];best[0][j] = -1;}for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i][1] = sum(sum, 0, i);best[i][1] = -1;}// 从第2列开始，从左往右// 每一列，从下往上// 为什么这样的顺序？因为要去凑（左，下）优化位置对儿！for (int j = 2; j <= K; j++) {for (int i = N - 1; i >= 1; i--) {int down = best[i][j - 1];// 如果i==N-1，则不优化上限int up = i == N - 1 ? N - 1 : best[i + 1][j];int ans = Integer.MAX_VALUE;int bestChoose = -1;for (int leftEnd = down; leftEnd <= up; leftEnd++) {int leftCost = leftEnd == -1 ? 0 : dp[leftEnd][j - 1];int rightCost = leftEnd == i ? 0 : sum(sum, leftEnd + 1, i);int cur = Math.max(leftCost, rightCost);// 注意下面的if一定是 < 课上的错误就是此处！当时写的 <= ！// 也就是说，只有取得明显的好处才移动！// 举个例子来说明，比如[2,6,4,4]，3个画匠时候，如下两种方案都是最优:// (2,6) (4) 两个画匠负责 | (4) 最后一个画匠负责// (2,6) (4,4)两个画匠负责 | 最后一个画匠什么也不负责// 第一种方案划分为，[0~2] [3~3]// 第二种方案划分为，[0~3] [无]// 两种方案的答案都是8，但是划分点位置一定不要移动!// 只有明显取得好处时(<)，划分点位置才移动!// 也就是说后面的方案如果==前面的最优，不要移动！只有优于前面的最优，才移动// 比如上面的两个方案，如果你移动到了方案二，你会得到:// [2,6,4,4] 三个画匠时，最优为[0~3](前两个画家) [无](最后一个画家)，// 最优划分点为3位置(best[3][3])// 那么当4个画匠时，也就是求解dp[3][4]时// 因为best[3][3] = 3，这个值提供了dp[3][4]的下限// 而事实上dp[3][4]的最优划分为:// [0~2]（三个画家处理） [3~3] (一个画家处理)，此时最优解为6// 所以，你就得不到dp[3][4]的最优解了，因为划分点已经越过2了// 提供了对数器验证，你可以改成<=，对数器和leetcode都过不了// 这里是<，对数器和leetcode都能通过// 这里面会让同学们感到困惑的点：// 为啥==的时候，不移动，只有<的时候，才移动呢？例子懂了，但是道理何在？// 哈哈哈哈哈，看了邮局选址问题，你更懵，请看42节！if (cur < ans) {ans = cur;bestChoose = leftEnd;}}dp[i][j] = ans;best[i][j] = bestChoose;}}return dp[N - 1][K];}

 题目五

一条直线上有居民点，邮局只能建在居民点上。给定一个有序正数数组arr，每个值表示 居民点的一维坐标，再给定一个正数 num，表示邮局数量。选择num个居民点建立num个 邮局，使所有的居民点到最近邮局的总距离最短，返回最短的总距离

【举例】

arr=[1,2,3,4,5,1000]，num=2。

第一个邮局建立在 3 位置，第二个邮局建立在 1000 位置。那么 1 位置到邮局的距离 为 2， 2 位置到邮局距离为 1，3 位置到邮局的距离为 0，4 位置到邮局的距离为 1， 5 位置到邮局的距 离为 2，1000 位置到邮局的距离为 0。这种方案下的总距离为 6， 其他任何方案的总距离都不会 比该方案的总距离更短，所以返回6

dp[i][j] 表示范围0~4的时候，给3个邮局的答案

//普通dp算法
public static int min1(int[] arr, int num) {if (arr == null || num < 1 || arr.length < num) {return 0;}int N = arr.length;int[][] w = new int[N + 1][N + 1];for (int L = 0; L < N; L++) {for (int R = L + 1; R < N; R++) {w[L][R] = w[L][R - 1] + arr[R] - arr[(L + R) >> 1];}}int[][] dp = new int[N][num + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {dp[i][1] = w[0][i];}for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 2; j <= Math.min(i, num); j++) {int ans = Integer.MAX_VALUE;for (int k = 0; k <= i; k++) {ans = Math.min(ans, dp[k][j - 1] + w[k + 1][i]);}dp[i][j] = ans;}}return dp[N - 1][num];}
//四边形不等式优化
public static int min2(int[] arr, int num) {if (arr == null || num < 1 || arr.length < num) {return 0;}int N = arr.length;int[][] w = new int[N + 1][N + 1];for (int L = 0; L < N; L++) {for (int R = L + 1; R < N; R++) {w[L][R] = w[L][R - 1] + arr[R] - arr[(L + R) >> 1];}}int[][] dp = new int[N][num + 1];int[][] best = new int[N][num + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {dp[i][1] = w[0][i];best[i][1] = -1;}for (int j = 2; j <= num; j++) {for (int i = N - 1; i >= j; i--) {int down = best[i][j - 1];int up = i == N - 1 ? N - 1 : best[i + 1][j];int ans = Integer.MAX_VALUE;int bestChoose = -1;for (int leftEnd = down; leftEnd <= up; leftEnd++) {int leftCost = leftEnd == -1 ? 0 : dp[leftEnd][j - 1];int rightCost = leftEnd == i ? 0 : w[leftEnd + 1][i];int cur = leftCost + rightCost;if (cur <= ans) {ans = cur;bestChoose = leftEnd;}}dp[i][j] = ans;best[i][j] = bestChoose;}}return dp[N - 1][num];}

题目六

https://leetcode.com/problems/super-egg-drop

 一座大楼有 0~N 层，地面算作第 0 层，最高的一层为第 N 层。已知棋子从第 0 层掉落肯定 不会摔碎，从第 i 层掉落可能会摔碎，也可能不会摔碎(1≤i≤N)。给定整数 N 作为楼层数， 再给定整数 K 作为棋子数，返 回如果想找到棋子不会摔碎的最高层数，即使在最差的情况下扔 的最少次数。一次只能扔一个棋子。

【举例】

N=10，K=1。

返回 10。因为只有 1 棵棋子，所以不得不从第 1 层开始一直试到第 10 层，在最差的情况 下，即第 10 层 是不会摔坏的最高层，最少也要扔 10 次。

N=3，K=2。

返回 2。先在 2 层扔 1 棵棋子，如果碎了，试第 1 层，如果没碎，试第 3 层。 N=105，K=2 返回 14。

第一个棋子先在 14 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 1~13。 若没碎，第一个棋子继续在 27 层扔，碎了则 用仅存的一个棋子试 15~26。 若没碎，第一个棋子继续在 39 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 28~38。 若 没碎，第一个棋子继续在 50 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 40~49。 若没碎，第一个棋子继续在 60 层扔， 碎了则用仅存的一个棋子试 51~59。 若没碎，第一个棋子继续在 69 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 61~68。 若没碎，第一个棋子继续在 77 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 70~76。 若没碎，第一个棋子继续在 84 层 扔，碎了则用仅存的一个棋子试 78~83。 若没碎，第一个棋子继续在 90 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 85~89。 若没碎，第一个棋子继续在 95 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 91~94。 若没碎，第一个棋子继续 在 99 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 96~98。 若没碎，第一个棋子继续在 102 层扔，碎了则用仅存的一 个棋子试 100、101。 若没碎，第一个棋子继续在 104 层扔，碎了则用仅存的一个棋子试 103。 若没碎，第 一个棋子继续在 105 层扔，若到这一步还没碎，那么 105 便是结果。 

//超时
public static int superEggDrop1(int kChess, int nLevel) {if (nLevel < 1 || kChess < 1) {return 0;}return Process1(nLevel, kChess);}// rest还剩多少层楼需要去验证// k还有多少颗棋子能够使用// 一定要验证出最高的不会碎的楼层！但是每次都是坏运气。// 返回至少需要扔几次？public static int Process1(int rest, int k) {if (rest == 0) {return 0;}if (k == 1) {return rest;}int min = Integer.MAX_VALUE;for (int i = 1; i != rest + 1; i++) { // 第一次扔的时候，仍在了i层min = Math.min(min, Math.max(Process1(i - 1, k - 1), Process1(rest - i, k)));}return min + 1;}
//普通dp  超时
public static int superEggDrop2(int kChess, int nLevel) {if (nLevel < 1 || kChess < 1) {return 0;}if (kChess == 1) {return nLevel;}int[][] dp = new int[nLevel + 1][kChess + 1];for (int i = 1; i != dp.length; i++) {dp[i][1] = i;}for (int i = 1; i != dp.length; i++) {for (int j = 2; j != dp[0].length; j++) {int min = Integer.MAX_VALUE;for (int k = 1; k != i + 1; k++) {min = Math.min(min, Math.max(dp[k - 1][j - 1], dp[i - k][j]));}dp[i][j] = min + 1;}}return dp[nLevel][kChess];}

//四边形不等式优化  勉强通过
public static int superEggDrop3(int kChess, int nLevel) {if (nLevel < 1 || kChess < 1) {return 0;}if (kChess == 1) {return nLevel;}int[][] dp = new int[nLevel + 1][kChess + 1];for (int i = 1; i != dp.length; i++) {dp[i][1] = i;}int[][] best = new int[nLevel + 1][kChess + 1];for (int i = 1; i != dp[0].length; i++) {dp[1][i] = 1;best[1][i] = 1;}for (int i = 2; i < nLevel + 1; i++) {for (int j = kChess; j > 1; j--) {int ans = Integer.MAX_VALUE;int bestChoose = -1;int down = best[i - 1][j];int up = j == kChess ? i : best[i][j + 1];for (int first = down; first <= up; first++) {int cur = Math.max(dp[first - 1][j - 1], dp[i - first][j]);if (cur <= ans) {ans = cur;bestChoose = first;}}dp[i][j] = ans + 1;best[i][j] = bestChoose;}}return dp[nLevel][kChess];}

dp[i][j]我有i个棋子，扔j次，能搞定多少层 

//四边形不等式优化
public static int superEggDrop4(int kChess, int nLevel) {if (nLevel < 1 || kChess < 1) {return 0;}int[] dp = new int[kChess];int res = 0;while (true) {res++;int previous = 0;for (int i = 0; i < dp.length; i++) {int tmp = dp[i];dp[i] = dp[i] + previous + 1;previous = tmp;if (dp[i] >= nLevel) {return res;}}}}
//优化常数项
public static int superEggDrop5(int kChess, int nLevel) {if (nLevel < 1 || kChess < 1) {return 0;}int bsTimes = log2N(nLevel) + 1;if (kChess >= bsTimes) {return bsTimes;}int[] dp = new int[kChess];int res = 0;while (true) {res++;int previous = 0;for (int i = 0; i < dp.length; i++) {int tmp = dp[i];dp[i] = dp[i] + previous + 1;previous = tmp;if (dp[i] >= nLevel) {return res;}}}}public static int log2N(int n) {int res = -1;while (n != 0) {res++;n >>>= 1;}return res;}

 

这篇关于算法数据结构（三十六）----四边形不等式技巧的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/216701。

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