毫米波Cell-Free网络中多AP与多UE的波束对准

《Multi-UE Multi-AP Beam Alignment in User-Centric Cell-Free Massive MIMO Systems Operating at mmWave》 本文地址： https://ieeexplore.ieee.org/document/9768328

背景

大规模MIMO技术能够在相同的时频资源上服务多个UE，有效提高系统吞吐量。但其未能很好的解决“”小区边缘“问题”，即：当UE位于参考BS和干扰BS之间时，其SINR将会很低。因此需要运行干扰管理算法。

Cell-Free大规模MIMO（CF-mMIMO）能够很好地解决这一问题。与传统BS-UE的架构不同，宏基站由若干个接入点（AP）组成，APs通过有线或无线与CPU进行连接，使用相同的时频资源联合服务UE。特别的，以用户为中心的（user-centric）的部署方案，其UE通常更仅的AP或者具有更高大尺度衰落系数的AP服务，这种CF-mMIMO部署能很好地缓解校区边缘问题。

随着对移动带宽服务的更高需求，CF-mMIMO+毫米波将会被需要，在未来的B5G和6G场景中得到部署。在毫米波场景中波束对准（BA）是至关重要的，其将直接决定通信质量，在CF-mMIMO的毫米波网络中，一个至关重要的问题就是：多AP多UE的BA。传统BA主要是针对单用户或多用户场景多用户，而将这些算法应用到多UE多AP的BA场景，将导致冗长且不可行的过程。

本文首次提出了一种多UE多AP场景下的波束对准方案，具体贡献如下：

• 所提出的方案基于AP的单向传输，UE仅执行监听和估计周围AP最强AoA-AoD的操作，无需AP-UE的多次迭代精细化波束。
• 提出了一种正交信道的分配算法，最小化使用相同正交载波集AP之间的互干扰。（UE为了区分来自于不同AP的信号，通常这些信号必须在不相交的正交信道集上传输，但AP比可用的正交信道数目多，因此需要进行资源分配）

系统模型

• CF-mMIMO系统，$M$个AP同时服务$K$个UE。
• 每个UE配置有$N_{\mathrm{UE}}$根天线，$n_{\mathrm{UE}}<N_{\mathrm{UE}}$根RF链
• 每个AP配置有$N_{\mathrm{AP}}$根天线，$n_{\mathrm{AP}}<N_{\mathrm{AP}}$根RF链、

考虑ULA天线天线，UE，AP二维布局。

传输模式

考虑OFDM系统架构，总的可用带宽为$\Delta f$，子载波数目为$N_C=B/\Delta f$，OFDM符号周期为$t_0=1/\Delta f+{\tau }_{CP}$，${\tau }_{CP}$是循环前缀长度。BA的过程将横跨$T$个信标时隙，每个信标时隙由$S$个连续的OFDM符号。如下所示的帧结构

信道模型

第$m$个AP和第$k$个AP在第$s$个信标时隙的的下行信道表示为
${\mathbf{H}}_{k,m}^{(s)}(\tau )={\sum }_{{\ell }^{\prime }=0}^{L_{k,m}}{\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}{\mathbf{a}}_{\mathrm{UE}}\left({\phi }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right){\mathbf{a}}_{\mathrm{AP}}^H\left({\theta }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)\delta \left(\tau -{\tau }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)$

参数说明：

• $L_{k,m}$： 第$k$个UE到第$m$个AP之间信道径数，考虑到毫米波稀疏性 L k , m ≪ min ⁡ { N A P , N U E } L_{k, m} \ll \min \left\{N_{\mathrm{AP}}, N_{\mathrm{UE}}\right\} Lk,m​≪min{NAP​,NUE​}
• ${\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}$：${\ell }^{\prime }$条径在第$s$个信标时隙的信道复增益，${\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}\sim$$\mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\gamma }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)$，${\gamma }_{k,m,{\ell }^{\prime }}$表示反射系数协方差。（考虑了快速的小尺度衰落）
• ${\phi }_{k,m,{\ell }^{\prime }}$和${\theta }_{k,m,{\ell }^{\prime }}$分表对应${\ell }^{\prime }$条径的AoA和AoD
• 阵列导向矢量：$\begin{array}{rl}{\mathrm{a}}_{\mathrm{AP}}(\phi )& ={\left[1,e^{\mathrm{i}\pi \sin \phi },\dots ,e^{\mathrm{i}\pi \left(N_{\mathrm{AP}}-1\right)\sin \phi }\right]}^T\\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{UE}}(\theta )& ={\left[1,e^{\mathrm{i}\pi \sin \theta },\dots ,e^{\mathrm{i}\pi \left(N_{\mathrm{UE}}-1\right)\sin \theta }\right]}^T\end{array}$
• ${\tau }_{k,m,{\ell }^{\prime }}$表示第${\ell }^{\prime }$条径的时延

BA前的数据模式

在进行BA前，需要将一系列的资源集（指示了所使用的子载波和Beamformer）分配给AP，这样做的目的是，UE可以在未知AP位置和天线阵列方向的情况下，分离数据流。因此要求发送的数据在波束成形前是正交的，下面介绍两种不同的数据模式

无导频的数据模式

基本原理是对并行数据流使用非交叠的子载波。假设分配给每个AP的RF链的子载波是数目是$Q$个，则总的数据模式有$D=\lfloor \lfloor N_C/Q\rfloor /n_{\mathrm{AP}}\rfloor$种，具体表示为${\mathcal{D}}_1,\dots ,{\mathcal{D}}_D$，对于第$d$个数据模式，定义为，
D d = { { L d , s , i , s = 1 , … , T , i = 1 , … , n A P } { U d , s , i , s = 1 , … , T , i = 1 , … , n A P } } \begin{aligned} \mathcal{D}_d=\left\{\left\{\mathcal{L}_{d, s, i}, s=1, \ldots, T, i=1, \ldots, n_{\mathrm{AP}}\right\}\right. \\ \left.\left\{\mathcal{U}_{d, s, i}, s=1, \ldots, T, i=1, \ldots, n_{\mathrm{AP}}\right\}\right\}\end{aligned} Dd​={{Ld,s,i​,s=1,…,T,i=1,…,nAP​}{Ud,s,i​,s=1,…,T,i=1,…,nAP​}}​
其中${\mathcal{D}}_d$表示将特定的子载波和波束成形权值分配各特定的AP。这里，${\mathcal{L}}_{d,s,i}$表示$Q$个子载波集，${\mathcal{U}}_{d,s,i}$表示波束成形集合，它们供AP的第$i$个RF 链使用第$d$种数据模式${\mathcal{D}}_d$。

有导频的数据模式

这种数据模式允许传输调制信号，因此会产生更大数目的正交数据模式。在每个信标时隙，被分配相同无导频的数据模式的AP通过发送长度为$S$的正交导频来区分它们。例如，对于第$l$个导频序列，定义为${\varphi }_{\ell }={\left[\sqrt{\beta }{e}^{\mathrm{i}{\tilde{\varphi }}_{\ell }(1)},\dots ,\sqrt{\beta }{e}^{\mathrm{i}{\tilde{\varphi }}_{\ell }(S)}\right]}^T$，且满足${\varphi }_{\ell }^H{\varphi }_{{\ell }^{\prime }}=S\beta \delta \left(\ell -{\ell }^{\prime }\right)$（$\beta >0$表示AP在每个信标时隙和每个子载波上的AP发送功率），因此该种数据模式将产生$SD$种数据模式

• 无导频可以看做是导频的一种特例：${\tilde{\varphi }}_{\ell }(i)=0,\forall i=1,\dots ,S,\ell =1,\dots ,S$.

基于位置的数据模式分配算法

前面介绍了集中数据模式，现在考虑将个数为$\tilde{D}$（对于无导频模式$\tilde{D}=D$，有导频模式$\tilde{D}=SD$）的数据模式分配给$M$个AP。这里假设AP是固定的，暂不考虑具有移动性的AP，采用$K$-means算法进行分配，输入为AP位置和数据模式的数目，具体如下：

• 1.计算$K$-means的分类参数 $\lceil M/\tilde{D}\rceil$（即，AP要打包分成几组），分配$\lceil M/\tilde{D}\rceil$个质心以便于在所考虑的区域内形成一个近似规则的网格
• 2.将每个AP分配到距离它最近的质心中，同时确保该质心所在的簇内不超过$\tilde{D}$个AP
• 3.通过对属于每个簇中的AP的位置求平均来更新质心位置
• 4.重复2.3.直至收敛
• 5.AP簇形成后，为每个簇内的AP分配数据模式。用每个簇内AP相对于簇质心的位置来表征他们，然后将第一种数据模式分配给每个AP簇内最大纬度的AP（即，最北的AP），第二种数据模式分配给每个AP簇内第二大纬度的AP，以此类推，直到所有的AP都分配到一个数据模式。

注：这种分配算法，能保证分配到相同数据模式的AP不会离得太近，同时仅利用了AP的纬度而不是完整纬度信息，是一种次优的分配算法，其是复杂度和性能的折中。

波束对准的时序

做几个假设：

• 系统中有通用的帧同步信息（可通过利用AP和CPU之间的前传设备，以及使用低于6GHz载频的UE控制面来确保这点。）

BA和用户关联阶段由以下步骤组成：

• 1. 所有AP基于分配到的数据模式同时发送探测信号，然后UE汇集信息，估计关于每种数据模式最强径的AoA和AoD信息。
• 2. 使用sub-6GHz上行控制信道，每个UE与网络信通它的位置，每种模式，检测到的最强波束的 AoA 和 AoD 以及强度指示器
• 3. 基于从所有UE收集到的信息，网络建立用户为中心的AP-UE关联，并通过sub-6GHz的控制信道将AP-UE关联信息传达给AP和UE。

如果下图所示：

波束对准信号模型

与[https://blog.csdn.net/qq_33668008/article/details/131788164?spm=1001.2014.3001.5502]一文中类似的模型。关注第$s$个信标时隙$t\in \left[s{t}_0,(s+1)t_0\right]$，在第$s$个信标时隙，由第$m$个AP发送的等效基带信号表示为：
$${\mathbf{x}}_{m,s}(t)=\sum _{i=1}^{n_{\mathrm{AP}}}{x}_{m,s,i}(t){\mathbf{u}}_{m,s,i}$$
${\mathbf{u}}_{m,s,i}$为发送波束成形矢量（假定在整个信标时隙上都保持一致）。$x_{m,s,i}(t)$是第$m$个AP在第$s$个信标时隙发送的第$i$个数据流。

对于第$k$个UE，其波束成形前的接收信号可以表示为
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{r}}_{k,s}(t)=\sum _{m=1}^M\int {\mathbf{H}}_{k,m}^{(s)}(\tau ){\mathbf{x}}_{m,s}(t-\tau )d\tau +{\mathbf{z}}_{k,s}(t)\\ & =\sum _{m=1}^M\sum _{{\ell }^{\prime }=0}^{L_{k,m}}\sum _{i=1}^{n_{\mathrm{AP}}}{\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}{g}_{k,m,{\ell }^{\prime },s,i}^{(AP)}\\ & \times x_{m,s,i}\left(t-{\tau }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right){\mathbf{a}}_{\mathrm{UE}}\left({\phi }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)+{\mathbf{z}}_{k,s}(t)\\ & \end{array}$$
其中，$g_{k,m,{\ell }^{\prime },s,i}^{(AP)}={\mathbf{a}}_{\mathrm{AP}}^H\left({\theta }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right){\mathbf{u}}_{m,s,i}$，${\mathbf{Z}}_{k,s}(t)$表示AGWN。

应用接收波束成形${\mathbf{v}}_{k,s,j}$（$j=1,\dots ,n_{\mathrm{UE}}$）后，有：

$$\begin{array}{rl}{y}_{k,s,j}(t)=& \frac{1}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}{\mathbf{v}}_{k,s,j}^H{\mathbf{r}}_{k,s}(t)\\ =& \sum _{m=1}^M\sum _{{\ell }^{\prime }=0}^{L_{k,m}}\sum _{i=1}^{n_{\mathrm{AP}}}\frac{1}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}{\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}{g}_{k,m,{\ell }^{\prime },s,i}^{(AP)}{g}_{k,{\ell }^{\prime },s,j}^{(UE)}\\ & \times x_{m,s,i}\left(t-{\tau }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)+z_{k,s,j}(t),\end{array}$$
其中$g_{k,{\ell }^{\prime },s,j}^{(UE)}={\mathbf{v}}_{k,s,j}^H{\mathbf{a}}_{\mathrm{UE}}\left({\phi }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)$，$z_{k,s,j}(t)=\frac{1}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}{\mathbf{v}}_{k,s,j}^H{\mathbf{z}}_{k,s}(t)$

采用OFDM处理后，$y_{k,s,j}(t)$中的每个OFDM符号变成了$N_C$维的向量，考虑第$p$个OFDM符号（$s(p)=\lfloor p/S\rfloor$表示第$p$个OFDM符号关联的信标时隙索引，经过A/D转换后产生$N_C$个标量元素$Y_{k,p,j}(0),\dots ,Y_{k,p,j}\left(N_C-1\right)$。对于第$q$个子载波有
$\begin{array}{rl}{Y}_{k,p,j,i}(q)=\frac{1}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}& \sum _{m=1}^M{\mathbf{v}}_{k,s(p),j}^H{\mathcal{H}}_{k,m}^{(s)}(q)\\ & \times X_{m,p,i}(q){\mathbf{u}}_{m,s(p),i}+Z_{k,p,j,i}(q)\end{array}$

$X_{m,p,i}(q)$表示第$i$根RF链在第$p$个OFDM符号时间上发送的第$q$个频域数据符号，$Z_{k,p,j,i}(q)$表示AWGN。${\mathcal{H}}_{k,m}^{(s)}(q)$是信道${\mathbf{H}}_{k,m}^{(s)}(\tau )$在频率$q/\left(t_0\right)$的傅里叶变换，定义为：
$${\mathcal{H}}_{k,m}^{(s)}(q)=\sum _{{\ell }^{\prime }=0}^{L_{k,m}}{\alpha }_{k,m,{\ell }^{\prime }}^{(s)}{\mathbf{a}}_{\mathrm{UE}}\left({\phi }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right){\mathbf{a}}_{\mathrm{AP}}^H\left({\theta }_{k,m,{\ell }^{\prime }}\right)e^{-\mathrm{i}2\pi \frac{q}{t_0}{\tau }_{k,m,{\ell }^{\prime }}}$$

正如前面提到的基于导频的数据模式，每个AP发送一个导频序列允许区分使用相同数据模式的不同AP，这里对于第$m$个AP，其发送符号表示为$X_{m,p,i}(q)=\sqrt{\beta }{e}^{\mathrm{i}{\bar{\varphi }}_{\ell (m)}(p\mathrm{mod}S)}$，$\ell (m)$表示分配给第$m$个AP的导频序列。假设第$m$个AP使用${\mathcal{D}}_d$数据模式，则$q\in {\mathcal{L}}_{d,s,i}$，且$s=1,\dots ,T$。

为了执行临近AP中最强波束的方向估计，每个UE依赖于知道数据模式${\mathcal{D}}_1,\dots ,{\mathcal{D}}_D$导频序列，${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_S$，基于这些信息可以决定最强多讲参数的AoA和AoD用于数据通信。（注意：UE无需知道AP位置和网络拓扑）。

角度离散化和伪随机波束成形码本

类似地，定义离散AoA集合和离散AoD集合：
$$\begin{array}{rl}& \Theta =\left\{\hat{\theta }:\frac{1+\sin (\hat{\theta })}{2}=\frac{u-1}{N_{\mathrm{AP}}},u=1,\dots ,N_{\mathrm{AP}}\right\},\\ & \Phi =\left\{\hat{\phi }:\frac{1+\sin (\hat{\phi })}{2}=\frac{u^{\prime }-1}{N_{\mathrm{UE}}},u^{\prime }=1,\dots ,N_{\mathrm{UE}}\right\}\end{array}$$
相关的阵列响应${\mathcal{F}}_{\mathrm{AP}}=\left\{{\mathrm{a}}_{\mathrm{AP}}(\hat{\theta }):\hat{\theta }\in \Theta \right\}$， F U E = { a U E ( φ ^ ) : φ ^ ∈ Φ } \mathcal{F}_{\mathrm{UE}}=\left\{\mathbf{a}_{\mathrm{UE}}(\widehat{\varphi}): \widehat{\varphi} \in \Phi\right\} FUE​={aUE​(φ ​):φ ​∈Φ}，作为离散字典代表信道响应。然后定义DFT矩阵${\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{AP}}}$和${\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{UE}}}$，其中${\left[{\mathbf{W}}_N\right]}_{p,p^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{N}}{e}^{\mathrm{i}2\pi (p-1)\left(\frac{p^{\prime }-1}{N}-\frac{1}{2}\right)}$，且$p,p^{\prime }=1,\dots ,N$和 N ∈ { N A P , N U E } N \in\left\{N_{\mathrm{AP}}, N_{\mathrm{UE}}\right\} N∈{NAP​,NUE​}。

引入如下定义：
$\begin{array}{rl}{\mathbb{V}}_{k,s,j}& ={\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{UE}}}^H{\mathbf{v}}_{k,s,j},{\mathbb{U}}_{m,s,i}={\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{AP}}}^H{\mathbf{u}}_{m,s,i}\\ {\mathbb{H}}_{k,m}^{(s)}(q)& ={\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{UE}}}^H{\mathcal{H}}_{k,m}^{(s)}(q){\mathbf{W}}_{N_{\mathrm{AP}}}.\end{array}$

让 A d ∈ { 1 , 2 , … , M } \mathcal{A}_d \in\{1,2, \ldots, M\} Ad​∈{1,2,…,M}表示分配了第$d$个数据模式的AP集，则：
$${\mathbb{U}}_{m,s,i}=d_{d,s,i},\forall m\in {\mathcal{A}}_d$$

即：在第$s$个信标时隙使用第$d$种数据模式的AP在其第$i$根RF链上使用的波束成形向量。在整个系统的AP在$T$个信标时隙期间传输的伪随机波束成形向量集合为：
${\mathcal{C}}_{\mathrm{AP}}=\left\{{\mathcal{U}}_{d,s,i},d=1,\dots ,\tilde{D},s=1,\dots ,T,i=1,\dots ,n_{\mathrm{AP}}\right\}$

假设$d_{d,s,i}=\frac{1_{{\mathcal{U}}_{d,s,i}}}{\sqrt{{\nu }_{\mathrm{AP}}}}$，$\left|{\mathcal{U}}_{d,s,i}\right|={\nu }_{\mathrm{AP}}\le N_{\mathrm{AP}},\forall d,s,i$。其中$1_{{\mathcal{U}}_{d,s,i}}$表示${\mathcal{U}}_{d,s,i}$定义的相应位置为1，其余为0。（随机生成）

类似地，接收端有 C U E ( k ) = { V k , s , j , s = 1 , … , T , j = 1 , … , n U E } \mathcal{C}_{\mathrm{UE}}^{(k)}=\left\{\mathcal{V}_{k, s, j}, s=1, \ldots, T, j=1, \ldots, n_{\mathrm{UE}}\right\} CUE(k)​={Vk,s,j​,s=1,…,T,j=1,…,nUE​}，$\left|{\mathcal{V}}_{k,s,j}\right|={\nu }_{\mathrm{UE}}\le N_{\mathrm{UE}},\forall k,s,j$且${\mathbb{V}}_{k,s,j}=\frac{1_{{\mathcal{V}}_{k,s,j}}}{\sqrt{{\nu }_{\mathrm{UE}}}}$

UE端波束对准的信号处理

基于以上的定义，接收的频域信号可以表示为：
$$\begin{array}{rl}& Y_{k,p,j,i}(q)=\frac{1}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}\sum _{m=1}^M{\mathbb{V}}_{k,s(p),j}^H{\mathbb{H}}_{k,m}^{(s)}(q){\mathbb{U}}_{m,s(p),i}\\ & \times X_{m,s(p),i}(q)+Z_{k,p,j,i}(q),\end{array}$$

由于数据模式采用的是不相交的子载集合，因此UE可以在$\tilde{D}$组不同的观测上操作，隔离每个AP发送RF链的贡献。将第$k$个UE的第$(d,\ell )$个可观测集表示为${\mathcal{O}}_k^{(d,\ell )}$，其表示为：
$$\begin{array}{r}{\mathcal{O}}_k^{(d,\ell )}=\{{\bar{Y}}_{k,p,j,i}^{(d,\ell )}(q),q\in {\mathcal{L}}_{d,s,i},s=1,\dots ,T,p=1,\\ \dots ,ST,i=1,\dots ,n_{\mathrm{AP}},j=1,\dots ,n_{\mathrm{UE}}\end{array}\}$$
且$d=1,\dots ,D$，$\ell =1,\dots ,S$，$\begin{array}{rl}{\bar{Y}}_{k,p,j,i}^{(d,\ell )}(q)=\frac{\sqrt{\beta }}{\sqrt{n_{\mathrm{UE}}}}& \sum _{m\in {\mathcal{A}}_d}{\mathbb{V}}_{k,s(p),j}^H{\mathbb{H}}_{k,m}^{(s)}(q){\mathbb{U}}_{m,s(p),i}\\ & \times e^{\mathrm{i}{\tilde{\varphi }}_{\ell (m)}(p\mathrm{mod}s)}+{\bar{Z}}_{k,p,j}^{(d,\ell )}(q),\end{array}$。

基于上面的数据，构建如下的平均二次可观测值：
$$c_{k,s,j,i}^{(d,\ell )}=\frac{1}{QS}\sum _{q\in {\mathcal{L}}_{d,s,i}}{\left|\sum _{p=(s-1)S+1}^{sS}{\bar{Y}}_{k,p,j,i}^{(d)}(q)e^{-\mathrm{i}{\tilde{\varphi }}_{\ell }(p\mathrm{mod}s)}\right|}^2$$

对于所有的：$d=1,\dots ,D,\ell =1,\dots ,S,s=1,\dots ,S,i=1,\dots ,n_{\mathrm{AP}},j=1,\dots ,n_{\mathrm{UE}},k=1,\dots ,K$.

作者提出了两种算法估计算法用于提取使用第$d$种数据模式，和第$l$种导频序列的最近AP中的最强径AoA和AoD

基于堆叠观察集的处理

与上一篇BA的文章类似，将所有的$i$（AP RF链），$j$（UE RF链），$s$（BA横跨的信标时隙）上的测量，堆叠成如下向量
$${\mathbf{c}}_k^{(d,\ell )}={\left[c_{k,1,1,1}^{(d,\ell )},\dots ,c_{k,1,n_{\mathrm{UE}},n_{\mathrm{AP}}}^{(d,\ell )},c_{k,2,1,1}^{(d,\ell )},\dots ,c_{k,T,n_{\mathrm{UE}},n_{\mathrm{AP}}}^{(d,\ell )}\right]}^T.$$
令：
$${\mathfrak{b}}_{k,s,j,i}^{(d)}=\frac{d_{d,s,i}\otimes {\vee }_{k,s,j}}{\Vert d_{d,s,i}\Vert \Vert {\vee }_{k,s,j}\Vert }$$
然后组成了$\left(n_{\mathrm{AP}}{n}_{\mathrm{UE}}T\times N_{\mathrm{AP}}{N}_{\mathrm{UE}}\right)$d的矩阵:$${\mathbf{B}}_k^{(d)}=[{\mathfrak{b}}_{k,1,1,1}^{(d)},\dots ,{\mathfrak{b}}_{k,1,n_{\mathrm{UE}},n_{\mathrm{AP}}}^{(d)},{{\mathfrak{b}}_{k,2,1,1}^{(d)},\dots ,{\mathfrak{b}}_{k,T,n_{\mathrm{UE}},n_{\mathrm{AP}}}^{(d)}]}^T$$

然后有如下的优化问题：
$${\mathbf{\xi }}_k^{(d,\ell )}=\arg \underset{\mathbf{x}}{\min }{\Vert {\mathbf{B}}_k^{(d)}\mathbf{x}+{\sigma }^2{1}_{n_{\mathrm{AP}}{n}_{\mathrm{UE}}T\times 1}-{\mathbf{c}}_k^{(d,\ell )}\Vert }^2$$

该问题的最优解${\mathbf{\xi }}_k^{(d,\ell )}$是一个$\left(N_{\mathrm{AP}}{N}_{\mathrm{UE}}\right)$的向量，可以排列在$\left(N_{\mathrm{AP}}\times N_{\mathrm{UE}}\right)$的矩阵中（命名为${\mathbf{\Xi }}_k^{(d,\ell )}$），其每个元素可以与一对（AoD，AoA）关联，该（AoD，AoA）来自于使用第$d$种数据模式和第$\ell$种序列的APs，且大小和该信道功率的估计值相关。因此，${\mathbf{\Xi }}_k^{(d,\ell )}$最大元素指示了和第$k$个UE和使用第$d$种数据模式和第$\ell$种导频序列的APs之间的最强路径，第二大元素指示了第二强路径。

• 该问题的求解，可以用NNLS求解。

基于矩阵观察值集的处理

同样的，测量值可归类为如下维度为$\left(N_{\mathrm{UE}}\times N_{\mathrm{AP}}\right)$的矩阵
$${\mathbf{C}}_k^{(d,\ell )}=\sum _{s=1}^T{\tilde{\mathbf{C}}}_k^{(d,\ell )}(s)$$
矩阵${\tilde{\mathbf{C}}}_k^{(d,\ell )}(s)$的元素定义为：
$${\left({\tilde{\mathbf{C}}}_k^{(d,\ell )}(s)\right)}_{\left(h,h^{\prime }\right)}=I_{h,h^{\prime }}{c}_{k,i,j,s}^{(d,\ell )}$$
其中，当测量产生$c_{k,i,j,s}^{(d,\ell )}$时，如果AP的第$h^{\prime }$个传输方向和第$h$个接收方向被激活，则$I_{h,h^{\prime }}$为1。给定矩阵${\mathbf{C}}_k^{(d,\ell )}$其元素大小定义与基于堆叠观察集的处理种的定义一样，但是其复杂度明显低了许多。

APs与UEs的关联

APs和UEs的关联是一项复杂的组合任务，本文采用了一种简单的关联规则：当BA处理完成后，每个UE使用可靠的sub-6GHz反馈信道告知网络：它的位置，它的ID，$N_D$个数据模式的ID其对应于最大估计强度指示。网络汇聚这些信息后，给每个UE关联$N_D$个最近的AP，其使用的数据模式ID已经被UE告知。UE-AP 生成的关联使用下行链路 sub-6 GHz 控制信道广播到 UE，并使用与 CPU 的前传连接广播到 AP，波束的信息同样告知给APs。

数值仿真

仿真条件：

• 带宽$W=123$MHz，载频$f_0=28\mathrm{GHz}$，子载波间隔$480\mathrm{kHz}$，CP长度${\tau }_{\mathrm{CP}}{\Delta }_f=0.07$，子载波数目$N_C=256$，一个信标时隙假设包含$S=8$ 个OFDM符号
• 考虑$400\mathrm{m}\times 400\mathrm{m}$的区域，$M=50$个AP，$K=10$个UE，每个AP天线$N_{\mathrm{AP}}=32$，RF链$n_{\mathrm{AP}}=8$。每个UE天线$N_{\mathrm{UE}}=16$，RF链$n_{\mathrm{UE}}=4$

衡量的准则是：UE 检测到来自 ND 最佳 AP 的最强路径的正确 AoD 和 AoA 的概率

对比算法：任意分配AP的数据模式，然后执行波束对准

• $D=8$
  
• $D=16$
  

结论：

• 随着用于BA的信标时隙数目的增加，检测概率也增加
• MCO虽然简单，但是性能却比SCO好
• 参数$D$增大，检测能力将被改善。然而，$D$不能增加太多，因为意味着更小的$Q$值，更少数目分配的子载波分配给个每个AP的RF链
• 更大的${\nu }_{\mathrm{AP}}$和${\nu }_{\mathrm{UE}}$在$T$较小时能带来一定的性能改善
• $N_D=1$比$N_D=2$的检测概率更大（显然，$N_D$越大，意味着要检测对的路径的数目更多，更具有挑战性）
• 对于$T$更小时，SCO表现略好，大概是因为这种算法受到压缩感知概念的启发，因此在存在少量观测的情况下具有良好的性能

固定${\nu }_{\mathrm{AP}}=8,{\nu }_{\mathrm{UE}}=4$

• 在 $D=4$ 的情况下，BA 过程中 AP 之间的正交性未保留，因此与 $D=8$的情况相比，性能下降

以上，总的结果表明，所提方法有效，能够在多AP多UE环境下实现BA，性能良好。正交导频序列的引入有助于进一步提高算法的检测能力性能。