本文主要是介绍环形等倾干涉内疏外密，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
环形等倾干涉内疏外密证明
光学课老师提出可以去证一下圆环形等倾干涉图像为什么内疏外密？
上高中的时候就想证明了，一直拖到现在。
瞎想了一个证明如下，还不知道对不对，有问题希望可以和我交流。
证明思路如下：
设入射角为是 θ \theta θ，折射角为 α \alpha α,玻璃折射率n,单射光波长 λ \lambda λ 。
由常见推导可得：
δ = 2 ∗ n ∗ d ∗ C o s ( α ) \delta=2*n*d*Cos(\alpha) δ=2∗n∗d∗Cos(α)
对于两个相邻的条纹应用后变形有下式：
C o s α 2 − C o s α 1 = λ 2 ∗ n ∗ d Cos\alpha _{2}-Cos\alpha _{1}= \frac{\lambda}{2*n*d} Cosα2−Cosα1=2∗n∗dλ
发现相邻条纹余弦值之差是一个定值,令 C o s α = t Cos\alpha=t Cosα=t。
于是要证内疏外密只需证明： d r d t < 0 , d r 2 d t 2 > 0 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}<0 , \frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}>0 dtdr<0,dt2dr2>0。
结合实际后也就是证明图中曲线：
从题意已知以下关系。
S i n ( θ ) = n ∗ S i n ( α ) Sin(\theta )=n*Sin(\alpha ) Sin(θ)=n∗Sin(α) %折射定律
r = T a n ( θ ) ∗ d r=Tan(\theta )*d r=Tan(θ)∗d %图示几何关系
利用反三角函数将 α \alpha α用t表示,代入第一个关系，结果再代入第二个关系，得到结果。
r = T a n ( A r c S i n ( n ∗ S i n ( A r c C o s ( t ) ) ) ) ∗ d r=Tan(ArcSin(n*Sin(ArcCos(t))))*d r=Tan(ArcSin(n∗Sin(ArcCos(t))))∗d
使用mathematica化简得到
r = n 1 − t 2 1 − n 2 ( 1 − t 2 ) ∗ d r=\frac{n \sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-n^2 \left(1-t^2\right)}}*d r=1−n2(1−t2)n1−t2∗d
d r d t = − n t 1 − t 2 ( n 2 ( t 2 − 1 ) + 1 ) 3 / 2 ∗ d \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}=-\frac{n t}{\sqrt{1-t^2} \left(n^2 \left(t^2-1\right)+1\right)^{3/2}}*d dtdr=−1−t2(n2(t2−1)+1)3/2nt∗d
d r 2 d t 2 = − n 3 ( 3 t 4 − 2 t 2 − 1 ) + n ( 1 − t 2 ) 3 / 2 ( n 2 ( t 2 − 1 ) + 1 ) 5 / 2 ∗ d \frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}=-\frac{n^3 \left(3 t^4-2 t^2-1\right)+n}{\left(1-t^2\right)^{3/2} \left(n^2 \left(t^2-1\right)+1\right)^{5/2}}*d dt2dr2=−(1−t2)3/2(n2(t2−1)+1)5/2n3(3t4−2t2−1)+n∗d
在定义域内 d r d t < 0 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}<0 dtdr<0显然成立。
通过求驻点可知 ( 3 t 4 − 2 t 2 − 1 ) \left(3 t^4-2 t^2-1\right) (3t4−2t2−1)在定义域内小于0，于是在定义域内 d r 2 d t 2 > 0 \frac{\mathrm{d} r^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}>0 dt2dr2>0也成立。
得证。
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