代数几何导引(德文版)【瑞士 马库斯·布罗德曼(Markus Brodmann)】的读书笔记,翻译和感想(3)-知识点的补充与拓展

本文主要是介绍代数几何导引(德文版)【瑞士 马库斯·布罗德曼(Markus Brodmann)】的读书笔记,翻译和感想(3)-知识点的补充与拓展,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

我们上次在“代数几何导引(德文版)【瑞士 马库斯·布罗德曼(Markus Brodmann)】的读书笔记,翻译和感想(3)”中还有不少内容没有讲完,所以仅仅是作为知识点总结和拓展,我就不将标题的名称更改为“代数几何导引(德文版)【瑞士 马库斯·布罗德曼(Markus Brodmann)】的读书笔记,翻译和感想(4)”,只是简简单单将标题名称在第三讲的基础上添加一个一个“-知识点的补充和拓展”,可以和第三讲搭配阅读。

非常抱歉作者更新的速度较为慢,其主要原因就是要开学了,并且博主自己电脑的“d”键坏了,现在只能用学习提供的设备进行更新和研究,非常抱歉。

这是从上一讲的截图:

我想我们可以在这基础之上,添加或减少一些内容上的拓展以及概念上的应用,也许我们会用一些简单的例子或者题目来辅助我们的学习。

1.黎曼流形

①来自百度的概念

黎曼流形(Riemannian manifold)是一黎曼度量下的微分流形(关于微分流形,可以看上一讲的内容),设Mn维光滑流形,若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g,则称呼(M,g)为一个n维流形,g称为该黎曼流形的基本张量或者黎曼张量,如果满足:

A)g是对称的,即:

g(X,Y)=g(Y,X)(x,y\in T_{p}M,p\in M)

B)g是正定的,即:

g(X,X)\geqslant 0(X\in T_{p}M,p\in M)

且等号仅在X=0的时候成立,

简单的来说,黎曼流形就是给定了一个光滑的对称的,正定的二阶张量场的光滑流形。

在微分流形以及黎曼几何中,一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形,换句话说,这个流形上具有一个对成正定的二阶协变张量场,亦即在每一点的切空间配备一个正定二次型。

②一些来自中国的梅向明的《微分流形和黎曼几何》的常曲率黎曼流形

博主注:这里博主实际上并没有找到只关于“黎曼流形”的内容,我在这一本书中找到的实际上是关于“常曲率黎曼流形”,但实际上,在这一章节中很多讲的都是关于“常曲率黎曼流形”和“完备常曲率黎曼流形”,在这里博主就仅仅摘录一小段(常曲率黎曼流形)出来作为一些引申拓展,我在这里不抄录“完备常曲率黎曼流形”了

第十章        常曲率黎曼流形

\S 10.1 常曲率黎曼流形

        定义6        黎曼流形(M,g)称为常曲率的,如果它的各点处所有平面截面的截面曲率等于相通的常数K,这时,局部地有

R_{ijkl}=-K(g_{ki}g_{jl}-g_{il}g_{jk})

所以R_{ijkl;m}=0,曲率张量场是平行的,因此,这黎曼流形是局部对称的。

        设M是一个黎曼流形,UM的一坐标域,局部坐标是(x^{1},......,x^{n})\left \{ e_{1},......,e_{n} \right \}U上的局部标准正交标架场,(\omega ^{1},......,\omega ^{n})是对偶标架场,则M上有结构方程

d\omega ^{i}=-\sum _{j}\omega _{j}^{i}\wedge \omega^{j},\omega_{j}^{i}+\omega_{i}^{j}=0

d \omega_{i}^{k}+\sum _{k}\omega_{i}^{k}\wedge \omega^{j}_{k}=\Omega _{i}^{j}

其中

\Omega_{i}^{j}=\frac{1}{2}\sum_{k,l}R_{ikl}^{j}\omega^{k}\wedge \omega^{l}

如果M是长曲率的,注意现在

        g_{ij}=g(e_{i},e_{j})=\delta _{ij}

\therefore R_{ikl}^{j}=R_{ijkl}=-K(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})

\Omega_{i}^{j}=K\omega ^{i}\wedge \omega^{j}

        实例:

        (1)n维度欧式空间R^{n},K=0

        (2)R^{n+1}中的单位球面S^{n}K=+1

        (3)双曲空间H^{n},命MR^{n}的上半平面=\left \{ x\in R^{n}:x^{n}>0\right \}带有黎曼度量(注意M只用一个坐标域覆盖)

        ds^{2}=\frac{1}{(x^{n})^{2}}\left \{ (dx^{1})^{2}+...+(x^{n})^{2}\right \},即g_{ij}=\frac{1}{(x^{n})^{2}}\delta_{ij}\left \{ e_{i}=x^{n}\frac{\partial }{\partial x^{i}} (i=1,...,n)\right \}这是M上的标准正交标架场,对偶标价场是\left \{ \omega^{i}=(x^{n})^{-1}dx^{i},i=1,......,n \right \}容易证明:

\omega_{i}^{j}=\delta_{nj}\omega^{i}-\delta_{ni}\omega^{j}

满足结构方程

d\omega^{i}=\sum_{j}\omega^{j}\wedge \omega_{j}^{i},\omega_{i}^{j}+\omega_{j}^{i}=0

\Omega_{i}^{j}=d\omega_{i}^{j}+\sum_{k}\omega_{i}^{k}\wedge \omega_{k}^{j}=-\omega^{i}\wedge\omega^{i}

K=-1

2.度量空间

①来自苏联(С.С.C.Р.)的Д.В.Кангороеич和Г.П.Акилов的《泛函分析》(引用的是第二版,第一版书的中文翻译是《赋范空间中的泛函分析》)

\S 3. 度量空间

        3.1.        度量空间是一类非常重要的拓扑空间,集合X叫做度量空间,如果每一对元素x,y\in X都对应一个实数\rho (x,y)(元素xy之间的距离),满足条件:

1)\rho (x,y)\geqslant 0;当且仅当x=y\rho (x,y)=0

2)\rho (x,y)=\rho (y,x)

3)对于任何z\in X,\rho(x,y)\leqslant \rho(x,z)+\rho(z,y)(三角不等式)

        所引进的函数\rho:X\times X\rightarrow R叫做度量,n维度欧式几何空间R^{n}直线段,圆周(如果取点之间最短弧的长度作为圆周上的距离)等可以作为最简单的度量空间的例子

        设X是具有度量\rho的度量空间,集合

K_{\varepsilon }(X_{0})=\left \{ x\in X:\rho (x,x_{0})\leqslant \varepsilon \right \}

叫做以点x_{0}\in X为中心\varepsilon >0为半径的开球K_{1/n}(x)(n\in N,x\in X)

        集合

B_{\varepsilon }(x_{0})=\left \{ x\in X:\rho (x,x_{0})\leqslant \varepsilon \right \}

叫做以点x_{0}\in X为中心的\varepsilon >0为半径的闭球(下面通常简称为球)

        定理1. 集合K_{1/n}(x)(n\in N,x\in X)的总体满足2.3.中的条件1)-3),即构成集合X中的基底

        证. 因为\rho (x,x)=0,所以条件1)显然成立,如果n,m\in Np=max(n,m),则K_{1/p}(x)\subset K_{1/n}(x)\subset K_{1/m}(x),于是,条件2)成立,如果V_{x}=K_{1/n}(x),则令V'_{x}=K_{1/(2n)}(x)便有V'_{x}\subset V_{x},此外,如果y=V'_{x}V_{y}=K_{1/(2n)}(y),则V_{y}\subset V_{x},因为三角不等式,对于任何z\in V_{y},有\rho (x,z)\leqslant \rho(x,y)+ \rho(y,z)<1/(2n)+1/(2n)=\frac{1}{n}.由此可见,条件3)成立.

        在定理2.1中挺进的构造,用典型的方式把度量空间X变为以开球为基底的空间,定理1也指出,X中的每个点都具有可数的基底.所以,为了描述X中的拓扑,只须限于收敛序列(见2.6,性质6).我们指出,在所得拓扑空间中x_{n}\rightarrow x当且仅当\rho (x_{n},x)\rightarrow 0.

        其拓扑是由某种度量生成的拓扑空间叫做可度量化的(绝不是所有的拓扑空间都是可度量化的;这种空间的例子我们将在下面看到),应该指出,同一个拓扑可以由不同的度量生成.

        定理2.  1)  \rho (x,y)是其变元的连续函数,即如果x_{n}\rightarrow x_{0},y_{n}\rightarrow y_{0},则\rho (x_{n},y_{n})\rightarrow \rho (x_{0},y_{0})

        2)度量空间是Hausdorff空间(因而收敛序列只能有一个极限).

        证.  1)  由三角形不等式得关系式

\rho (x',y')-\rho(x,y)\leqslant \rho (y,y') + \rho (x,x').

        交换x,yx',y'的位置,得到相反符号的不等式,由此

|\rho (x',y')-\rho(x,y)|\leqslant \rho(x,x')+\rho (y,y')         (1)

        利用此式,得

|\rho (x_{n},y_{n})-\rho(x_{0},y_{0})|\leqslant \rho (x_{n},x_{0})+\rho(y_{n},y_{0})\rightarrow 0.

        2) 如果x \neq x_{0},则e=\rho(x,x_{0})/2>0,由三角形不等式推得,开球K_{\varepsilon}(x)K_{\varepsilon}(x_{0})不相交.

        下面我们需要点到集合E\subset X的距离的概念,如同在欧式空间一样,我们把这个量定义为

\rho(x_{0},E)=inf_{x\in E}\rho(x_{0},x).

        不难看出,\rho (x_{0},E)=0等价于x_{0}\in \bar{E}

        设X_{0}是度量空间X中的集合,因为对于集合X中德每一对元素都定义了距离,所以对于X_{0}中的元素对也定义了距离,显然,它满足度量空间的公理1)-3),从而X_{0}自然成为度量空间,这时我们就称在X_{0}中的度量是由空间X的度量诱导而得到的,或者称呼空间X_{0}是度量空间的X的子空间

        假设在两个度量空间XY的元素之间可以建立一一对应,使得空间XY对应的元素之间的距离相等,这样的空间叫做等距的,显然,在等距空间之一中具有的所有的度量关系,在另一个中也同样成立,因此,这样的空间之间的差别仅在于元素的具体性质,而不涉及与空间的距离有关的本质,这种情况为把等距的空间等同起来提供了根据.

博主注:

事实上,对于这句话“使得空间XY对应的元素之间的距离相等”,我想必然有人要问如何计算度量空间之间的距离,不同的空间有不同的距离计算方法,所以有不同的度量空间,比如欧式空间,离散空间,可测函数和序列空间中的距离定义是不同的

        3.2.  现在引进比较复杂的度量空间的例子,在本书中以函数作为元素的空间起着主要的作用,这里及以后,已经某个以数值函数为元素的空间X时,如果没有相反的约定,我们总是同时考虑两个空间:由满足相应条件的实函数全体组成的实空间X以及由同样满足条件的复函数全体组成的复空间X,这两种空间在表示上照例是不加区分的,如果在某一个命题中,我们没有提到空间是实的或者复的,则表明这个命题在两种情况都成立.

        1)设K是紧空间,空间C(K)是紧空间K上所有连续函数的集合,其中函数xy之间的距离由下式定义:

\rho (x,y)=sup_{t\in K}|x(t)-y(t)|

        验证条件1)-3)并不困难,因此我们忽略了,因为紧空间上的连续函数达到其最大值(见定理2.6),所以也可以写为

\rho (x,y)=max_{t\in K}|x(t)-y(t)|.

        空间C(K)中元素序列\left \{ x_{n} \right \}收敛于点x_{0}表示函数列\left \{ x_{n}(t) \right \},一致收敛于函数x_{0}(t).事实上,如果按任意\varepsilon >0选取N,使得当n\geqslant N的时候有\rho(x_{n},x_{0})<\varepsilon,则表示对这样的n

sup_{t\in K}|x_{n}(t)-x_{0}(t)|<\varepsilon

从而对于所有的t \in K,不等式

|x_{n}(t)-x_{0}(t)|<\varepsilon        (n\geqslant N)

成立,由此推得要证明的一致收敛性.

        反之亦然:从连续函数一致收敛于连续函数推得在空间C(K)中对应元素的收敛性。如果K=[a,b],则记为C[a,b].

        2)空间s是所有数列的集合,其中数列x=(\xi _{1},\xi_{2},...,\xi_{k},...)y=(\eta _{1},\eta_{2},...,\eta_{k},...)之间的距离用以下的定义:

\rho (x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi _{k}-\eta _{k}|}{1+|\xi_{k}-\eta_{k}|}

        验证度量空间的公理1)与2)并没有困难,由于函数\varphi (\lambda )=\frac{\lambda}{1+\lambda}\lambda \geqslant 0时递增,所以有数值不等式

\frac{|\alpha +\beta |}{1+|\alpha +\beta |}\leqslant \frac{|\alpha |+|\beta |}{1+|\alpha|+|\beta|}\leqslant \frac{|\alpha |}{1+|\alpha|}+\frac{|\beta|}{1+|\beta|}       (2)

从而推出条件3)成立.

        如果序列\left \{ x_{n} \right \}(x_{n}=(\xi _{1}^{(n)},\xi _{2}^{(n)},...,\xi _{1}^{(n)},...),n=1,2,...)收敛于元素x_{0}=(\xi _{1}^{(0)},\xi _{2}^{(0)},...,\xi _{k}^{(0)},...),则表示

lim_{n\rightarrow \infty }\xi _{k}^{(n)}=\xi _{k}^{(0)}      (k=1,2,...)      (3)

s中点的序列的收敛是按坐标收敛,也就是点x_{n}的每个坐标都收敛于极限点x_{0}的对应的坐标.

        事实上,由不等式

\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi _{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}{1+|\xi _{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}\leqslant \rho (x_{n},x_{0})        (k=1,2,...)       (4)

知,如果x_{n}\rightarrow x_{0},则得\xi _{k}^{(n)}\rightarrow \xi _{k}^{(0)}      (k=1,2,...)

        反之,如果条件(3)成立,由于级数

\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi_{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}{1+|\xi_{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}=\rho (x_{m},x_{0})

关于n一致收敛(\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}是它的强级数),故可以逐项极限,且因级数的每一项都趋于0,所以\rho (x_{n},x_{0})\rightarrow 0

        由上面的证明可以推导出,空间s是可数的直线族的拓扑积.

        我们还指出空间C^{(1)}[a,b](为了和复空间C^{n}区分开来,这里我们对上指标加上圆括号),其元素是定义在[a,b]上且在此区间上有直到l阶连续导数的函数,x,y\in C^{l}[a,b]之间的距离可以定义为:

        \rho (x,y)=\sum _{k=0}^{l}max_{a\leqslant t\leqslant b}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|

(x^{(0)}(t)=x(t),y^{(0)}(t)=y(t)).

C^{(l)}(a,b)中的收敛表示函数序列以及k(1\leqslant k\leqslant l)阶导数序列都一致收敛

        我们也可以研究空间C^{(1)}(D),它是由多维空间的区域D内自身以及直到l阶的偏导数都连续的函数所组成(见(IV.4.4).

        我们指出,如果在C(K)中引进序:x\geqslant y当且仅当对于任何t\in Kx(t)\geqslant y(t)而在s中约定,x=(\xi_{k})^{\infty }_{k=1}\geqslant (\eta _{k})_{k=1}^{\infty }当且仅当对于任何k\in N\xi_{k}\geqslant \eta _{k},则C(K)s称为有序集(但不是全序的)

②来自百度的定义

        度量空间也称为距离空间,一种拓扑空间,其上的拓扑由距离决定,设R是一个非空集合,\rho(x,y)R上的二元函数,满足以下条件:

        1.\rho(x,y)\geqslant 0\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y

        2.\rho(x,y)=\rho(y,x)

        3.\rho (x,y)\leqslant \rho(x,z)+\rho(y,z)

        则称\rho(x,y)为两点x,y之间的距离,R按距离\rho成为度量空间或距离空间,记为(R,\rho),设AR的子集

3.度量

①来自百度的定义:

度量,也就是距离函数,是度量空间中满足特定条件的特殊函数,一般用d来表示,度量空间也被称为距离空间,是一类特殊的拓朴空间。

详细定义:

X为一个非空集合,其元叫做点,\mathbb{R}是全体实数的集。

若函数d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}对于任意x,y,z\in X满足条件;

(a)d(x,y)\geqslant 0,当且仅当x=y时候成立;(这个就是正定性)

(b)d(x,y)=d(y,x);(对称性)

(c)d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y);(三角不等式)

则称呼函数d为集合X上的一个距离函数或者度量,赋予度量d的集合X称为度量空间,记为(X,d)

4.黎曼度量

①来自百度的定义

每个光滑流形都配有黎曼度量

定义一:

M为光滑流形,则M上的黎曼度量为M上光滑对称共变2张量场,且在M上每个点均为正定

定义二:

M为光滑流形,则M上的黎曼度量为M上每点p给定切空间T_{p}M上的内积,且在M上各点光滑

②来自中国的伍鸿熙的《黎曼几何初步》的关于黎曼度量的内容

        C^{\infty }流形M上一个黎曼度量g是什么呢?我们帮助大家回忆一下定义,g是一个"C^{\infty }指定”。“指定”的含义就是对于M的每一个切向量空间M_{x}(x\in M),指定M_{x}中的一个向量内积g_{x}(,)(有时候g_{x}(,),记录为<,>_{x},类似地有时记g(,)<,>)所谓指定的C^{\infty }的,那表示:对M的任意一个局部坐标系(x^{1},x^{2},...,x^{n}),如今

g_{ij}(x)=g_{x}(\frac{\partial }{\partial x_{i}},\frac{\partial }{\partial x_{j}}),

则这些g_{ij}(x)是坐标(x^{1},...,x^{n})C^{\infty }函数,在此提醒注意:g_{x}(,)是内积这一事实相当于矩阵[g_{ij}(x)]_{1\leqslant i,j\leqslant n}是正定对称的,如果用张量的语言来说,g其实就是M上一个C^{\infty }流形上总可以找到一个黎曼度量(参阅[CC],第130页定理1.1)

博主注:

1.勘误"(参阅[CC],第133页定理1.1)"为“(参阅[CC],第130页定理1.1)”,这里参阅的书籍是陈省身的《微分几何讲义》

参见的陈省身的《微分几何讲义》部分

        定理1.1 在m维光滑流形M上必有黎曼度量

        证明   取M的局部有限的坐标覆盖\left \{ (U_{a};u_{a}^{i}) \right \},设\left \{ h_{a} \right \}是从属的单位分解,使得支集supp h_{a}\subset U_{a}.命

ds_{a}^{2}=\sum _{i=1}^{m}(du_{a}^{i})^{2},                (1.9)

ds^{2}=\sum _{a}h_{a}\cdot ds_{a}^{2},                (1.10)

其中h_{a}\cdot ds_{a}^{2}定义为

(h_{a}\cdot ds_{a}^{2})(p)=\left\{\begin{matrix} h_{a}(p)ds_{a}^{2},p \in U_{a} ,& \\ 0, p\in U_{a} ,& \end{matrix}\right.                (1.11)

它们是M上的光滑的二次微分式.因为在每一点p \in M,(1,10)式右端只是有限项的和,所以该式是有意义的,实际上,若取p的一个坐标域(U;u^{i}),使得\bar{U}是紧致的,由于\left \{ U_{a} \right \}的局部有限性,所以U只与其中有限多个成员U_{a_{1}},...,U_{a_{r}}相交,因此(1.10)式限制在U上成为

ds^{2}=\sum _{\lambda =1}^{r}h_{a_{\lambda}}\cdot ds_{a_{\lambda}}^{2}=g_{ij}du^{i}du^{j}

其中

g_{ij}=\sum _{\lambda=1}^{r}\sum _{k=1}^{m}h_{a_{\lambda}}\frac{\partial u_{a_{\lambda}}^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial u_{a_{\lambda}}^{k}}{\partial u^{j}}                (1.12)

        因为0\leqslant h_{a}\leqslant 1,\sum _{a}h_{a}=1,故有某一指标\beta,使h_{\beta}(p)>0于是

ds^{2}(p)\geqslant h_{\beta}\cdot ds_{\beta}^{2}.

由此可见,ds^{2}M上处处是正定的.

        注记  在流形上黎曼度量的存在性并非平凡的结果,例如,M上不一定存在非正定的黎曼度量(但这一点较难证明),从纤维丛的观点看,在M上存在黎曼度量,说明M上对称的二阶协变张良从必有正定的光滑截面,然而,对于任意的矢量丛,处处不为零的光滑截面却不一定存在.

        下面假定M是广义黎曼流形,在局部坐标系改变时,基本张量G的分量变换公式是

g^{ik}g_{kj}=g_{jk}g^{ki}=\delta ^{i}_{j}                (1.13)

那么,容易证明g^{ij}的坐标变换公式是

g^{lij}=g^{kl}\frac{\partial u^{li}}{\partial u^{k}}\frac{\partial u^{lj}}{\partial u^{l}}                (1.14)

因此(g^{ij})是对称的二阶反变相量.

        借助与基本张量,可以把切空间的余切空间等同起来,因而反变矢量和协变矢量可以看做是同一个矢量的不同表现形式,实际上,若X \in T_{p}(M),命

a_{X}(Y)=G(X,Y),Y\in T_{p}(M),                (1.15)

a_{X}T_{p}(M)上的线性函数,即a_{X}\in T_{p}^{*}(M).反过来,因为G是非退化的,所以T_{p}^{*}(M)中任意一个元素都可以表成a_{X}的形式,这样,对应X \mapsto a_{X}T_{p}(M)T_{p}^{*}(M)之间建立了同构,用分量表示,若

X=X^{i}\frac{\partial }{\partial u^{i}},a_{X}=X_{i}du^{i},

则从(1.15)式可以得到

X_{i}=g_{ij}X^{j},X^{j}=g^{ij}X_{i}.                (1.16)

此外,可以直接验证,如果(X^{i})是反变矢量,则由(1.16)式定义的(X_{i})遵从协变矢量的交换规律.

        一般地,若(t^{i}_{jk})(1,2)型张量,则

t_{ijk}=g_{il}t^{l}_{jk},t^{ij}_{k}=g^{jl}t^{i}_{lk}                (1.17)

分别是(0,3)型张量和(2,1)型张量.如(1.17)式给出的运算通常称为张量指标的下降或上升.

连续统

①来自百度的定义

简单的来说,举个例子,我们说"实数集内实数可以连续变动",我们则称"实数集"为"连续统","平面是二维的连续统","空间是三维的连续统",更加严格的描述需要序理论和拓扑学的数学工具,连续统指的是"连续不断的数集"

一)连续统在数序中的定义

与区间(0,1)对等的集合就叫做连续统,对等就是找到了一个映射,使得他们之间的元素满足一一映射

二)连续统在集合论中的定义与性质

在集合论中,连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集,而且其序满足如下性质:

稠密:在任意两个元素之间存在第三个元素

无洞:由上界的非空子集一定有上确界,实数集即为连续统的例子,实际上它是连续统的原型

以下是连续统的例子:

序结构与实数集同构(序同构)的集合,例如在实数集和里面的任何开区间扩展实数轴,以及序同构域它的,比如单位区间。实的半开半闭区间如(0,1]等,以及其序同构,拓扑学有一种比实数还要长的“长线”非标准分析中的超实数集。

切向量

①来自百度的定义

曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量.

切向量是与曲线相切的向量,给定曲线C上一点PQC上与P的邻近一点,当Q点沿曲线趋近于P时,割线PQ的极限位置称为曲线CP的切线

导子

        设m为微分流形M中的一点,则m的切向量为m点的光滑函数芽F_{m}的导子

光滑曲线

        光滑曲线c:l\rightarrow Mt点的切向量定义为\dot{c}(t):=c_{*t}D(t),则对\varphi \in \mathfrak{F}M

        \dot{c}(t)(\phi)=c_{*t}D(t)(\phi)=D(t)(\phi ^{\circ}c)=(\phi ^{\circ}c)'(t)

②来自美国的Martin M. Lipschutz的《Theory and problems of Differential Geometry》(纲要式丛书《Schaum's Outline Series》之一)

博主注:

这里博主采用参考的是于1989年9月出版的《微分几何的理论和习题》的中文翻译版本,由黄锦能,杨正清,李世杰先生翻译,左再思先生提出有益的建议,曾如皋好麦兆娴先生发现漏洞并作出改正

        1.单 位 切 向 量

        设X=X(s)是正则曲线C的自然参数表示,导数dX/ds=\dot{X}(s)用以确定C在点\dot{X}(s)的切线方向,这与我们的几何直觉相符,因为

\dot{X}(s)=lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{X(s+\Delta s)-X(s)}{\Delta s}

\frac{X(s+\Delta s)-X(s)}{\Delta s}C的割线方向,如图4-1所示,又因为对自然参数表示|dX/ds|=|\dot{X}|=1,所以向量\dot{X}还具有单位长度

X=X(s^{*})C的另一个自然参数表示,则由定理3.4s=\pm s^{*}+常数且

\frac{dX}{ds^{*}}=\frac{dX}{ds}\frac{ds}{ds^{*}}=\pm \frac{dX}{ds},

dX/ds^{*}dX/ds有相同或者相反的方向,它取决于X=X(s^{*})的定向,于是\dot{X}是定向的,在图4-1中,它的正向是s增加的方向

        向量\dot{X}(s)称为定向曲线X=X(s)X(s)的单位切向量,并记作t=t(s)=\dot{X}(s)

        例4.1        沿着螺线X=a(cost)e_1+a(sint)e_2+be_3,a,b \neq 0,有

\frac{dX}{dt}=-a(sint)e_1+a(cost)e_2+be_3

|\frac{dX}{ds}|=(a^2+b^2)^\frac{1}{2},于是

t=\frac{dX}{ds}=\frac{dX}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}=\frac{dX}{dt}/\frac{ds}{dt}=\frac{dX}{dt}/|\frac{dX}{dt}| =(a^2+b^2)^{-1/2}(-a(sint)e_1+a(cost)e_2+be_3),

这里用到ds/dt=|dX/dt|(定理3.4),我们看到,沿着这条螺线单位切向量tx_3轴交成定角\theta=arccos(t\cdot e_s)=arccosb(a^2+b^2)^{-\frac{1}{2}}

        如同单位切向量一样,沿着曲线的其他几何量也可用自然参数表示来确定,然而,像上面的例子,运用链法则和关系式ds/dt=|dX/dt|,这些量亦可以用其他参数表出。

        设X=X(t)C的任意参数表示且与X=X(s)有相同的定向,则

X'=\frac{dX}{dt}=\frac{dX}{ds}\frac{ds}{dt}=t|\frac{dX}{dt}|=t|X'|,

其中再次用到ds/dt=|dX/dt|,于是tX'有相同的,即它也是曲线的切向量,并且

t=X'/|X'|               (4.1)

切空间

①来自百度的定义

        切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。切空间是微分流形在一点处所联系的向量空间,是欧式空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。

代数几何定义

        设V为由根理想生成元F_1,...,F_r定义的仿射簇,则V在点p的切空间为线性簇

        T_pV=\mathbb{V}(dF_1|_{p}(x-p),...,dF_r|_p(x-p))

        该切空间与生成元的选取无关

②来自梅向明的《微分流形和黎曼几何》的定义

        \S 2.2  切空间与切映射

        1.R^{n}中一点处的切向量

        设aR^n中的一点,所谓a点附近的C^\infty函数f是指定义在a的某个邻域U上的C^\infty函数,我们在a点附近的所有的C^\infty函数中定义一种等价关系:函数f\sim g,当且仅当在a的某点邻域中f\equiv g.用[f]表示f代表的等价类,每个等价类为a点处一个C^\infty函数芽(germ)。a点处的全体C^\infty函数芽的集合用C^\infty(a)来表示。

        定义1                                           [f]+[g]=[f+g]

k[f]=[kf],k\in R

即由a点邻域函数的运算诱导处函数芽得到运算,因此,a点处C^\infty函数芽构成向量空间

        如果再定义

[f]\cdot [g]=[f\cdot g]

C^\infty(a)构成实数域上的代数。

        为了书写方便,以后用到芽[f]时,省去括号只写f

        在R^n中以a点为起点的全体向量构成一个n维向量空间,即

R^na点处的切空间,集成T_a(R^n)。显然有同构关系

T_a(R^n)\cong R^n

E_{1a},E_{2a},...,E_{na}表示由原R^n中标准正交基平移到a所得到的T_{a}(R^n)的一组标准正交基,则T_{a}(R^n)中任一向量X_{a}可以表示为、

X_{a}=\sum_{i=1}^{n}a^{i}E_{ia}

        设f\in C^{\infty }(a),用\Delta f=\sum _{i=1}^{a}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} |_{a}来表示函数fa点沿方向X_{a}的方向导数。因为\Delta f依赖于f,点a及方向X_{a},因此用X_{a}^{*}f表示更好,这样

X_{a}^{*}f=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|

X_{a}给定后,任一f\in C^{\infty }(a)唯一地确定了一个实数X_{a}^{*}f。因此f\rightarrow X_{a}^{*}f定义了映射

X_a^*:C^{\infty }(a)\rightarrow R

X_{a}^*=\sum _{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}表示这个映射是合理的,我们称X_{a}^{*}X_{a}方向的方向导子,由于X_{a}^{*}(x^{i})=a^{i},所以只要知道X_{a}^{*}在坐标函数x^{i}=r^{i}(x)上的值,向量X_a和映射X_{a}^{*}就完全确定了。

        由于导数的性质,容易看出,如果\alpha ,\beta \in Rf,g \in C^\infty (a),则

        (1)X_{a}^{*}(\alpha f+\beta g)=\alpha(X_{a}^*f)+\beta(X_{a}^{*}g),

        (2)X_{a}^{*}(f\cdot g)=(X_{a}^{*}f)g(a)+f(a)(X_a^*).

        2.导子空间

        定义2        命\mathfrak{D}(a)表示具有上述性质(1)、(2)的映射C^{\infty }(a)\rightarrow R的全体,即

\mathfrak{D}(a)=\{ D:C^{\infty}(a)\rightarrow R满足条件(1)、(2)\}

这些D\in \mathfrak{D}(a)称为C^{\infty}(a)\rightarrow R的导子(derivation)

        如果对于\forall D_1,D_2\in \mathfrak{D}(a);\alpha,\beta \in R,f\in C^{\infty}(a),定义

(\alpha D_1+\beta D_2)f=\alpha D_1 f+\beta D_2 f

其中右边的运算是在R中进行的,那么容易证明\mathfrak{D}(a)是实数域R上的向量空间,我们称它的导子空间

        定理1        T_{a}(R)\approx \mathfrak{D}(a)(向量空间的同构)

        为了证明定理,先给出两个引理

        引理1        命D\mathfrak{D}(a)中任一导子,f\in C^{\infty } (a)a的某领域中的常值函数,则Df=0.

        证明:因为D是线性的,只须证明:如果1表示取值为1的常函数,则D1=0。注意

D1=D(1\cdot 1)=(D1)\cdot 1+1\cdot (D1)=2D1,\therefore D1=0.||

        引理2        命f(x^1,...,x^n)是在某开集U上定义的C^{\infty }一函数,如果a \in U,则存在a的一个领域B\subset U,以及定义在B上的C^{\infty }一函数g^{1},...,g^{n},使得

        (1)g^{i}(a)=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|_{x=a},

        (2)f(x^{1},...,x^{n})=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a)g^{i}(x).

        证明:命B\subset Ua的一个球域,注意对于x\in B

f(x)=f(a)=\int_{0}^{1} \frac{\partial }{\partial t}f(a+t(x-a))dt

因此,

f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a^{i})\int_{0}^{1}(\frac{\partial f}{\partial x^i})_{a+t(x-a)}dt

|g^{i}(x)\int_{0}^{1}(\frac{\partial f}{\partial x^{i}})_{a+t(x-a)}dt,i=1,...,n

这些是C^{\infty }函数且满足要求的两个条件。||

        定理的证明:由于给定了X_{a}^*\in T_{a}(R^{n}),就唯一确定了X_{a}^*\in \mathfrak{D}(a),这样决定了一个映射

T_{a}(R^{n})\rightarrow \mathfrak{D}(a)

        (1)此映射是一一的。因为,如果有X_{a}^{*}=Y_{a}^{*},则对于\forall f \in C^{\infty }(a),有X_{a}^{*}=Y_{a}^{*},也别对坐标函数x^{j}

X_{a}^{*}(x^j)=Y_{a}^{*}(x^{j})

x_{a}=\sum _{i=1}^{n}a^{i}E_{ia},Y_{a}=\sum _{i=1}^{n}\beta^{i}E_{ia}

X_{a}^{*}(x^{i})=\sum a^{i} \frac{\partial x^{j}}{\imath x^{i}}=a^{j}

Y_{a}^{*}(x^{i})=\sum \beta^{i} \frac{\partial x^{j}}{\imath x^{i}}= \beta ^{j}

\therefore \alpha ^{j}=\beta^{j}X_{a}=Y_{a}

        (2)此映射保持代数结构。若Z_{a}=\alpha X_{a}+ \beta Y_{a};\alpha ,\beta \in R,则对任意的f \in C^{\infty }(a),有

Z_{a}^{*}(f)=(\alpha X_{a}+\beta Y_{a})^{*}f

=\sum _{i=1}^{n}(\alpha \alpha ^{i}+\beta \beta^{i})\frac{\partial f}{\partial x^{i}}

=\alpha X_{a}^{*}f+\beta Y_{a}^{*}f

=(\alpha X_{a}^{*}+\beta Y_{a}^{*})f

        (3)此映射是在上的,即要证明对于\forall D\in\mathfrak{D}(a),存在X_{a}\in T_{a}(R^{*}),使得X_{a}^{*}=D

任给D \in \mathfrak{D}(a),设r^{i}(x^{1},...,x^{n})=x^{i},i=1,...,n是坐标函数,再设Dr^{i}=a^{i},考虑向量X_{a}=\sum _{i=1}^{n}a^{i}E_{ia},它对应的导子为X_{a}^{*},有

X_{a}^{*}f=\sum _{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|

        另一方面,根据引理2,在f的定义域中的某个开球B上,有

f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a^{i})g^{i}(x)

所以

Df=Df(a)+\sum _{i=1}^n \left \{ D(x^{i}-a^{i})g^{i}(a)+0\cdot Dg^{i}(x) \right \}

= \sum_{i=1}^{n}Dx^{i}\cdot g^{i}(a)=\sum _{i=1}^{n}a^{i} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}|_{a}=X_{a}^{*}f

        由于f是任意的,所以D=X_{a}^{*}||

        定理允许我们把R^{n}在一点a处的切空间T_{a}(R^{n})与导子空间\mathfrak{D}(a)等同起来,在这种等同下,T_{a}(R^{n})的标准基E_{1a},...,E_{na}等同于\frac{\partial }{\partial x^{1}}|_{a},...,\frac{\partial }{\partial x^{n}}|_{a},,其中\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}是在坐标轴方向上的方向导子,即

E_{ia}x \mapsto E_{ia}^{*}=\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}

做了这种等同之后,可以将*号去掉,X_{a}^{*}f将写成X_{a}f,今后欧氏空间给了我们关于在一点切空间的几何直观,而在形式定义和证明中。我们将利用上面对的思想:在一点的一个切向量,是在C^{\infty }(a)上的满足导子乘积法则(也称为Leibniz法则)的线性算子。对于切向量的这种观点,除了它的形式化和抽象性外,它相对地更容易运用,我们将利用这种观点吧切向量推广到微分流形上。

        3.流形上的切向量

        定义3        MC^{\infty }n维流形,a \in MC^{\infty }(a)a点处全体C^\infty实函数芽的集合,则Ma点的切向量是实值函数

X_{a}:C^{\infty }(a)\rightarrow R

满足

        (1)X_{a}(\alpha f+\beta g)=\alpha X_{a}f+\beta X_{a}g

        (2)X_{a}(f\cdot g)=(X_{a}f)\cdot g(a)+f(a)(X_{a}g)

其中\alpha ,\beta \in R;f,g\in C^{\infty }(a)

        定义4        Ma点的全体切向量的集合记成T_{a}(M)M_{a}T(M,a)。当规定

(X+Y)f=Xf+Yf

(bX)f=b(Xf)

运算法则后,T_{a}(M)构成向量空间,称为Ma点的切空间

        不难验证此定义是合理的。

        下面要给出切向量在局部坐标系下的坐标表示。

        设(U,\varphi )是包含a点的局部坐标系,其中坐标为(x_1,...,x_{n}),i=a,...,n,f\in C^{\infty}(a)定义

(\frac{\partial }{\partial x^i})_{n}f= \frac{\partial (f \circ \varphi )}{\partial r^i}(\varphi (a))

其中r^iR^n中的坐标函数,容易验证(\frac{\partial }{\partial x^i})_aMa点处的切向量。

        引理8        设x^1,...,x^nU \ni a的局部坐标,且使x^{i}(a)=0,i=1,...,n。则对于\forall f \in C^\infty (a),存在n个函数f_{1},...,f_n\in C^\infty (a)使得

f_i(a)=(\frac{\partial }{\partial x^i})_nf

而且在a的某个邻域中

f=f(a)+\sum _{i=1}^{n}x^{i}f_{i}

证明可参看引理2

        定理2        设MC^{\infty }流形,点a \in M附近的局部坐标为(x_1,...,x_{n}),如果x_a \in M_a,则

X_a=\sum _{i=1}^{n}(X_{a}x^{i})(\frac{\partial }{\partial x^i})

而且\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i}),i=1,...,n \right \}形成M_a的一组基

        证明:设X_a \in M_a,f \in C^\infty (a),在局部坐标系下,如果x^i(a)\neq o,i=1,...,n.可令y^i=x^i-x^i(a),则y^i(a)=0,i=1,...,n而且

(\frac{\partial f}{\partial y^i})_a=(\frac{\partial f}{\partial x^i})_a

        设c \in C^\infty (a)的常值函数芽,则

X_{a}(c)=cX_a(1)=cX_a(1)+cX_a(1)=2cX_a(1)=2X_a(c)

\therefore X_a(c)=0

        再根据引理3:

X_af=X_a[f(a)+\sum _{i=1}^{n}y^{i}\cdot f_i]

=X_{a}[f(a)]+\sum _{i=1}^{n}[(X_a y^i)f_i(a)+y^i(a)(X_af_i)]

=\sum _{i=1}^n X_{a}(x^i-x^i(a))f_i(a)

=\sum _{i=1}^{n}(X_ax^i)(\frac{\partial f}{\partial x^i})

\therefore X_a=\sum _{i=1}^{n}(X_ax^i)(\frac{\partial f}{\partial x^i})

最后在证明\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i})_a,i=1,...n \right \}是线性无关的就够了,设

Y_a= \sum_{i=1}^{n}\alpha ^i(\frac{\partial }{\partial x^i})_{a}=0

Y_ax^j=a^j=0,j=1,...n

所以,\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i}),i=1,...,n \right \}线性无关,构成M_a的一组基

        由此可见,n维流形在器上任一点处存在唯一的切空间,在局部坐标系下,它是由(\frac{\partial }{\partial x^i})_a,i=1,...,n为基张成的n维向量空间,由于我们采取了“导子”的抽象定义,显而易见,切向量与切空间的概念与坐标系的选取无关,在不同的局部坐标系下,他们只不过有不同的坐标表示罢了

        设U,VM的局部坐标域,且U \cap V \neq \Phi,并且(x^1,...,x^n)(U,\varphi)的坐标函数,(y^1,...,y^n)(V,\psi )的坐标函数,则在a \in U\cap V处,对于f \in C^\infty (a)

\frac{\partial }{\partial x^j}(f)=\frac{\partial }{\partial r^j}(f \circ \varphi ^{-1})

=\frac{\partial }{\partial r^j}(f\circ \psi ^{-1}\circ \psi \circ \varphi ^{-1})

=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial }{\partial r^i}(f\circ \psi ^{-1})\circ \frac{\partial }{\partial r^i}(r^i\circ \psi \circ \varphi ^{-1})

=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\cdot \frac{\partial f}{\partial y^i}

这就是坐标变换之下基变换的公式。

积流形

积流形是由两个微分流形的笛卡尔积所形成的流形

来自百度的概念

这边给出的定义就是“两个微分流形的笛卡尔积”

那么什么是笛卡尔积呢?

笛卡尔积指的是数学中,两个集合XY的笛卡尔,又称直积,记录为X\times Y,第一个对象是X的成员二第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员

假设集合A=\left \{ a,b \right \},集合B=\left \{ 0,1,2 \right \}则两个集合的笛卡尔乘积为\left \{ (a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2) \right \}

列维-奇维塔联络

①来自百度的定义

列为奇维塔联络联络,在黎曼几何中,是切丛上的无绕率联络,它保持黎曼度量(或伪黎曼流形)不变,在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中,共变导数一词经常用于列维奇维塔联络,联络的空间坐标表达式为克里斯托菲尔符

定义

配有<\cdot ,\cdot >的黎曼流形M的等距无扰联络\triangledown定义为

<\triangledown _{x}Y,Z>=\frac{1}{2}\left \{ X<Y,Z>+Y<Z,X>-<X,[X,Y]>+<Y,[Z,X]> \right \},则称M的列维奇维塔联络

②来自中国徐森林的《流形》

博主注:

Emmmmm,其实博主一直打算的是直接截图贴上去,而不是再浪费时间在打字一边,但是我不再打字一边的话,很多书籍因为扫描文件的问题,很多字母区分不开来,如i和j,l和i,所以我自己再打一遍也是校对,也是在加深学习的印象,但是这本书扫描的还行,而且公式太多了,我不是太想用LaTeX打出来了,所以就在这里截图贴上来了。

        

光滑映射

①来自百度的定义

        设MN为光滑流形,UM中开集,若对M,N的任意坐标映射x,y,f:U\rightarrow N满足y\cdot f\cdot x^{-1}为欧几里得空间的光滑函数,则称f为光滑映射

        若AM中任意子集,则f:A\rightarrow N若能扩张为\bar{f}:U\rightarrow N,其中UM的开集,且A\subset U,则成为光滑映射

②来自中国苏况存的《流形的拓扑学》的定义

1.2      光滑函数和光滑映射

        我们以开始就说过,光滑流形是这样的空间,在它上面可以讨论光滑函数,做法是很清楚的,令M,N为光滑流形,f:M\rightarrow N。我们说fP \in M点邻近是光滑的,如果有P点附近的坐标点(U,\varphi )Q=f(P)点附近的局部坐标(V,\psi )使映射\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}\varphi (p)邻近光滑,这就是有意义的,因为我们谈的是欧氏空间之间的映射。相容性保证了这定义与所用的局部坐标无关,特别若是N=R,我们就不需要\psi而说有一个光滑函数f:M\rightarrow R,\tilde{f}=f\circ \varphi ^{-1}f的一个局部表示,若\left \{ (U_{i},\varphi _{i}) \right \}是覆盖M的一族局部坐标,就有定义\varphi _{i}(U_{i})上的局部表示\tilde{f}_{i}=f\circ \varphi _{i}^{-1},这些函数之间有以下关系

\tilde{f}_{i}=\tilde{f}_{j}\circ \varphi _{ji},

\varphi _{ji}=\varphi_{j}\circ \varphi_{i}^{-1}:\varphi_{i}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \varphi_{j}(U_{i}\cap U_{j})成为局部坐标的迁移函数(transition funktion),反之,若函数\tilde{f}_{i}:\varphi_{i}(U_{i})\rightarrow R并是上述相容性条件成立,则定义在U_{i}上的局部函数\tilde{f}_{j}\circ \varphi _{i}U_{i} \cap U_{j}上是相互协调的,从而定义了一个整体函数f,整体的函数时常是这样从相容的局部的东西“粘”出来的,既然\tilde{f_{i}}是定义在R^n的子集\varphi _{i}(U_{i})\subset R^{n}上的,这就是经典的情况,但是采用整体的观点能对问题得到更好的展望,举例如下:

        复变函数论中经典的Liouville定理指出,在平面C上全纯而且有界的函数必是常数(想到代数学基本定理可以由此推出,你们会同意这是一个重要的定理),下面是经典的证法,将f展开成为幂级数

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_n z^n

它在全平面上收敛,取一个以z=0为心、r为半径的圆R,有

a_n = \frac{1}{2\pi i}\int _{R} \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz.

|f(z)|\leqslant M,很容易估计出

|a_{n}|\leqslant \frac{M}{r^n}

既然r是任意的,当n >1时候有a_n=0,即f(z)=a_{0}是常数

        我们要把Liouville定理作为解释为关于整体函数的一般事实,首先回顾一下可去奇点

        引理        g(x)在原点的邻域U中全纯但原点除外(即在U-\left \{ 0 \right \}中全纯)而且当z\rightarrow 0zg(x)\rightarrow 0,则g(z)可拓展为U的全纯函数。

        证        拓展如下

g(0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{R}\frac{g(z)}{z}dz

R是围绕0的圆(例如参看Ahlfors[1]p/100,中译本 p.122).

        把s^2看成Riemann球:C \cup \left \{ \infty \right \},它有局部坐标(U_1, \varphi_{1}),(U_2,\varphi_2),其中U_{1}=C, \varphi_{1}:U_1\rightarrow C为恒等映射,U_{2}=(C-\left \{ 0 \right \})\cup \left \{ \infty \right \},\varphi:U_2\rightarrow C为恒同映射,U_2=(C-\left \{ 0 \right \})\cup \left \{ \infty \right \},\varphi_2: U_2\rightarrow C定义为

\varphi_2(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{z},z \in C-\left \{ = \right \}, & \\ 0,z= \infty,& \end{matrix}\right.

我们看到,在\varphi_{1}(U_1\cap U_2)=C-\left \{ 0 \right \}上,迁移函数\varphi_{21}=\varphi_2 \cdot \varphi_1^{-1}正是

\varphi_{21}(z)=\frac{1}{z},z \in C- \left \{ 0 \right \}

因为在C - \left \{ 0 \right \}z \neq 0\varphi _{21}是全纯的,这就使S^2成为一个复流形(Riemann球)

        若f在全平面C上全纯,则它在\varphi_1(U_1)上定义局部函数f_1利用相容性,在\varphi _2(U_1 \cap U_2)=C-\left \{ 0 \right \}上定义f_2

f_2(z)=f_1\circ \varphi _{12}(z)=f(\frac{1}{z}).

因为f有界,所以条件

lim _{z\rightarrow 0}f_2(z)=0

显然成立,于是f_2可拓展到\varphi_2(U_2)上,(f_1,f_2)定义一个S^2上的整体全纯函数F:S^2 \rightarrow C

        然而紧复流形上的任意整体全纯函数必定是以场数,因为一方面这种函数之模必有最大值(紧性),另一方面,极值原理指出,任意的局部极大值都不可能存在,这些例子也表明了群传理论和光滑理论根本不同,在紧光滑流形上当然有很多非常值的整体光滑函数。

        我们又看到,已给一个光滑流形M,笛卡尔乘积M\times M也可构成光滑流形

        定义        Lie群G既是一个群,作为一个空间的光滑流形,而且群运算

        (G_1) G \times G \rightarrow G,(g_1,g_2)\mapsto g_1g_2

        (G_2) G\rightarrow G,g \mapsto g^{-1}

是光滑映射

        例如G=GL(n)是一个Lie群,条件(G_1)可从熟知的举证乘法公式

(AB)_{ij}= \sum_{k}A_{ik}B_{kj}

得出,(AB)_{ij}A_{ik}B_{kj}的光滑函数

        现在我们可以形式地定义光滑流形的范畴:对光滑映射f:M\rightarrow N若有另一光滑映射g:N\rightarrow M使f\circ g=id on N,g \circ f=id on M,f称为微分同胚(diffeomorphism),这就是光滑流形范畴中的同构(isomorphism)。类似地,也有拓扑范畴中的同构(即同胚)、C^k范畴、C^{\infty}范畴等都各有其范畴,这些理论的最终目的是解决两个对象的(object)同构与否,但是很少的几个例子就已看到,目前这还是一句空话,关于这一点,我们还得学习汗多只是才能谈到一点实质性的东西

博主注:这边还有最后一段最后提醒,但是没啥大用,所以就不引用了

向量的代数计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

向量的微分计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

Frobenius定理

来自美国F.W.瓦内尔的《微分流形与李群基础》

        1.60 定理(Frobenius)        令\mathfrak{D}M^d上的一个c维的C^{\infty}对合分布,令m \in M,那么存在\mathfrak{D}的一个过m的积分流形,实际上,存在一个以m为中心,以x_1,...,x_d为坐标函数的立方体坐标系(U,\varphi)使得片

(1)                                                x_{i}=常数,所有i\in \left \{ c+1,...,d \right \}

都是\mathfrak{D}的积分流形,而且如果(N, \psi )\mathfrak{D}连通积分流形使得\psi (N) \subset U,那么\psi(N)位于这些片之一中

我这次就没有讲解关于"外代数"的内容,因为个人认为外代数的内容更加复杂,而且其拓展出来的知识点将会更多,所以我在这里就省略了"外代数"的讲解,这一次拖更的太久了,实在抱歉,学业比较忙

资料来源:

1.黎曼流形_百度百科

2.黎曼度量_百度百科

3.知乎:关于Riemannian metric | 黎曼度量 - 知乎

4.《泛函分析》——[苏联] Д.В.Кангороеич和Г.П.Акилов

5.知乎:从三维空间衍生而来的数学空间——距离空间(度量空间) - 知乎

6.度量空间_百度百科

7.《黎曼几何初步》——[中国]伍鸿熙

8.《微分几何讲义》——[中国]陈省身

9.《微分流形和黎曼几何》——[中国]梅向明

10.列维奇维塔联络_百度百科

11.《流形》——[中国]徐森林

12.《微分流形初步》——[中国]陈维恒

13.《流形的拓扑学》——[中国]苏况存

14.《微分流形和李群基础》——[美国]F.W.瓦内尔

这篇关于代数几何导引(德文版)【瑞士 马库斯·布罗德曼(Markus Brodmann)】的读书笔记,翻译和感想(3)-知识点的补充与拓展的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/163315

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题意: 给几个点,把这几个点用直线连起来,求这些直线把平面分成了几个。 解析: 欧拉定理: 顶点数 + 面数 - 边数= 2。 代码: #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#inc

XTU 1237 计算几何

题面: Magic Triangle Problem Description: Huangriq is a respectful acmer in ACM team of XTU because he brought the best place in regional contest in history of XTU. Huangriq works in a big compa

poj 3304 几何

题目大意:给出n条线段两个端点的坐标,问所有线段投影到一条直线上,如果这些所有投影至少相交于一点就输出Yes!,否则输出No!。 解题思路:如果存在这样的直线,过投影相交点(或投影相交区域中的点)作直线的垂线,该垂线(也是直线)必定与每条线段相交,问题转化为问是否存在一条直线和所有线段相交。 若存在一条直线与所有线段相交,此时该直线必定经过这些线段的某两个端点,所以枚举任意两个端点即可。

POJ 2318 几何 POJ 2398

给出0 , 1 , 2 ... n 个盒子, 和m个点, 统计每个盒子里面的点的个数。 const double eps = 1e-10 ;double add(double x , double y){if(fabs(x+y) < eps*(fabs(x) + fabs(y))) return 0 ;return x + y ;}struct Point{double x , y

poj 2653 几何

按顺序给一系列的线段,问最终哪些线段处在顶端(俯视图是完整的)。 const double eps = 1e-10 ;double add(double x , double y){if(fabs(x+y) < eps*(fabs(x) + fabs(y))) return 0 ;return x + y ;}struct Point{double x , y ;Point(){}Po

论文翻译:arxiv-2024 Benchmark Data Contamination of Large Language Models: A Survey

Benchmark Data Contamination of Large Language Models: A Survey https://arxiv.org/abs/2406.04244 大规模语言模型的基准数据污染:一项综述 文章目录 大规模语言模型的基准数据污染:一项综述摘要1 引言 摘要 大规模语言模型(LLMs),如GPT-4、Claude-3和Gemini的快