代数几何导引（德文版）【瑞士马库斯·布罗德曼（Markus Brodmann）】的读书笔记，翻译和感想（3）-知识点的补充与拓展

本文主要是介绍代数几何导引（德文版）【瑞士马库斯·布罗德曼（Markus Brodmann）】的读书笔记，翻译和感想（3）-知识点的补充与拓展，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

我们上次在“代数几何导引（德文版）【瑞士马库斯·布罗德曼（Markus Brodmann）】的读书笔记，翻译和感想（3）”中还有不少内容没有讲完，所以仅仅是作为知识点总结和拓展，我就不将标题的名称更改为“代数几何导引（德文版）【瑞士马库斯·布罗德曼（Markus Brodmann）】的读书笔记，翻译和感想（4）”，只是简简单单将标题名称在第三讲的基础上添加一个一个“-知识点的补充和拓展”，可以和第三讲搭配阅读。

非常抱歉作者更新的速度较为慢，其主要原因就是要开学了，并且博主自己电脑的“d”键坏了，现在只能用学习提供的设备进行更新和研究，非常抱歉。

这是从上一讲的截图：

我想我们可以在这基础之上，添加或减少一些内容上的拓展以及概念上的应用，也许我们会用一些简单的例子或者题目来辅助我们的学习。

1.黎曼流形

①来自百度的概念

黎曼流形(Riemannian manifold)是一黎曼度量下的微分流形（关于微分流形，可以看上一讲的内容），设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形，若在 $M$ 上给定一个光滑的二阶协变张量场 $g$ ，则称呼 $(M,g)$ 为一个 $n$ 维流形， $g$ 称为该黎曼流形的基本张量或者黎曼张量，如果满足：

A) $g$ 是对称的，即：

$g(X,Y)=g(Y,X)(x,y\in T_{p}M,p\in M)$

B) $g$ 是正定的，即：

$g(X,X)\geqslant 0(X\in T_{p}M,p\in M)$

且等号仅在X=0的时候成立，

简单的来说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称的，正定的二阶张量场的光滑流形。

在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上具有一个对成正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间配备一个正定二次型。

②一些来自中国的梅向明的《微分流形和黎曼几何》的常曲率黎曼流形

博主注：这里博主实际上并没有找到只关于“黎曼流形”的内容，我在这一本书中找到的实际上是关于“常曲率黎曼流形”，但实际上，在这一章节中很多讲的都是关于“常曲率黎曼流形”和“完备常曲率黎曼流形”，在这里博主就仅仅摘录一小段（常曲率黎曼流形）出来作为一些引申拓展，我在这里不抄录“完备常曲率黎曼流形”了

第十章常曲率黎曼流形

$\S 10.1$ 常曲率黎曼流形

定义6 黎曼流形 $(M,g)$ 称为常曲率的，如果它的各点处所有平面截面的截面曲率等于相通的常数 $K$ ，这时，局部地有

$R_{ijkl}=-K(g_{ki}g_{jl}-g_{il}g_{jk})$

所以 $R_{ijkl;m}=0$ ，曲率张量场是平行的，因此，这黎曼流形是局部对称的。

设 $M$ 是一个黎曼流形， $U$ 是 $M$ 的一坐标域，局部坐标是 $(x^{1},......,x^{n})$ ， $\left \{ e_{1},......,e_{n} \right \}$ 是 $U$ 上的局部标准正交标架场， $(\omega ^{1},......,\omega ^{n})$ 是对偶标架场，则 $M$ 上有结构方程

$d\omega ^{i}=-\sum _{j}\omega _{j}^{i}\wedge \omega^{j},\omega_{j}^{i}+\omega_{i}^{j}=0$

$d \omega_{i}^{k}+\sum _{k}\omega_{i}^{k}\wedge \omega^{j}_{k}=\Omega _{i}^{j}$

其中

$\Omega_{i}^{j}=\frac{1}{2}\sum_{k,l}R_{ikl}^{j}\omega^{k}\wedge \omega^{l}$

如果M是长曲率的，注意现在

$g_{ij}=g(e_{i},e_{j})=\delta _{ij}$

$\therefore R_{ikl}^{j}=R_{ijkl}=-K(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})$

$\Omega_{i}^{j}=K\omega ^{i}\wedge \omega^{j}$

实例：

（1） $n$ 维度欧式空间 $R^{n},K=0$ ；

（2） $R^{n+1}$ 中的单位球面 $S^{n}$ ， $K=+1$ ；

（3）双曲空间 $H^{n}$ ，命 $M$ 是 $R^{n}$ 的上半平面 $=\left \{ x\in R^{n}:x^{n}>0\right \}$ 带有黎曼度量（注意 $M$ 只用一个坐标域覆盖）

$ds^{2}=\frac{1}{(x^{n})^{2}}\left \{ (dx^{1})^{2}+...+(x^{n})^{2}\right \}$ ，即 $g_{ij}=\frac{1}{(x^{n})^{2}}\delta_{ij}$ 命 $\left \{ e_{i}=x^{n}\frac{\partial }{\partial x^{i}} (i=1,...,n)\right \}$ 这是 $M$ 上的标准正交标架场，对偶标价场是 $\left \{ \omega^{i}=(x^{n})^{-1}dx^{i},i=1,......,n \right \}$ 容易证明:

$\omega_{i}^{j}=\delta_{nj}\omega^{i}-\delta_{ni}\omega^{j}$

满足结构方程

$d\omega^{i}=\sum_{j}\omega^{j}\wedge \omega_{j}^{i},\omega_{i}^{j}+\omega_{j}^{i}=0$

$\Omega_{i}^{j}=d\omega_{i}^{j}+\sum_{k}\omega_{i}^{k}\wedge \omega_{k}^{j}=-\omega^{i}\wedge\omega^{i}$

$K=-1$

2.度量空间

①来自苏联(С.С.C.Р.)的Д.В.Кангороеич和Г.П.Акилов的《泛函分析》（引用的是第二版，第一版书的中文翻译是《赋范空间中的泛函分析》）

$\S 3.$ 度量空间

3.1. 度量空间是一类非常重要的拓扑空间，集合 $X$ 叫做度量空间，如果每一对元素 $x,y\in X$ 都对应一个实数 $\rho (x,y)$ （元素 $x$ 与 $y$ 之间的距离），满足条件：

1） $\rho (x,y)\geqslant 0;$ 当且仅当 $x=y$ 时 $\rho (x,y)=0$ ；

2） $\rho (x,y)=\rho (y,x)$

3）对于任何 $z\in X$ , $\rho(x,y)\leqslant \rho(x,z)+\rho(z,y)$ （三角不等式）

所引进的函数 $\rho:X\times X\rightarrow R$ 叫做度量， $n$ 维度欧式几何空间 $R^{n}$ 直线段，圆周（如果取点之间最短弧的长度作为圆周上的距离）等可以作为最简单的度量空间的例子

设 $X$ 是具有度量 $\rho$ 的度量空间，集合

$K_{\varepsilon }(X_{0})=\left \{ x\in X:\rho (x,x_{0})\leqslant \varepsilon \right \}$

叫做以点 $x_{0}\in X$ 为中心 $\varepsilon >0$ 为半径的开球 $K_{1/n}(x)(n\in N,x\in X)$

集合

$B_{\varepsilon }(x_{0})=\left \{ x\in X:\rho (x,x_{0})\leqslant \varepsilon \right \}$

叫做以点 $x_{0}\in X$ 为中心的 $\varepsilon >0$ 为半径的闭球（下面通常简称为球）

定理1. 集合 $K_{1/n}(x)(n\in N,x\in X)$ 的总体满足2.3.中的条件1)-3)，即构成集合 $X$ 中的基底

证. 因为 $\rho (x,x)=0$ ，所以条件1）显然成立，如果 $n,m\in N$ 且 $p=max(n,m)$ ，则 $K_{1/p}(x)\subset K_{1/n}(x)\subset K_{1/m}(x)$ ，于是，条件2）成立，如果 $V_{x}=K_{1/n}(x)$ ，则令 $V'_{x}=K_{1/(2n)}(x)$ 便有 $V'_{x}\subset V_{x}$ ，此外，如果 $y=V'_{x}$ 且 $V_{y}=K_{1/(2n)}(y)$ ，则 $V_{y}\subset V_{x}$ ，因为三角不等式，对于任何 $z\in V_{y}$ ，有 $\rho (x,z)\leqslant \rho(x,y)+ \rho(y,z)<1/(2n)+1/(2n)=\frac{1}{n}$ .由此可见，条件3）成立.

在定理2.1中挺进的构造，用典型的方式把度量空间 $X$ 变为以开球为基底的空间，定理1也指出， $X$ 中的每个点都具有可数的基底.所以，为了描述 $X$ 中的拓扑，只须限于收敛序列（见2.6,性质6）.我们指出，在所得拓扑空间中 $x_{n}\rightarrow x$ 当且仅当 $\rho (x_{n},x)\rightarrow 0$ .

其拓扑是由某种度量生成的拓扑空间叫做可度量化的（绝不是所有的拓扑空间都是可度量化的；这种空间的例子我们将在下面看到），应该指出，同一个拓扑可以由不同的度量生成.

定理2. 1) $\rho (x,y)$ 是其变元的连续函数，即如果 $x_{n}\rightarrow x_{0},y_{n}\rightarrow y_{0}$ ，则 $\rho (x_{n},y_{n})\rightarrow \rho (x_{0},y_{0})$

2)度量空间是Hausdorff空间（因而收敛序列只能有一个极限）.

证. 1）由三角形不等式得关系式

$\rho (x',y')-\rho(x,y)\leqslant \rho (y,y') + \rho (x,x').$

交换 $x,y$ 与 $x',y'$ 的位置，得到相反符号的不等式，由此

$|\rho (x',y')-\rho(x,y)|\leqslant \rho(x,x')+\rho (y,y')$ $(1)$

利用此式，得

$|\rho (x_{n},y_{n})-\rho(x_{0},y_{0})|\leqslant \rho (x_{n},x_{0})+\rho(y_{n},y_{0})\rightarrow 0.$

2) 如果 $x \neq x_{0}$ ，则 $e=\rho(x,x_{0})/2>0$ ，由三角形不等式推得，开球 $K_{\varepsilon}(x)$ 和 $K_{\varepsilon}(x_{0})$ 不相交.

下面我们需要点到集合 $E\subset X$ 的距离的概念，如同在欧式空间一样，我们把这个量定义为

$\rho(x_{0},E)=inf_{x\in E}\rho(x_{0},x).$

不难看出， $\rho (x_{0},E)=0$ 等价于 $x_{0}\in \bar{E}$

设 $X_{0}$ 是度量空间 $X$ 中的集合，因为对于集合 $X$ 中德每一对元素都定义了距离，所以对于 $X_{0}$ 中的元素对也定义了距离，显然，它满足度量空间的公理1)-3),从而 $X_{0}$ 自然成为度量空间，这时我们就称在 $X_{0}$ 中的度量是由空间 $X$ 的度量诱导而得到的，或者称呼空间 $X_{0}$ 是度量空间的 $X$ 的子空间

假设在两个度量空间 $X$ 和 $Y$ 的元素之间可以建立一一对应，使得空间 $X$ 和 $Y$ 对应的元素之间的距离相等，这样的空间叫做等距的，显然，在等距空间之一中具有的所有的度量关系，在另一个中也同样成立，因此，这样的空间之间的差别仅在于元素的具体性质，而不涉及与空间的距离有关的本质，这种情况为把等距的空间等同起来提供了根据.

博主注：

事实上，对于这句话“使得空间 $X$ 和 $Y$ 对应的元素之间的距离相等”，我想必然有人要问如何计算度量空间之间的距离，不同的空间有不同的距离计算方法，所以有不同的度量空间，比如欧式空间，离散空间，可测函数和序列空间中的距离定义是不同的

3.2. 现在引进比较复杂的度量空间的例子，在本书中以函数作为元素的空间起着主要的作用，这里及以后，已经某个以数值函数为元素的空间 $X$ 时，如果没有相反的约定，我们总是同时考虑两个空间：由满足相应条件的实函数全体组成的实空间 $X$ 以及由同样满足条件的复函数全体组成的复空间 $X$ ，这两种空间在表示上照例是不加区分的，如果在某一个命题中，我们没有提到空间是实的或者复的，则表明这个命题在两种情况都成立.

1）设 $K$ 是紧空间，空间 $C(K)$ 是紧空间 $K$ 上所有连续函数的集合，其中函数 $x$ 和 $y$ 之间的距离由下式定义：

$\rho (x,y)=sup_{t\in K}|x(t)-y(t)|$

验证条件1)-3)并不困难，因此我们忽略了，因为紧空间上的连续函数达到其最大值（见定理2.6），所以也可以写为

$\rho (x,y)=max_{t\in K}|x(t)-y(t)|.$

空间 $C(K)$ 中元素序列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 收敛于点 $x_{0}$ 表示函数列 $\left \{ x_{n}(t) \right \}$ ，一致收敛于函数 $x_{0}(t)$ .事实上，如果按任意 $\varepsilon >0$ 选取 $N$ ，使得当 $n\geqslant N$ 的时候有 $\rho(x_{n},x_{0})<\varepsilon$ ，则表示对这样的 $n$

$sup_{t\in K}|x_{n}(t)-x_{0}(t)|<\varepsilon$

从而对于所有的 $t \in K$ ，不等式

$|x_{n}(t)-x_{0}(t)|<\varepsilon$ $(n\geqslant N)$

成立，由此推得要证明的一致收敛性.

反之亦然：从连续函数一致收敛于连续函数推得在空间 $C(K)$ 中对应元素的收敛性。如果 $K=[a,b]$ ，则记为 $C[a,b]$ .

2）空间 $s$ 是所有数列的集合，其中数列 $x=(\xi _{1},\xi_{2},...,\xi_{k},...)$ 与 $y=(\eta _{1},\eta_{2},...,\eta_{k},...)$ 之间的距离用以下的定义：

$\rho (x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi _{k}-\eta _{k}|}{1+|\xi_{k}-\eta_{k}|}$

验证度量空间的公理1)与2)并没有困难，由于函数 $\varphi (\lambda )=\frac{\lambda}{1+\lambda}$ 当 $\lambda \geqslant 0$ 时递增，所以有数值不等式

$\frac{|\alpha +\beta |}{1+|\alpha +\beta |}\leqslant \frac{|\alpha |+|\beta |}{1+|\alpha|+|\beta|}\leqslant \frac{|\alpha |}{1+|\alpha|}+\frac{|\beta|}{1+|\beta|}$ $(2)$

从而推出条件3)成立.

如果序列 $\left \{ x_{n} \right \}(x_{n}=(\xi _{1}^{(n)},\xi _{2}^{(n)},...,\xi _{1}^{(n)},...),n=1,2,...)$ 收敛于元素 $x_{0}=(\xi _{1}^{(0)},\xi _{2}^{(0)},...,\xi _{k}^{(0)},...)$ ，则表示

$lim_{n\rightarrow \infty }\xi _{k}^{(n)}=\xi _{k}^{(0)}$ $(k=1,2,...)$ $(3)$

即 $s$ 中点的序列的收敛是按坐标收敛，也就是点 $x_{n}$ 的每个坐标都收敛于极限点 $x_{0}$ 的对应的坐标.

事实上，由不等式

$\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi _{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}{1+|\xi _{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}\leqslant \rho (x_{n},x_{0})$ $(k=1,2,...)$ $(4)$

知，如果 $x_{n}\rightarrow x_{0}$ ，则得 $\xi _{k}^{(n)}\rightarrow \xi _{k}^{(0)}$ $(k=1,2,...)$

反之，如果条件(3)成立，由于级数

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}\frac{|\xi_{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}{1+|\xi_{k}^{(n)}-\xi_{k}^{(0)}|}=\rho (x_{m},x_{0})$

关于 $n$ 一致收敛（ $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k}}$ 是它的强级数），故可以逐项极限，且因级数的每一项都趋于0，所以 $\rho (x_{n},x_{0})\rightarrow 0$

由上面的证明可以推导出，空间 $s$ 是可数的直线族的拓扑积.

我们还指出空间 $C^{(1)}[a,b]$ （为了和复空间 $C^{n}$ 区分开来，这里我们对上指标加上圆括号），其元素是定义在 $[a,b]$ 上且在此区间上有直到 $l$ 阶连续导数的函数， $x,y\in C^{l}[a,b]$ 之间的距离可以定义为：

$\rho (x,y)=\sum _{k=0}^{l}max_{a\leqslant t\leqslant b}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|$

$(x^{(0)}(t)=x(t),y^{(0)}(t)=y(t)).$

$C^{(l)}(a,b)$ 中的收敛表示函数序列以及 $k(1\leqslant k\leqslant l)$ 阶导数序列都一致收敛

我们也可以研究空间 $C^{(1)}(D)$ ，它是由多维空间的区域 $D$ 内自身以及直到 $l$ 阶的偏导数都连续的函数所组成（见 $(IV.4.4).$ ）

我们指出，如果在 $C(K)$ 中引进序： $x\geqslant y$ 当且仅当对于任何 $t\in K$ 有 $x(t)\geqslant y(t)$ 而在 $s$ 中约定， $x=(\xi_{k})^{\infty }_{k=1}\geqslant (\eta _{k})_{k=1}^{\infty }$ 当且仅当对于任何 $k\in N$ 有 $\xi_{k}\geqslant \eta _{k}$ ，则 $C(K)$ 与 $s$ 称为有序集（但不是全序的）

②来自百度的定义

度量空间也称为距离空间，一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定，设 $R$ 是一个非空集合， $\rho(x,y)$ 是 $R$ 上的二元函数，满足以下条件：

1. $\rho(x,y)\geqslant 0$ 且 $\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y$

2. $\rho(x,y)=\rho(y,x)$

3. $\rho (x,y)\leqslant \rho(x,z)+\rho(y,z)$

则称 $\rho(x,y)$ 为两点 $x,y$ 之间的距离， $R$ 按距离 $\rho$ 成为度量空间或距离空间，记为 $(R,\rho)$ ，设 $A$ 是 $R$ 的子集

3.度量

①来自百度的定义：

度量，也就是距离函数，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用 $d$ 来表示，度量空间也被称为距离空间，是一类特殊的拓朴空间。

详细定义：

设 $X$ 为一个非空集合，其元叫做点， $\mathbb{R}$ 是全体实数的集。

若函数 $d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ 对于任意 $x,y,z\in X$ 满足条件；

（a） $d(x,y)\geqslant 0$ ，当且仅当 $x=y$ 时候成立；（这个就是正定性）

（b） $d(x,y)=d(y,x)$ ；（对称性）

（c） $d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(z,y);$ （三角不等式）

则称呼函数 $d$ 为集合 $X$ 上的一个距离函数或者度量，赋予度量 $d$ 的集合 $X$ 称为度量空间，记为 $(X,d)$

4.黎曼度量

①来自百度的定义

每个光滑流形都配有黎曼度量

定义一：

设 $M$ 为光滑流形，则 $M$ 上的黎曼度量为 $M$ 上光滑对称共变2张量场，且在 $M$ 上每个点均为正定

定义二：

设 $M$ 为光滑流形，则 $M$ 上的黎曼度量为 $M$ 上每点 $p$ 给定切空间 $T_{p}M$ 上的内积，且在 $M$ 上各点光滑

②来自中国的伍鸿熙的《黎曼几何初步》的关于黎曼度量的内容

$C^{\infty }$ 流形 $M$ 上一个黎曼度量 $g$ 是什么呢？我们帮助大家回忆一下定义， $g$ 是一个" $C^{\infty }$ 指定”。“指定”的含义就是对于 $M$ 的每一个切向量空间 $M_{x}(x\in M)$ ，指定 $M_{x}$ 中的一个向量内积 $g_{x}(,)$ （有时候 $g_{x}(,)$ ，记录为 $<,>_{x}$ ，类似地有时记 $g(,)$ 为 $<,>$ ）所谓指定的 $C^{\infty }$ 的，那表示：对 $M$ 的任意一个局部坐标系 $(x^{1},x^{2},...,x^{n})$ ，如今

$g_{ij}(x)=g_{x}(\frac{\partial }{\partial x_{i}},\frac{\partial }{\partial x_{j}}),$

则这些 $g_{ij}(x)$ 是坐标 $(x^{1},...,x^{n})$ 的 $C^{\infty }$ 函数，在此提醒注意： $g_{x}(,)$ 是内积这一事实相当于矩阵 $[g_{ij}(x)]_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ 是正定对称的，如果用张量的语言来说， $g$ 其实就是 $M$ 上一个 $C^{\infty }$ 流形上总可以找到一个黎曼度量（参阅[CC]，第130页定理1.1）

博主注：

1.勘误"（参阅[CC],第133页定理1.1）"为“（参阅[CC]，第130页定理1.1）”，这里参阅的书籍是陈省身的《微分几何讲义》

参见的陈省身的《微分几何讲义》部分

        定理1.1 在 $m$ 维光滑流形 $M$ 上必有黎曼度量

        证明   取 $M$ 的局部有限的坐标覆盖 $\left \{ (U_{a};u_{a}^{i}) \right \}$ ，设 $\left \{ h_{a} \right \}$ 是从属的单位分解，使得支集 $supp h_{a}\subset U_{a}$ .命

$ds_{a}^{2}=\sum _{i=1}^{m}(du_{a}^{i})^{2},$                  $(1.9)$

$ds^{2}=\sum _{a}h_{a}\cdot ds_{a}^{2},$                  $(1.10)$

其中 $h_{a}\cdot ds_{a}^{2}$ 定义为

$(h_{a}\cdot ds_{a}^{2})(p)=\left\{\begin{matrix} h_{a}(p)ds_{a}^{2},p \in U_{a} ,& \\ 0, p\in U_{a} ,& \end{matrix}\right.$                  $(1.11)$

它们是 $M$ 上的光滑的二次微分式.因为在每一点 $p \in M,(1,10)$ 式右端只是有限项的和，所以该式是有意义的，实际上，若取 $p$ 的一个坐标域 $(U;u^{i}),$ 使得 $\bar{U}$ 是紧致的，由于 $\left \{ U_{a} \right \}$ 的局部有限性，所以 $U$ 只与其中有限多个成员 $U_{a_{1}},...,U_{a_{r}}$ 相交，因此 $(1.10)$ 式限制在 $U$ 上成为

$ds^{2}=\sum _{\lambda =1}^{r}h_{a_{\lambda}}\cdot ds_{a_{\lambda}}^{2}=g_{ij}du^{i}du^{j}$

其中

$g_{ij}=\sum _{\lambda=1}^{r}\sum _{k=1}^{m}h_{a_{\lambda}}\frac{\partial u_{a_{\lambda}}^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial u_{a_{\lambda}}^{k}}{\partial u^{j}}$                  $(1.12)$

        因为 $0\leqslant h_{a}\leqslant 1,\sum _{a}h_{a}=1$ ，故有某一指标 $\beta$ ，使 $h_{\beta}(p)>0$ 于是

$ds^{2}(p)\geqslant h_{\beta}\cdot ds_{\beta}^{2}.$

由此可见， $ds^{2}$ 在 $M$ 上处处是正定的.

        注记在流形上黎曼度量的存在性并非平凡的结果，例如， $M$ 上不一定存在非正定的黎曼度量（但这一点较难证明），从纤维丛的观点看，在 $M$ 上存在黎曼度量，说明 $M$ 上对称的二阶协变张良从必有正定的光滑截面，然而，对于任意的矢量丛，处处不为零的光滑截面却不一定存在.

        下面假定 $M$ 是广义黎曼流形，在局部坐标系改变时，基本张量 $G$ 的分量变换公式是

$g^{ik}g_{kj}=g_{jk}g^{ki}=\delta ^{i}_{j}$                  $(1.13)$

那么，容易证明 $g^{ij}$ 的坐标变换公式是

$g^{lij}=g^{kl}\frac{\partial u^{li}}{\partial u^{k}}\frac{\partial u^{lj}}{\partial u^{l}}$                  $(1.14)$

因此 $(g^{ij})$ 是对称的二阶反变相量.

        借助与基本张量，可以把切空间的余切空间等同起来，因而反变矢量和协变矢量可以看做是同一个矢量的不同表现形式，实际上，若 $X \in T_{p}(M)$ ，命

$a_{X}(Y)=G(X,Y),Y\in T_{p}(M),$                  $(1.15)$

则 $a_{X}$ 是 $T_{p}(M)$ 上的线性函数，即 $a_{X}\in T_{p}^{*}(M)$ .反过来，因为 $G$ 是非退化的，所以 $T_{p}^{*}(M)$ 中任意一个元素都可以表成 $a_{X}$ 的形式，这样，对应 $X \mapsto a_{X}$ 在 $T_{p}(M)$ 和 $T_{p}^{*}(M)$ 之间建立了同构，用分量表示，若

$X=X^{i}\frac{\partial }{\partial u^{i}},a_{X}=X_{i}du^{i},$

则从 $(1.15)$ 式可以得到

$X_{i}=g_{ij}X^{j},X^{j}=g^{ij}X_{i}.$                  $(1.16)$

此外，可以直接验证，如果 $(X^{i})$ 是反变矢量，则由 $(1.16)$ 式定义的 $(X_{i})$ 遵从协变矢量的交换规律.

        一般地，若 $(t^{i}_{jk})$ 是 $(1,2)$ 型张量，则

$t_{ijk}=g_{il}t^{l}_{jk},t^{ij}_{k}=g^{jl}t^{i}_{lk}$                  $(1.17)$

分别是 $(0,3)$ 型张量和 $(2,1)$ 型张量.如 $(1.17)$ 式给出的运算通常称为张量指标的下降或上升.

连续统

①来自百度的定义

简单的来说，举个例子，我们说"实数集内实数可以连续变动"，我们则称"实数集"为"连续统"，"平面是二维的连续统"，"空间是三维的连续统"，更加严格的描述需要序理论和拓扑学的数学工具，连续统指的是"连续不断的数集"

一）连续统在数序中的定义

与区间 $(0,1)$ 对等的集合就叫做连续统，对等就是找到了一个映射，使得他们之间的元素满足一一映射

二）连续统在集合论中的定义与性质

在集合论中，连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集，而且其序满足如下性质：

稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素

无洞：由上界的非空子集一定有上确界，实数集即为连续统的例子，实际上它是连续统的原型

以下是连续统的例子：

序结构与实数集同构（序同构）的集合，例如在实数集和里面的任何开区间扩展实数轴，以及序同构域它的，比如单位区间。实的半开半闭区间如 $(0,1]$ 等，以及其序同构，拓扑学有一种比实数还要长的“长线”非标准分析中的超实数集。

切向量

①来自百度的定义

曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量.

切向量是与曲线相切的向量，给定曲线 $C$ 上一点 $P$ ， $Q$ 是 $C$ 上与 $P$ 的邻近一点，当 $Q$ 点沿曲线趋近于 $P$ 时，割线 $PQ$ 的极限位置称为曲线 $C$ 在 $P$ 的切线

导子

设 $m$ 为微分流形 $M$ 中的一点，则 $m$ 的切向量为 $m$ 点的光滑函数芽 $F_{m}$ 的导子

光滑曲线

光滑曲线 $c:l\rightarrow M$ 在 $t$ 点的切向量定义为 $\dot{c}(t):=c_{*t}D(t)$ ，则对 $\varphi \in \mathfrak{F}M$ ，

$\dot{c}(t)(\phi)=c_{*t}D(t)(\phi)=D(t)(\phi ^{\circ}c)=(\phi ^{\circ}c)'(t)$

②来自美国的Martin M. Lipschutz的《Theory and problems of Differential Geometry》（纲要式丛书《Schaum's Outline Series》之一）

博主注：

这里博主采用参考的是于1989年9月出版的《微分几何的理论和习题》的中文翻译版本，由黄锦能，杨正清，李世杰先生翻译，左再思先生提出有益的建议，曾如皋好麦兆娴先生发现漏洞并作出改正

1.单位切向量

设 $X=X(s)$ 是正则曲线 $C$ 的自然参数表示，导数 $dX/ds=\dot{X}(s)$ 用以确定 $C$ 在点 $\dot{X}(s)$ 的切线方向，这与我们的几何直觉相符，因为

$\dot{X}(s)=lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{X(s+\Delta s)-X(s)}{\Delta s}$

且 $\frac{X(s+\Delta s)-X(s)}{\Delta s}$ 是 $C$ 的割线方向，如图4-1所示，又因为对自然参数表示 $|dX/ds|=|\dot{X}|=1$ ，所以向量 $\dot{X}$ 还具有单位长度

若 $X=X(s^{*})$ 是 $C$ 的另一个自然参数表示，则由定理3.4， $s=\pm s^{*}+$ 常数且

$\frac{dX}{ds^{*}}=\frac{dX}{ds}\frac{ds}{ds^{*}}=\pm \frac{dX}{ds},$

即 $dX/ds^{*}$ 与 $dX/ds$ 有相同或者相反的方向，它取决于 $X=X(s^{*})$ 的定向，于是 $\dot{X}$ 是定向的，在图4-1中，它的正向是s增加的方向

向量 $\dot{X}(s)$ 称为定向曲线 $X=X(s)$ 在 $X(s)$ 的单位切向量，并记作 $t=t(s)=\dot{X}(s)$

例4.1 沿着螺线 $X=a(cost)e_1+a(sint)e_2+be_3$ , $a,b \neq 0$ ，有

$\frac{dX}{dt}=-a(sint)e_1+a(cost)e_2+be_3$

且 $|\frac{dX}{ds}|=(a^2+b^2)^\frac{1}{2}$ ，于是

$t=\frac{dX}{ds}=\frac{dX}{dt}\cdot \frac{dt}{ds}=\frac{dX}{dt}/\frac{ds}{dt}=\frac{dX}{dt}/|\frac{dX}{dt}| =(a^2+b^2)^{-1/2}(-a(sint)e_1+a(cost)e_2+be_3),$

这里用到 $ds/dt=|dX/dt|$ （定理3.4），我们看到，沿着这条螺线单位切向量 $t$ 和 $x_3$ 轴交成定角 $\theta=arccos(t\cdot e_s)=arccosb(a^2+b^2)^{-\frac{1}{2}}$

如同单位切向量一样，沿着曲线的其他几何量也可用自然参数表示来确定，然而，像上面的例子，运用链法则和关系式 $ds/dt=|dX/dt|$ ，这些量亦可以用其他参数表出。

设 $X=X(t)$ 是 $C$ 的任意参数表示且与 $X=X(s)$ 有相同的定向，则

$X'=\frac{dX}{dt}=\frac{dX}{ds}\frac{ds}{dt}=t|\frac{dX}{dt}|=t|X'|,$

其中再次用到 $ds/dt=|dX/dt|$ ，于是 $t$ 与 $X'$ 有相同的，即它也是曲线的切向量，并且

$t=X'/|X'|$ $(4.1)$

切空间

①来自百度的定义

切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。切空间是微分流形在一点处所联系的向量空间，是欧式空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。

代数几何定义

设 $V$ 为由根理想生成元 $F_1,...,F_r$ 定义的仿射簇，则 $V$ 在点 $p$ 的切空间为线性簇

$T_pV=\mathbb{V}(dF_1|_{p}(x-p),...,dF_r|_p(x-p))$

该切空间与生成元的选取无关

②来自梅向明的《微分流形和黎曼几何》的定义

$\S 2.2$ 切空间与切映射

1. $R^{n}$ 中一点处的切向量

设 $a$ 是 $R^n$ 中的一点，所谓 $a$ 点附近的 $C^\infty$ 函数 $f$ 是指定义在 $a$ 的某个邻域 $U$ 上的 $C^\infty$ 函数，我们在 $a$ 点附近的所有的 $C^\infty$ 函数中定义一种等价关系：函数 $f\sim g$ ，当且仅当在 $a$ 的某点邻域中 $f\equiv g$ .用 $[f]$ 表示 $f$ 代表的等价类，每个等价类为 $a$ 点处一个 $C^\infty$ 函数芽(germ)。a点处的全体 $C^\infty$ 函数芽的集合用 $C^\infty(a)$ 来表示。

定义1 $[f]+[g]=[f+g]$

$k[f]=[kf],k\in R$

即由 $a$ 点邻域函数的运算诱导处函数芽得到运算，因此， $a$ 点处 $C^\infty$ 函数芽构成向量空间

如果再定义

$[f]\cdot [g]=[f\cdot g]$

则 $C^\infty(a)$ 构成实数域上的代数。

为了书写方便，以后用到芽 $[f]$ 时，省去括号只写 $f$

在 $R^n$ 中以 $a$ 点为起点的全体向量构成一个 $n$ 维向量空间，即

$R^n$ 在 $a$ 点处的切空间，集成 $T_a(R^n)$ 。显然有同构关系

$T_a(R^n)\cong R^n$

设 $E_{1a},E_{2a},...,E_{na}$ 表示由原 $R^n$ 中标准正交基平移到 $a$ 所得到的 $T_{a}(R^n)$ 的一组标准正交基，则 $T_{a}(R^n)$ 中任一向量 $X_{a}$ 可以表示为、

$X_{a}=\sum_{i=1}^{n}a^{i}E_{ia}$

设 $f\in C^{\infty }(a)$ ，用 $\Delta f=\sum _{i=1}^{a}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}} |_{a}$ 来表示函数 $f$ 在 $a$ 点沿方向 $X_{a}$ 的方向导数。因为 $\Delta f$ 依赖于 $f$ ，点 $a$ 及方向 $X_{a}$ ，因此用 $X_{a}^{*}f$ 表示更好，这样

$X_{a}^{*}f=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|$

当 $X_{a}$ 给定后，任一 $f\in C^{\infty }(a)$ 唯一地确定了一个实数 $X_{a}^{*}f$ 。因此 $f\rightarrow X_{a}^{*}f$ 定义了映射

$X_a^*:C^{\infty }(a)\rightarrow R$

用 $X_{a}^*=\sum _{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}$ 表示这个映射是合理的，我们称 $X_{a}^{*}$ 为 $X_{a}$ 方向的方向导子，由于 $X_{a}^{*}(x^{i})=a^{i}$ ,所以只要知道 $X_{a}^{*}$ 在坐标函数 $x^{i}=r^{i}(x)$ 上的值，向量 $X_a$ 和映射 $X_{a}^{*}$ 就完全确定了。

由于导数的性质，容易看出，如果 $\alpha ,\beta \in R$ ， $f,g \in C^\infty (a)$ ，则

$(1)X_{a}^{*}(\alpha f+\beta g)=\alpha(X_{a}^*f)+\beta(X_{a}^{*}g),$

$(2)X_{a}^{*}(f\cdot g)=(X_{a}^{*}f)g(a)+f(a)(X_a^*).$

2.导子空间

定义2 命 $\mathfrak{D}(a)$ 表示具有上述性质（1）、（2）的映射 $C^{\infty }(a)\rightarrow R$ 的全体，即

$\mathfrak{D}(a)=\{ D:C^{\infty}(a)\rightarrow R$ 满足条件（1）、（2） $\}$

这些 $D\in \mathfrak{D}(a)$ 称为 $C^{\infty}(a)\rightarrow R$ 的导子(derivation)

如果对于 $\forall D_1,D_2\in \mathfrak{D}(a);\alpha,\beta \in R,f\in C^{\infty}(a),$ 定义

$(\alpha D_1+\beta D_2)f=\alpha D_1 f+\beta D_2 f$

其中右边的运算是在 $R$ 中进行的，那么容易证明 $\mathfrak{D}(a)$ 是实数域 $R$ 上的向量空间，我们称它的导子空间。

定理1 $T_{a}(R)\approx \mathfrak{D}(a)$ （向量空间的同构）

为了证明定理，先给出两个引理

引理1 命 $D$ 是 $\mathfrak{D}(a)$ 中任一导子， $f\in C^{\infty } (a)$ 是 $a$ 的某领域中的常值函数，则 $Df=0$ .

证明：因为 $D$ 是线性的，只须证明：如果1表示取值为1的常函数，则 $D1=0$ 。注意

$D1=D(1\cdot 1)=(D1)\cdot 1+1\cdot (D1)=2D1,\therefore D1=0.||$

引理2 命 $f(x^1,...,x^n)$ 是在某开集 $U$ 上定义的 $C^{\infty }$ 一函数，如果 $a \in U$ ，则存在 $a$ 的一个领域 $B\subset U$ ，以及定义在 $B$ 上的 $C^{\infty }$ 一函数 $g^{1},...,g^{n},$ 使得

$(1)g^{i}(a)=\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|_{x=a},$

$(2)f(x^{1},...,x^{n})=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a)g^{i}(x).$

证明：命 $B\subset U$ 是 $a$ 的一个球域，注意对于 $x\in B$

$f(x)=f(a)=\int_{0}^{1} \frac{\partial }{\partial t}f(a+t(x-a))dt$

因此，

$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a^{i})\int_{0}^{1}(\frac{\partial f}{\partial x^i})_{a+t(x-a)}dt$

命

$|g^{i}(x)\int_{0}^{1}(\frac{\partial f}{\partial x^{i}})_{a+t(x-a)}dt,i=1,...,n$

这些是 $C^{\infty }$ 函数且满足要求的两个条件。||

定理的证明：由于给定了 $X_{a}^*\in T_{a}(R^{n})$ ，就唯一确定了 $X_{a}^*\in \mathfrak{D}(a)$ ，这样决定了一个映射

$T_{a}(R^{n})\rightarrow \mathfrak{D}(a)$

（1）此映射是一一的。因为，如果有 $X_{a}^{*}=Y_{a}^{*}$ ，则对于 $\forall f \in C^{\infty }(a)$ ，有 $X_{a}^{*}=Y_{a}^{*}$ ，也别对坐标函数 $x^{j}$ 有

$X_{a}^{*}(x^j)=Y_{a}^{*}(x^{j})$

设 $x_{a}=\sum _{i=1}^{n}a^{i}E_{ia},Y_{a}=\sum _{i=1}^{n}\beta^{i}E_{ia}$ 则

$X_{a}^{*}(x^{i})=\sum a^{i} \frac{\partial x^{j}}{\imath x^{i}}=a^{j}$

$Y_{a}^{*}(x^{i})=\sum \beta^{i} \frac{\partial x^{j}}{\imath x^{i}}= \beta ^{j}$

$\therefore \alpha ^{j}=\beta^{j}$ 即 $X_{a}=Y_{a}$

（2）此映射保持代数结构。若 $Z_{a}=\alpha X_{a}+ \beta Y_{a};\alpha ,\beta \in R$ ，则对任意的 $f \in C^{\infty }(a)$ ，有

$Z_{a}^{*}(f)=(\alpha X_{a}+\beta Y_{a})^{*}f$

$=\sum _{i=1}^{n}(\alpha \alpha ^{i}+\beta \beta^{i})\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$

$=\alpha X_{a}^{*}f+\beta Y_{a}^{*}f$

$=(\alpha X_{a}^{*}+\beta Y_{a}^{*})f$

（3）此映射是在上的，即要证明对于 $\forall D\in\mathfrak{D}(a)$ ，存在 $X_{a}\in T_{a}(R^{*})$ ，使得 $X_{a}^{*}=D$

任给 $D \in \mathfrak{D}(a)$ ，设 $r^{i}(x^{1},...,x^{n})=x^{i},i=1,...,n$ 是坐标函数，再设 $Dr^{i}=a^{i}$ ，考虑向量 $X_{a}=\sum _{i=1}^{n}a^{i}E_{ia}$ ，它对应的导子为 $X_{a}^{*}$ ，有

$X_{a}^{*}f=\sum _{i=1}^{n}a^{i}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}|$

另一方面，根据引理2，在 $f$ 的定义域中的某个开球 $B$ 上，有

$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-a^{i})g^{i}(x)$

所以

$Df=Df(a)+\sum _{i=1}^n \left \{ D(x^{i}-a^{i})g^{i}(a)+0\cdot Dg^{i}(x) \right \}$

$= \sum_{i=1}^{n}Dx^{i}\cdot g^{i}(a)=\sum _{i=1}^{n}a^{i} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}|_{a}=X_{a}^{*}f$

由于 $f$ 是任意的，所以 $D=X_{a}^{*}||$

定理允许我们把 $R^{n}$ 在一点 $a$ 处的切空间 $T_{a}(R^{n})$ 与导子空间 $\mathfrak{D}(a)$ 等同起来，在这种等同下， $T_{a}(R^{n})$ 的标准基 $E_{1a},...,E_{na}$ 等同于 $\frac{\partial }{\partial x^{1}}|_{a},...,\frac{\partial }{\partial x^{n}}|_{a},$ ，其中 $\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}$ 是在坐标轴方向上的方向导子，即

$E_{ia}x \mapsto E_{ia}^{*}=\frac{\partial }{\partial x^{i}}|_{a}$

做了这种等同之后，可以将 $*$ 号去掉， $X_{a}^{*}f$ 将写成 $X_{a}f$ ，今后欧氏空间给了我们关于在一点切空间的几何直观，而在形式定义和证明中。我们将利用上面对的思想：在一点的一个切向量，是在 $C^{\infty }(a)$ 上的满足导子乘积法则（也称为Leibniz法则）的线性算子。对于切向量的这种观点，除了它的形式化和抽象性外，它相对地更容易运用，我们将利用这种观点吧切向量推广到微分流形上。

3.流形上的切向量

定义3 $M$ 是 $C^{\infty }$ 的 $n$ 维流形， $a \in M$ ， $C^{\infty }(a)$ 是 $a$ 点处全体 $C^\infty$ 实函数芽的集合，则 $M$ 在 $a$ 点的切向量是实值函数

$X_{a}:C^{\infty }(a)\rightarrow R$

满足

$(1)X_{a}(\alpha f+\beta g)=\alpha X_{a}f+\beta X_{a}g$

$(2)X_{a}(f\cdot g)=(X_{a}f)\cdot g(a)+f(a)(X_{a}g)$

其中 $\alpha ,\beta \in R;f,g\in C^{\infty }(a)$

定义4 $M$ 在 $a$ 点的全体切向量的集合记成 $T_{a}(M)$ 或 $M_{a}$ 或 $T(M,a)$ 。当规定

$(X+Y)f=Xf+Yf$

$(bX)f=b(Xf)$

运算法则后， $T_{a}(M)$ 构成向量空间，称为 $M$ 在 $a$ 点的切空间

不难验证此定义是合理的。

下面要给出切向量在局部坐标系下的坐标表示。

设 $(U,\varphi )$ 是包含a点的局部坐标系，其中坐标为 $(x_1,...,x_{n}),i=a,...,n,f\in C^{\infty}(a)$ 定义

$(\frac{\partial }{\partial x^i})_{n}f= \frac{\partial (f \circ \varphi )}{\partial r^i}(\varphi (a))$

其中 $r^i$ 是 $R^n$ 中的坐标函数，容易验证 $(\frac{\partial }{\partial x^i})_a$ 是 $M$ 在 $a$ 点处的切向量。

引理8 设 $x^1,...,x^n$ 是 $U \ni a$ 的局部坐标，且使 $x^{i}(a)=0,i=1,...,n$ 。则对于 $\forall f \in C^\infty (a)$ ，存在 $n$ 个函数 $f_{1},...,f_n\in C^\infty (a)$ 使得

$f_i(a)=(\frac{\partial }{\partial x^i})_nf$

而且在 $a$ 的某个邻域中

$f=f(a)+\sum _{i=1}^{n}x^{i}f_{i}$

证明可参看引理2

定理2 设 $M$ 是 $C^{\infty }$ 流形，点 $a \in M$ 附近的局部坐标为 $(x_1,...,x_{n})$ ，如果 $x_a \in M_a$ ，则

$X_a=\sum _{i=1}^{n}(X_{a}x^{i})(\frac{\partial }{\partial x^i})$

而且 $\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i}),i=1,...,n \right \}$ 形成 $M_a$ 的一组基

证明：设 $X_a \in M_a,f \in C^\infty (a)$ ，在局部坐标系下，如果 $x^i(a)\neq o,i=1,...,n.$ 可令 $y^i=x^i-x^i(a)$ ，则 $y^i(a)=0,i=1,...,n$ 而且

$(\frac{\partial f}{\partial y^i})_a=(\frac{\partial f}{\partial x^i})_a$

设 $c \in C^\infty (a)$ 的常值函数芽，则

$X_{a}(c)=cX_a(1)=cX_a(1)+cX_a(1)=2cX_a(1)=2X_a(c)$

$\therefore X_a(c)=0$

再根据引理3：

$X_af=X_a[f(a)+\sum _{i=1}^{n}y^{i}\cdot f_i]$

$=X_{a}[f(a)]+\sum _{i=1}^{n}[(X_a y^i)f_i(a)+y^i(a)(X_af_i)]$

$=\sum _{i=1}^n X_{a}(x^i-x^i(a))f_i(a)$

$=\sum _{i=1}^{n}(X_ax^i)(\frac{\partial f}{\partial x^i})$

$\therefore X_a=\sum _{i=1}^{n}(X_ax^i)(\frac{\partial f}{\partial x^i})$

最后在证明 $\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i})_a,i=1,...n \right \}$ 是线性无关的就够了，设

$Y_a= \sum_{i=1}^{n}\alpha ^i(\frac{\partial }{\partial x^i})_{a}=0$

则

$Y_ax^j=a^j=0,j=1,...n$

所以， $\left \{ (\frac{\partial }{\partial x^i}),i=1,...,n \right \}$ 线性无关，构成 $M_a$ 的一组基

由此可见,n维流形在器上任一点处存在唯一的切空间，在局部坐标系下，它是由 $(\frac{\partial }{\partial x^i})_a,i=1,...,n$ 为基张成的n维向量空间，由于我们采取了“导子”的抽象定义，显而易见，切向量与切空间的概念与坐标系的选取无关，在不同的局部坐标系下，他们只不过有不同的坐标表示罢了

设 $U,V$ 是 $M$ 的局部坐标域，且 $U \cap V \neq \Phi$ ，并且 $(x^1,...,x^n)$ 是 $(U,\varphi)$ 的坐标函数， $(y^1,...,y^n)$ 是 $(V,\psi )$ 的坐标函数，则在 $a \in U\cap V$ 处，对于 $f \in C^\infty (a)$

$\frac{\partial }{\partial x^j}(f)=\frac{\partial }{\partial r^j}(f \circ \varphi ^{-1})$

$=\frac{\partial }{\partial r^j}(f\circ \psi ^{-1}\circ \psi \circ \varphi ^{-1})$

$=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial }{\partial r^i}(f\circ \psi ^{-1})\circ \frac{\partial }{\partial r^i}(r^i\circ \psi \circ \varphi ^{-1})$

$=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\cdot \frac{\partial f}{\partial y^i}$

这就是坐标变换之下基变换的公式。

积流形

积流形是由两个微分流形的笛卡尔积所形成的流形

来自百度的概念

这边给出的定义就是“两个微分流形的笛卡尔积”

那么什么是笛卡尔积呢？

笛卡尔积指的是数学中，两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡尔，又称直积，记录为 $X\times Y$ ，第一个对象是 $X$ 的成员二第二个对象是 $Y$ 的所有可能有序对的其中一个成员

假设集合 $A=\left \{ a,b \right \}$ ，集合 $B=\left \{ 0,1,2 \right \}$ 则两个集合的笛卡尔乘积为 $\left \{ (a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2) \right \}$

列维-奇维塔联络

①来自百度的定义

列为奇维塔联络联络，在黎曼几何中，是切丛上的无绕率联络，它保持黎曼度量（或伪黎曼流形）不变，在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维奇维塔联络，联络的空间坐标表达式为克里斯托菲尔符

定义

配有 $<\cdot ,\cdot >$ 的黎曼流形 $M$ 的等距无扰联络 $\triangledown$ 定义为

$<\triangledown _{x}Y,Z>=\frac{1}{2}\left \{ X<Y,Z>+Y<Z,X>-<X,[X,Y]>+<Y,[Z,X]> \right \}$ ，则称 $M$ 的列维奇维塔联络

②来自中国徐森林的《流形》

博主注：

Emmmmm，其实博主一直打算的是直接截图贴上去，而不是再浪费时间在打字一边，但是我不再打字一边的话，很多书籍因为扫描文件的问题，很多字母区分不开来，如i和j，l和i，所以我自己再打一遍也是校对，也是在加深学习的印象，但是这本书扫描的还行，而且公式太多了，我不是太想用LaTeX打出来了，所以就在这里截图贴上来了。

光滑映射

①来自百度的定义

设 $M$ 和 $N$ 为光滑流形， $U$ 为 $M$ 中开集，若对 $M,N$ 的任意坐标映射 $x,y,f:U\rightarrow N$ 满足 $y\cdot f\cdot x^{-1}$ 为欧几里得空间的光滑函数，则称 $f$ 为光滑映射

若 $A$ 为 $M$ 中任意子集，则 $f:A\rightarrow N$ 若能扩张为 $\bar{f}:U\rightarrow N$ ，其中 $U$ 为 $M$ 的开集，且 $A\subset U$ ，则成为光滑映射

②来自中国苏况存的《流形的拓扑学》的定义

1.2 光滑函数和光滑映射

我们以开始就说过，光滑流形是这样的空间，在它上面可以讨论光滑函数，做法是很清楚的，令 $M,N$ 为光滑流形， $f:M\rightarrow N$ 。我们说 $f$ 在 $P \in M$ 点邻近是光滑的，如果有 $P$ 点附近的坐标点 $(U,\varphi )$ 和 $Q=f(P)$ 点附近的局部坐标 $(V,\psi )$ 使映射 $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}$ 在 $\varphi (p)$ 邻近光滑，这就是有意义的，因为我们谈的是欧氏空间之间的映射。相容性保证了这定义与所用的局部坐标无关，特别若是 $N=R$ ，我们就不需要 $\psi$ 而说有一个光滑函数 $f:M\rightarrow R,\tilde{f}=f\circ \varphi ^{-1}$ 是 $f$ 的一个局部表示，若 $\left \{ (U_{i},\varphi _{i}) \right \}$ 是覆盖 $M$ 的一族局部坐标，就有定义 $\varphi _{i}(U_{i})$ 上的局部表示 $\tilde{f}_{i}=f\circ \varphi _{i}^{-1}$ ，这些函数之间有以下关系

$\tilde{f}_{i}=\tilde{f}_{j}\circ \varphi _{ji},$

$\varphi _{ji}=\varphi_{j}\circ \varphi_{i}^{-1}:\varphi_{i}(U_{i}\cap U_{j})\rightarrow \varphi_{j}(U_{i}\cap U_{j})$ 成为局部坐标的迁移函数(transition funktion)，反之，若函数 $\tilde{f}_{i}:\varphi_{i}(U_{i})\rightarrow R$ 并是上述相容性条件成立，则定义在 $U_{i}$ 上的局部函数 $\tilde{f}_{j}\circ \varphi _{i}$ 在 $U_{i} \cap U_{j}$ 上是相互协调的，从而定义了一个整体函数 $f$ ，整体的函数时常是这样从相容的局部的东西“粘”出来的，既然 $\tilde{f_{i}}$ 是定义在 $R^n$ 的子集 $\varphi _{i}(U_{i})\subset R^{n}$ 上的，这就是经典的情况，但是采用整体的观点能对问题得到更好的展望，举例如下：

复变函数论中经典的Liouville定理指出，在平面 $C$ 上全纯而且有界的函数必是常数（想到代数学基本定理可以由此推出，你们会同意这是一个重要的定理），下面是经典的证法，将 $f$ 展开成为幂级数

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_n z^n$

它在全平面上收敛，取一个以 $z=0$ 为心、 $r$ 为半径的圆 $R$ ，有

$a_n = \frac{1}{2\pi i}\int _{R} \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz.$

若 $|f(z)|\leqslant M$ ，很容易估计出

$|a_{n}|\leqslant \frac{M}{r^n}$

既然r是任意的，当 $n >1$ 时候有 $a_n=0$ ，即 $f(z)=a_{0}$ 是常数

我们要把Liouville定理作为解释为关于整体函数的一般事实，首先回顾一下可去奇点

引理若 $g(x)$ 在原点的邻域 $U$ 中全纯但原点除外（即在 $U-\left \{ 0 \right \}$ 中全纯）而且当 $z\rightarrow 0$ 时 $zg(x)\rightarrow 0$ ，则 $g(z)$ 可拓展为 $U$ 的全纯函数。

证拓展如下

$g(0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{R}\frac{g(z)}{z}dz$

R是围绕0的圆（例如参看Ahlfors[1]p/100，中译本 p.122）.

把 $s^2$ 看成Riemann球： $C \cup \left \{ \infty \right \}$ ，它有局部坐标 $(U_1, \varphi_{1}),(U_2,\varphi_2)$ ，其中 $U_{1}=C, \varphi_{1}:U_1\rightarrow C$ 为恒等映射， $U_{2}=(C-\left \{ 0 \right \})\cup \left \{ \infty \right \},\varphi:U_2\rightarrow C$ 为恒同映射， $U_2=(C-\left \{ 0 \right \})\cup \left \{ \infty \right \},\varphi_2: U_2\rightarrow C$ 定义为

$\varphi_2(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{z},z \in C-\left \{ = \right \}, & \\ 0,z= \infty,& \end{matrix}\right.$

我们看到，在 $\varphi_{1}(U_1\cap U_2)=C-\left \{ 0 \right \}$ 上，迁移函数 $\varphi_{21}=\varphi_2 \cdot \varphi_1^{-1}$ 正是

$\varphi_{21}(z)=\frac{1}{z},z \in C- \left \{ 0 \right \}$

因为在 $C - \left \{ 0 \right \}$ 上 $z \neq 0$ ， $\varphi _{21}$ 是全纯的，这就使 $S^2$ 成为一个复流形（Riemann球）

若 $f$ 在全平面 $C$ 上全纯，则它在 $\varphi_1(U_1)$ 上定义局部函数 $f_1$ 利用相容性，在 $\varphi _2(U_1 \cap U_2)=C-\left \{ 0 \right \}$ 上定义 $f_2$ 为

$f_2(z)=f_1\circ \varphi _{12}(z)=f(\frac{1}{z})$ .

因为 $f$ 有界，所以条件

$lim _{z\rightarrow 0}f_2(z)=0$

显然成立，于是 $f_2$ 可拓展到 $\varphi_2(U_2)$ 上， $(f_1,f_2)$ 定义一个 $S^2$ 上的整体全纯函数 $F:S^2 \rightarrow C$

然而紧复流形上的任意整体全纯函数必定是以场数，因为一方面这种函数之模必有最大值（紧性），另一方面，极值原理指出，任意的局部极大值都不可能存在，这些例子也表明了群传理论和光滑理论根本不同，在紧光滑流形上当然有很多非常值的整体光滑函数。

我们又看到，已给一个光滑流形 $M$ ，笛卡尔乘积 $M\times M$ 也可构成光滑流形

定义 Lie群G既是一个群，作为一个空间的光滑流形，而且群运算

$(G_1) G \times G \rightarrow G,(g_1,g_2)\mapsto g_1g_2$

$(G_2) G\rightarrow G,g \mapsto g^{-1}$

是光滑映射

例如 $G=GL(n)$ 是一个Lie群，条件 $(G_1)$ 可从熟知的举证乘法公式

$(AB)_{ij}= \sum_{k}A_{ik}B_{kj}$

得出， $(AB)_{ij}$ 是 $A_{ik}$ 和 $B_{kj}$ 的光滑函数

现在我们可以形式地定义光滑流形的范畴：对光滑映射 $f:M\rightarrow N$ 若有另一光滑映射 $g:N\rightarrow M$ 使 $f\circ g=id$ $on N,g \circ f=id$ $on M,$ 则 $f$ 称为微分同胚(diffeomorphism)，这就是光滑流形范畴中的同构(isomorphism)。类似地，也有拓扑范畴中的同构（即同胚）、 $C^k$ 范畴、 $C^{\infty}$ 范畴等都各有其范畴，这些理论的最终目的是解决两个对象的 $(object)$ 同构与否，但是很少的几个例子就已看到，目前这还是一句空话，关于这一点，我们还得学习汗多只是才能谈到一点实质性的东西

博主注：这边还有最后一段最后提醒，但是没啥大用，所以就不引用了

向量的代数计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

向量的微分计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

Frobenius定理

来自美国F.W.瓦内尔的《微分流形与李群基础》

1.60 定理(Frobenius) 令 $\mathfrak{D}$ 是 $M^d$ 上的一个c维的 $C^{\infty}$ 对合分布,令 $m \in M$ ,那么存在 $\mathfrak{D}$ 的一个过 $m$ 的积分流形,实际上,存在一个以 $m$ 为中心,以 $x_1,...,x_d$ 为坐标函数的立方体坐标系 $(U,\varphi)$ 使得片

(1) $x_{i}$ =常数,所有 $i\in \left \{ c+1,...,d \right \}$

都是 $\mathfrak{D}$ 的积分流形,而且如果 $(N, \psi )$ 是 $\mathfrak{D}$ 连通积分流形使得 $\psi (N) \subset U$ ,那么 $\psi(N)$ 位于这些片之一中

我这次就没有讲解关于"外代数"的内容,因为个人认为外代数的内容更加复杂,而且其拓展出来的知识点将会更多,所以我在这里就省略了"外代数"的讲解，这一次拖更的太久了，实在抱歉，学业比较忙

资料来源：

1.黎曼流形_百度百科

2.黎曼度量_百度百科

3.知乎：关于Riemannian metric | 黎曼度量 - 知乎

4.《泛函分析》——[苏联] Д.В.Кангороеич和Г.П.Акилов

5.知乎：从三维空间衍生而来的数学空间——距离空间(度量空间) - 知乎

6.度量空间_百度百科

7.《黎曼几何初步》——[中国]伍鸿熙

8.《微分几何讲义》——[中国]陈省身

9.《微分流形和黎曼几何》——[中国]梅向明

10.列维奇维塔联络_百度百科

11.《流形》——[中国]徐森林

12.《微分流形初步》——[中国]陈维恒

13.《流形的拓扑学》——[中国]苏况存

14.《微分流形和李群基础》——[美国]F.W.瓦内尔

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代数几何导引（德文版）【瑞士 马库斯·布罗德曼（Markus Brodmann）】的读书笔记，翻译和感想（3）-知识点的补充与拓展

1.黎曼流形

①来自百度的概念

②一些来自中国的梅向明的《微分流形和黎曼几何》的常曲率黎曼流形

第十章 常曲率黎曼流形

2.度量空间

①来自苏联(С.С.C.Р.)的Д.В.Кангороеич和Г.П.Акилов的《泛函分析》（引用的是第二版，第一版书的中文翻译是《赋范空间中的泛函分析》）

度量空间

②来自百度的定义

3.度量

①来自百度的定义：

4.黎曼度量

①来自百度的定义

定义一：

定义二：

②来自中国的伍鸿熙的《黎曼几何初步》的关于黎曼度量的内容

参见的陈省身的《微分几何讲义》部分

连续统

①来自百度的定义

一）连续统在数序中的定义

二）连续统在集合论中的定义与性质

切向量

①来自百度的定义

导子

光滑曲线

②来自美国的Martin M. Lipschutz的《Theory and problems of Differential Geometry》（纲要式丛书《Schaum's Outline Series》之一）

1.单 位 切 向 量

切空间

①来自百度的定义

代数几何定义

②来自梅向明的《微分流形和黎曼几何》的定义

切空间与切映射

积流形

来自百度的概念

列维-奇维塔联络

①来自百度的定义

定义

②来自中国徐森林的《流形》

光滑映射

①来自百度的定义

②来自中国苏况存的《流形的拓扑学》的定义

1.2 光滑函数和光滑映射

向量的代数计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

向量的微分计算

来自中国杨文茂和李全英的《微分几何的理论与问题》的讲解

Frobenius定理

来自美国F.W.瓦内尔的《微分流形与李群基础》

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$\S 3.$ 度量空间

1.单位切向量

$\S 2.2$ 切空间与切映射