《西瓜书》第六章 公式6.6 凸二次规划问题

2024-09-04 00:08

本文主要是介绍《西瓜书》第六章 公式6.6 凸二次规划问题,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

1. 凸优化问题

对于一般的非线性规划,若目标函数是凸函数,约束集合 D D D 是凸集,则称该非线性规划是凸规划
若上述约束规划中只含有不等式约束,又 c i ( x ) ( i ∈ I ) c_i(x)(i∈I) ci(x)(iI)是凸函数,则约束集 D D D凸集
对于混合约束问题,若 c i ( x ) ( i ∈ E ) c_i(x)(i∈E) ci(x)(iE)是线性函数, c i ( x ) ( i ∈ I ) c_i(x)(i∈I) ci(x)(iI) 是凸函数,则 D D D凸集

定理 4: 凸规划的局部解必是全局解。
定理 5: 设目标函数 f ( x ) f(x) f(x) 和约束函数 c i ( x ) c_i(x) ci(x)一阶连续可微,并且 c i ( x ) ( i ∈ E ) c_i(x)(i∈E) ci(x)(iE) 是线性函数, c i ( x ) ( i ∈ I ) c_i(x)(i∈I) ci(x)(iI) 是凸函数。若凸规划的可行点 x ∗ x^* x 是K-T点,则 x ∗ x^* x 必是全局解。

2. 凸二次规划问题

一般的约束规划问题求解非常困难,从下面开始我们将仅讨论凸二次规划问题的求解方法。考虑如下约束优化问题:
在这里插入图片描述
其中 G G G n × n n×n n×n 对称矩阵, r , α i ( i ∈ E ∪ I ) r,α_i(i∈E∪I) r,αi(iEI) n n n维实向量, b i ( i ∈ E ∪ I ) b_i(i∈E∪I) bi(iEI) 为实数,称上述问题为二次规划(quadratic programming)问题。
如果 G G G 为(正定)半正定矩阵,则称上述问题为(严格)凸二次规划(convex quadratic programming)。(严格)凸二次规划问题的局部解均是全局最优解。

定理 6: x ∗ x^* x 是上述凸二次规划问题的全局最优解得充分必要条件是: x ∗ x^* x是K-T点,即存在 λ ∗ = ( λ 1 ∗ , λ 2 ∗ , … , λ l + m ∗ ) λ^∗=(λ^∗_1,λ^∗_2,…,λ^∗_{l+m}) λ=(λ1,λ2,,λl+m) 使得:
在这里插入图片描述
定理 7: x ∗ x^* x 是上述凸二次规划的全局最优解,则 x ∗ x^* x是如下等式约束二次规划问题的全局最优解。
在这里插入图片描述

参考资料:约束规划问题与凸二次规划

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