本文主要是介绍线性代数|机器学习-P31完成一个秩为1的矩阵,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
文章目录
- 1. 大纲
- 2. 填充秩1矩阵
- 2.1 举例
- 2.2 二分图
- 3. 循环卷积矩阵
1. 大纲
- 给定一个秩为1的矩阵A,m行,n列,如果在矩阵A中给定
m+n-1
个非零的值,请问如何填充这个矩阵A,使得矩阵A 填满? - 卷积和循环卷积矩阵,通过信号与系统中的卷积方式处理相关数据,求循环卷积矩阵的特征值和特征向量?
2. 填充秩1矩阵
2.1 举例
假设我们有一个矩阵A,我们定义其秩为1,,3行3列,具体组成如下:
A = [ 3 4 5 6 a 22 a 23 9 a 32 a 33 ] ; R a n k ( A ) = 1 \begin{equation} A=\begin{bmatrix} 3&4&5\\\\ 6&a_{22}&a_{23}\\\\ 9&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix};\mathrm{Rank(A)=1} \end{equation} A= 3694a22a325a23a33 ;Rank(A)=1
- 因为我们知道矩阵A的秩为1,那么我们可以通过比例计算出其他值,具体如下:
a 22 = 6 ⋅ 4 3 = 8 ; a 23 = 6 ⋅ 5 3 = 10 ; a 32 = 9 ⋅ 4 3 = 12 ; a 33 = 9 ⋅ 5 3 = 15 ; \begin{equation} a_{22}=\frac{6\cdot4}{3}=8;a_{23}=\frac{6\cdot5}{3}=10;a_{32}=\frac{9\cdot4}{3}=12;a_{33}=\frac{9\cdot5}{3}=15; \end{equation} a22=36⋅4=8;a23=36⋅5=10;a32=39⋅4=12;a33=39⋅5=15;
2.2 二分图
我们根据给定的矩阵A,来绘制对应的二分图,二分图中没有形成闭环,所以可以填满矩阵A的值
,给定的非零值,任意四个组成的行列式为非零行列式
3. 循环卷积矩阵
循环卷积矩阵C,每一列元素一样,但是第i列通过移位得到第i+1列
C = [ 2 5 1 0 0 2 5 1 1 0 2 5 5 1 0 2 ] \begin{equation} C=\begin{bmatrix} 2&5&1&0\\\\ 0&2&5&1\\\\ 1&0&2&5\\\\ 5&1&0&2 \end{bmatrix} \end{equation} C= 2015520115200152
- 循环矩阵P表示如下:
P = [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] ; X a = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] ; [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ x 2 x 3 x 4 x 1 ] \begin{equation} P=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix};X_a=\begin{bmatrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ x_4 \end{bmatrix};\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_2\\\\ x_3\\\\ x_4\\\\ x_1 \end{bmatrix} \end{equation} P= 0001100001000010 ;Xa= x1x2x3x4 ; 0001100001000010 x1x2x3x4 = x2x3x4x1 - 我们发现,通过循环矩阵P可以将向量X中的元素进行元素循环。
P = [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] ; P 2 = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] ; P 3 = [ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] ; P 4 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] = I ; \begin{equation} P=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix};P^2=\begin{bmatrix} 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0 \end{bmatrix};P^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix};P^4=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}=I; \end{equation} P= 0001100001000010 ;P2= 0010000110000100 ;P3= 0100001000011000 ;P4= 1000010000100001 =I; - 那么对于任意一个循环卷积矩阵来说,可以表示如下:
- 矩阵P的特征向量就是矩阵C的特征向量
- 矩阵P的特征值,特征向量
P = [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] ; [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] [ 1 1 1 1 ] = [ 1 1 1 1 ] ⇒ λ 1 = 1 , v 1 = [ 1 1 1 1 ] ; \begin{equation} P=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix};\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\\\1\\\\1\\\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\\\1\\\\1\\\\1\end{bmatrix}\Rightarrow \lambda_1=1,v_1=\begin{bmatrix} 1\\\\1\\\\1\\\\1\end{bmatrix};\end{equation} P= 0001100001000010 ; 0001100001000010 1111 = 1111 ⇒λ1=1,v1= 1111 ;
[ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ] [ 1 − 1 1 − 1 ] = − 1 ⋅ [ 1 − 1 1 − 1 ] ⇒ λ 2 = − 1 , v 2 = [ 1 − 1 1 − 1 ] ; \begin{equation} \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\\\-1\\\\1\\\\-1\end{bmatrix}=-1\cdot\begin{bmatrix} 1\\\\-1\\\\1\\\\-1\end{bmatrix}\Rightarrow \lambda_2=-1,v_2=\begin{bmatrix} 1\\\\-1\\\\1\\\\-1\end{bmatrix};\end{equation} 0001100001000010 1−11−1 =−1⋅ 1−11−1 ⇒λ2=−1,v2= 1−11−1 ;
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