数据结构（邓俊辉）学习笔记】串 12——BM_BC算法：性能分析

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1. 最好情况

以下，就让我们从最好情况的角度，来考察坏字符策略的性能。实际上，在最好情况下的性能之好，要远远超过我们的想象。具体来说，此时的时间成本可以度量为 O(n/m)。没错，除法。你能构造出这样的一个具体实例吗？这就是一个：

可以看到，模式串完全由0组成，而文本串呢？则由与模式串等长的若干个片段依次拼接而成。在每一个片段中，末字符都不是0，比如说取作1，而其余的字符实质上都无所谓，因此笼统的记作 x。我不妨就此例来走一遍 BM 算法。

1. 第一次对齐的位置在这里，而首次比对就是0/1的失配。在这里，0就是坏字符，而且在模式串中，根本就找不到足以与 1 匹配的字符。
2. 于是，BM法将会把模式串整体的移过这个失配的位置，并使之与文本串中的下一个片段彼此对齐。而接下来的故事，与刚才的那个片段完全一样。首先末字布 0 无法与 1 匹配，而且其余的 0 也不能与之匹配。
3. 因此，算法将再次整体的后移模式串。以致再次、再再次、持续地整体移动下去。

纵观整个过程，每经过常数次的比对，我们就可以向后整体的移动 m 个字符。既然文本串累计不过 n 个字符，因此在这种情况下，算法至多会移动 n/m 次。

由此可见，在这种情况下，算法的确只需要运行这么多的时间，即便是相对于 KMP 而言，这也是一个极大的提高，更不用说蛮力算法了。这个例子并不失一般性，实际上只要 P 中的字符都是坏字符，那么每次我们都可以整体地对它进行移动，也就是说我们只需要常数次的比较，就可以整体地排除掉 m 的对齐位置。

由此可见，如果说 KMP 算法是个利用经验的高手，那么 BM 算法则是非常善于借鉴教训的高手。从这个意义上讲，BM 算法更加欢迎失败比对的出现。那么在什么情况下更容易出现失败的比对呢？

也就是说，对于任何一对随机出现的字符所做的比对，失配的概率在什么情况下更小呢？在这里我们再次回到那样一个重要的指标，也就是字母表的规模。实际上字母表的规模越大，单次匹配成功的概率也就越小，失配的概率也就越大，从而 BM 算法的优势也就更为明显。

比如在处理汉字甚至 unicode 编码时，BM算法就是再适合不过的了。

2. 最坏情况

然而另一方面很遗憾，BM算法在最差情况下的性能也的确非常差。

具体来说，它的算法复杂度有可能会退化到蛮力算法的水平，也就是 O(n*m)。就此，你能举出一个具体的实例吗？我可以给你一点提示，你不妨去参考一下蛮力算法最坏情况的那个实例。

是的，我想你已经想到了，就是这个。这一次文本串倒是完全由0组成的，而模式串也几乎是由 0 组成的，唯一的例外是它的首字符。按照 BM 算法的流程，我们首先需要从末字符开始进行比对，而且我们会经历一系列的成功，直到最后一步才失败。可以看到，在这次失败之前，我们已经花费了 O(m) 的成本。

然而最糟糕的还不是这个，因为我们花费了如此之高的成本所换来的那个教训，居然对我们不会有太多的帮助。因为此时正属于我们此前所讲的那种最为特殊的情况，也就是说坏字符的替代者应该是 0。但是在模式上中，最后出现的那个 0 过于靠后，以至于如果我们需要将它与此前的适配字符对齐，将导致模式串的左移而不是右移。因此在这种情况下，我们只好搬出那个假想的通配哨兵，并用那通配的哨兵与这个失配的字符相对齐。

非常可惜，这样的效果只相当于模式串向右移动一个单位。没错，我们每花费 O(m) 的成本，换来的收获只是向后移动了一步，而总体共有 n。因此在这种情况下的总体计算成本的确应该是 n 与 m 的乘积。

我们不妨来反思一下， BM 算法当前的这个版本为何还有可能会出现如此之差的情况呢？没错，经验。我们已经看到 BM 算法目前的这个版本的确已经能够很好地借鉴教训。也正因为此，它才能够在最好情况下有出色的表现。然而，很遗憾，到目前为止，它还没能够有效地利用好经验。具体来说，也就是此前的那些成功比对所提供的有益信息。实际上，完整的 BM 算法的确也可以同时很好地利用这方面的信息。

因此，我们需要给 BM 算法增加一个策略，也就是所谓的好后缀策略。这个策略再加上我们刚刚介绍的坏字符策略，就可以使得 BM 算法变得几乎完美。

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