数学基础 -- 微积分之三角函数幂的积分

本文主要是介绍数学基础 -- 微积分之三角函数幂的积分，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

三角函数幂的积分处理

1. 积分形式

1.1 $\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx$

1.1.1 当 $n$ 为奇数时

1. 分离奇数次幂

   如果 ${\cos }^n(x)$ 是奇数次幂，可以将其分解为 ${\cos }^{n-1}(x)\cdot \cos (x)$：
   $$\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx=\int {\sin }^m(x)\cdot {\cos }^{n-1}(x)\cdot \cos (x)dx$$

2. 代换法

   • 代换 $\cos (x)=u$

     设 $u=\cos (x)$，则 $-\sin (x)dx=du$ 或 $\sin (x)dx=-du$：
     $$\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx=-\int {\sin }^m(x)\cdot u^{n-1}du$$

     使用 ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$，即 ${\sin }^2(x)=1-u^2$，所以：
     $${\sin }^m(x)=(1-u^2{)}^{m/2}$$

     代入得到：
     $$\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx=-\int (1-u^2{)}^{m/2}\cdot u^{n-1}du$$

   • 例子

     计算 $\int {\sin }^2(x){\cos }^3(x)dx$：

     设 $\cos (x)=u$，则 ${\sin }^2(x)=1-u^2$，所以：
     $$\int {\sin }^2(x){\cos }^3(x)dx=-\int (1-u^2)\cdot u^{2}du=-\int (u^2-u^4)du$$

     计算得到：
     $$-\left(\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right)+C=-\left(\frac{{\cos }^3(x)}{3}-\frac{{\cos }^5(x)}{5}\right)+C$$

1.1.2 当 $m$ 为奇数时

1. 分离奇数次幂

   如果 ${\sin }^m(x)$ 是奇数次幂，可以将其分解为 ${\sin }^{m-1}(x)\cdot \sin (x)$：
   $$\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx=\int {\sin }^{m-1}(x)\cdot \sin (x)\cdot {\cos }^n(x)dx$$

2. 代换法

   • 代换 $\sin (x)=u$

     设 $u=\sin (x)$，则 $\cos (x)dx=du$：
     $$\int {\sin }^m(x){\cos }^n(x)dx=\int u^m\cdot {\cos }^n(x)du$$

     使用 ${\cos }^2(x)=1-{\sin }^2(x)$，即 ${\cos }^2(x)=1-u^2$，所以：
     $${\cos }^n(x)=(1-u^2{)}^{n/2}$$

     代入得到：
     $$\int u^m\cdot (1-u^2{)}^{n/2}du$$

   • 例子

     计算 $\int {\sin }^3(x){\cos }^2(x)dx$：

     设 $\sin (x)=u$，则 ${\cos }^2(x)=1-u^2$，所以：
     $$\int {\sin }^3(x){\cos }^2(x)dx=\int u^3\cdot (1-u^2)du$$

     展开并计算：
     $$\int (u^3-u^5)du=\frac{u^4}{4}-\frac{u^6}{6}+C=\frac{{\sin }^4(x)}{4}-\frac{{\sin }^6(x)}{6}+C$$

总结

• 当 $n$ 为奇数时，处理方法是将 ${\cos }^n(x)$ 分解为 ${\cos }^{n-1}(x)\cdot \cos (x)$，并通过代换 $\cos (x)=u$ 将积分转化为 $$\int (1-u^2{)}^{m/2}\cdot u^{n-1}du$$。
• 当 $m$ 为奇数时，处理方法是将 ${\sin }^m(x)$ 分解为 ${\sin }^{m-1}(x)\cdot \sin (x)$，并通过代换 $\sin (x)=u$ 将积分转化为 $$\int u^m\cdot (1-u^2{)}^{n/2}du$$。

通过以上方法，可以有效处理涉及三角函数幂的积分问题。

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