平方Pearson相关系数（SPCC）相关公式的推导

本文主要是介绍平方Pearson相关系数（SPCC）相关公式的推导，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1、PCC及SPCC的定义
最近推导了维纳滤波的公式，其中最重要的是当然是最小平方误差准则（MSE）。但是在很多实际应用中，参考信号是不可知的，因此MSE准则不具有实际意义。为了解决这个问题，我们需要寻找另一个准则替代MSE成为新的代价函数。这就是皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient, PCC）的来历。通过研究发现，相较于MSE，PCC具有许多吸引人的优秀性质，尤其在输出信噪比分析方面。因此经典最优或次优滤波器的设计通常都是以后者为指导的。

设$x$和$y$是两个均值为$0$的实随机变量，PCC的原始定义是：

$$\rho(x,y)=\frac{E[xy]}{\sigma_x\sigma_y}$$

其中，$E[xy]$表示$x$和$y$的互相关系数；$\sigma_x=E[x^2]$和$\sigma_y=E[y^2]$分别为信号$x$和$y$的方差。
不过为了分析方便，通常使用的是平方Pearson相关系数（SPCC），其定义式如下：

$$\rho^2(x,y)=\frac{E^2[xy]}{\sigma_x^2\sigma_y^2}$$
SPCC一个很重要的性质就是：
$$0\le\rho^2(x,y)\le1$$
其意义是表示两个随机变量之间线性相关的程度。
2、SPCC的重要性质
在讲SPCC之前，需要把SPCC涉及到的维纳滤波中加性噪声的四个信号定义清楚。
在维纳滤波中，假设一个纯净的语音信号 $x(k)$受到零均值噪声信号 $ν(k)$的干扰，且 $x(k)$与 $ν(k)$不相关。那么在离散采样 $k$时刻，带噪声的语音信号描述为：
$$y(k)=x(k)+ν(k)$$
维纳滤波的目的，就在于根据观测信号 $y(k)$找到信源信号 $x(k)$的最优估计 $z(k)$。
而维纳滤波的思想，就在于假设 $z(k)$可以通过一个滤波器 $\mathbf{h}$和多个观测值序列 $\mathbf{y}(k)$组合得到。
$$z(k)=\mathbf{h}^T\mathbf{y}(k)$$
其中，
$\mathbf{y}(k)=[\begin{matrix}y(k)& y(k-1) & y(k-L+1) \end{matrix}]$， $L$为滤波器长度。
根据$z(k)$和 $x(k)$之间的关系我们可以通过二者作差定义误差代价函数，利用MSE准则来求取最优滤波器，该滤波器就是维纳滤波器。但是这不是本文要阐述的重点，感兴趣的同学可以到网上搜索相关的文章来学习。

2.1 四个SPCC系数的定义
推导之前需要注意几个关键的代换关系，有了这几个代换关系公式的推导就不是什么难事。但是几乎所有的书上都认为这些关系是不言而喻的。有时候多提点一笔就可以节省很多时间，所以在此点破。
$x=\mathbf{h}_1^T\mathbf{x}$，$\mathbf{h}^T\mathbf{x}=\mathbf{x}^T\mathbf{h}$。
类似的，
$ν=\mathbf{h}_1^T\mathbf{ν}$，$\mathbf{h}^T\mathbf{ν}=\mathbf{ν}^T\mathbf{h}$。
其中，$\mathbf{h}_1^T=[\begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \end{matrix}]$，长度还是$L$.
有了这个关系，公式推导起来就很方便了。这也正是这篇博文的意义所在。

首先是信源信号$x(k)$与$y(k)$之间的SPCC。根据定义是可以写成：
$\rho^2(x,y)=\frac{E^2[xy]}{E[x^2]E[y^2]}=\frac{SNR}{1+SNR}$
推导：
$E[xy]=E[x(x+v)]=E[x^2+xv]=E[x^2]+E[xv]=E[x^2]=\sigma_x^2$
$E[y^2]=E[(x+v)^2]==E[x^2]+E[v^2]=\sigma_x^2+\sigma_v^2$
定义：$SNR=\frac{E[x^2]}{E[v^2]}=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_v^2}$
上式容易得出。
其次是信源信号$x(k)$与$z(k)$之间的SPCC。根据定义是可以写成：

$$\rho^2(x,z)=\frac{E^2[xz]}{E[x^2]E[z^2]}=\frac{(E(x\mathbf{h}^T\mathbf{y}))^2}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y^y\mathbf{h}}$$
关键推导步骤：
$E[xz]=E[x\mathbf{h}^T\mathbf{y}]=E[x\mathbf{h}^T\mathbf{(x+v)}]=E[x\mathbf{h}^T\mathbf{x}+x\mathbf{h}^T\mathbf{v}]=E[x\mathbf{h}^T\mathbf{x}]=E[\mathbf{h}_1^T\mathbf{x}\mathbf{h}^T\mathbf{x}]=E[\mathbf{h}_1^T\mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbf{h}]=\mathbf{h}_1^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}$
$E[z^2]=E(\mathbf{h}^T\mathbf{y}\mathbf{y}^T\mathbf{h})=\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y^y\mathbf{h}$

所以上式可以写成：

$$\rho^2(x,z)=\frac{(\mathbf{h}_1^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h})^2}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y^y\mathbf{h}}=\frac{(\mathbf{h}_1^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h})^2}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}\frac{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y^y\mathbf{h}}$$
容易发现：
$$\frac{(\mathbf{h}_1^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h})^2}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}=\rho^2(x,\mathbf{h}^T\mathbf{x})$$
$$\rho^2(\mathbf{h}^T\mathbf{x},\mathbf{h}^T\mathbf{y})=\frac{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}{\sigma_x^2\mathbf{h}^T\mathbf{R}_y^y\mathbf{h}}=\frac{\frac{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_v^v\mathbf{h}}}{1+\frac{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_x^x\mathbf{h}}{\mathbf{h}^T\mathbf{R}_v^v\mathbf{h}}}=\frac{1+SNR(\mathbf{h})}{SNR(\mathbf{h})}$$
所以可以得到下述性质：
$$\rho^2(x,z)=\rho^2(x,\mathbf{h}^T\mathbf{x})\rho^2(\mathbf{h}^T\mathbf{x},\mathbf{h}^T\mathbf{y})$$

由于公式编辑实在是太过于耗费时间和精力，我直接改成贴图了，希望大家理解。

类似的，可以得到相似的性质。

$$\rho^2(v,z)=\rho^2(v,\mathbf{h}^T\mathbf{y})=\rho^2(v,\mathbf{h}^T\mathbf{v})\rho^2(\mathbf{h}^T\mathbf{v},\mathbf{h}^T\mathbf{y})$$
关于SPCC的其他性质的推导在此就不一一展示了。注意变量的定义和变量的代换，基本都能推导出来。如果有问题可以留言交流。

这篇关于平方Pearson相关系数（SPCC）相关公式的推导的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---