《高等代数》最大公因式典型例题

本文主要是介绍《高等代数》最大公因式典型例题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

说明：此内容用于本人复习巩固，如果也能帮助到大家那就更加有意义了。

注：这道题主要从

1)公因式整除多项式的线性组合

2)最大公因式能够被其它公因式整除

3)如果两个多项式互相整除，那就说明这两个多项式相等

这三个知识点出发进行证明。

首先，等式左边是f(x)与g(x)的最大公因式，等式右边是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式，我们分别把它们记作d1(x)，d2(x)。

因为d1(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，所以能够得到d1(x)整除f(x)与g(x)的组合，而等式右边的af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)恰好是f(x)与g(x)的线性组合，顺利得到d1(x)为af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的公因式。而d2(x)是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式，所以得到d1(x)|d2(x)。

接下来我们只要证明d2(x)也能被d1(x)整除，那么就可以得到，d1(x)=d2(x),即(f(x),g(x))=(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))。

模仿前面证明d1(x)|d2(x)的思路，我们只要证明d2(x)是f(x),g(x)的公因式即可。现在已有的是d2(x)|af(x)+bg(x),d2(x)|cf(x)+dg(x)(因为d2(x)是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式)，所以d2(x)能够整除af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的组合。将f(x)和g(x)用af(x)+bg(x)d与cf(x)+dg(x)的组合表示（联立方程即可，在这里用到了题中所给的"ad-bc≠0"这个条件），可以得到d2(x)|f(x),d2(x)|g(x),因此d2(x)为f(x)与g(x)的公因式。又因为d1(x)为f(x)与g(x)的最大公因式，所以d2(x)|d1(x)。以上得到了了d1(x)与d2(x)互相整除，所以d1(x)=d2(x),即(f(x),g(x))=(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))。