数据结构之邻接矩阵

本文主要是介绍数据结构之邻接矩阵，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

邻接矩阵是图论中表示图的一种基本数据结构，它通过一个二维数组（矩阵）来记录图中顶点之间的连接关系。邻接矩阵是图的直观表示方法，适用于表示稠密图（即边数较多的图）。

定义

对于一个包含n个顶点的图G，其邻接矩阵A是一个n x n的二维数组（或矩阵）。如果图G是有向图，则A[i][j]表示从顶点i到顶点j是否有边（或边的权重）。如果i和j之间有边，则A[i][j]为非零值（通常为1，或边的权重）；如果i和j之间没有边，则A[i][j]为0。对于无向图，邻接矩阵是对称的，即A[i][j] = A[j][i]。

特点

1、直观性：
邻接矩阵通过二维数组直接反映了图中顶点之间的连接关系。

2、空间复杂度：
邻接矩阵的空间复杂度为O(n^2)，其中n是顶点的数量。对于稀疏图（边数远小于顶点数平方的图），邻接矩阵会浪费大量空间。

3、操作复杂度：
查找边：判断顶点i和顶点j之间是否存在边的时间复杂度为O(1)。
插入边：在有向图中，向邻接矩阵中插入边（设置A[i][j]的值）的时间复杂度也为O(1)。但在无向图中，由于邻接矩阵的对称性，需要同时设置A[i][j]和A[j][i]的值。
遍历图：遍历图中所有边的时间复杂度为O(n^2)，因为需要遍历整个邻接矩阵。

示例

假设有一个无向图G，包含4个顶点（编号从0到3），其邻接矩阵如下：

0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0

这个邻接矩阵表示：

顶点0与顶点1、顶点3相连。
顶点1与顶点0、顶点2相连。
顶点2与顶点1、顶点3相连。
顶点3与顶点0、顶点2相连。
注意，由于是无向图，邻接矩阵是对称的。

注意事项

邻接矩阵适用于表示稠密图，对于稀疏图则可能浪费大量空间。
邻接矩阵可以方便地通过索引来访问图中任意两个顶点之间的关系，但遍历图中所有边的时间复杂度较高。
对于有权图，邻接矩阵中的非零值可以表示边的权重。
在实际应用中，根据图的特性和算法的需求选择合适的图表示方法非常重要。

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